二次函数复习导学案

1、二次函数导学案6.1二 次 函 数1 一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展.扩展的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 .2用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围最大?在这个问题中，可设长方形生物园的长为米，则宽为 米，如果将面积记为平方米，那么与之间的函数关系式为= ，整理为= .3要给边长为米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？在这个问题中,地板的费用与 有关,为 元,踢脚线的费用与 有关,为 元.其他费用固定不变为 元,所以总费用（元）与（m）

2、之间的函数关系式是= ，整理为= .4.上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数关系式有什么不同？ 5.一般地，我们把形如：= ( )的函数称为二次函数.其中 是自变量， 是因变量，这是 关于 函数.6.一般地，二次函数中自变量的取值范围是 .但在实际问题中，他们的取值范围往往有所限制，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ 7、判断下列函数是否为二次函数.如果是，写出其中、的值.( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )8、当为何值时，函数为二次函数？9、用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式这个函数是二次函数吗

3、？请写出半径的取值范围10、已知二次函数，当=3时，= -5，当=时，求的值二次函数的图像与性质1.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：-3-2-10123观察图像指出它们的共同点和不同点： 共同点： . 的图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值. 在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 . 图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值. 在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 . 的图像与 的图像关于 成 对称.2、探究归纳：（1 ）二次函数的图像是一条 ，它关于 对称；顶点坐标是 ，说明当= 时，有最

4、值是 .（2）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .3、根据的图象和性质填表：函 数图 像开口对称轴顶 点增 减 性向上（0,0）当 时，随的增大而减少.当时，随的增大而 .直线当 时，随的增大而减少.当 时，随的增大而 .4.利用函数的图像回答下列问题：当= 时，= .当=-8时，= .当-2<<3时,求y的取值范围是 .当-4<<-1时,求x的取值范围是 .5.

5、观察函数的图像，利用图像解答下列问题：在轴左侧的图像上任取两点A（x1,y1）、B(x2,y2),且使0>x1>x2,试比较y1与y2的大小；在y轴右侧的图像上任取两点C（x3,y3）、D(x4,y4),且使x3>x4>0,试比较y3与y4的大小.二次函数的图象与性质1.画出二次函数的图象： 列表：-2-101241014观察表中所填数据，你发现什么？ 在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： 2.观察左图: 函数与的图象的 相同， 相同， 相同， 不同； 函数可以看成的图象向 平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .猜

6、想函数的与性质：与的图象的 相同， 相同， 相同， 不同； 函数可以看成的图象向 平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 . 2、探究归纳：的图像和性质填表：函 数图 像开口对称轴顶 点增 减 性向上当 时，随的增大而减少.当时，随的增大而 .直线当 时，随的增大而减少.当 时，随的增大而 .3、已知+3是二次函数，且当时，随的增大而减少求该函数的表达式.4.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.点A的对称点的坐标是 ，点B的对称点的坐标是 ；求该函数的表达式；若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值；点E（2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？二

7、次函数的图像与性质1.画出二次函数 和 的图像： 列表：-5-4-3-2-10123454.520.500.524.5 在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：2.观察上图:函数 的图像与 的图像的 相同， 相同， 不同， 不同； 函数 可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到；它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .函数 的图像与 的图像的 相同， 相同， 不同， 不同； 函数 可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到；它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .函数 的图像与函数 的图像关于 成 对称.3、探究归纳：（1）二次函数的图像

8、是一条 ，它对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最值是 .（2）当时，的图像可以看成是 的图像向 平移 个单位得到；当时，的图像可以看成是 的图像向 平移 个单位得到.（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 ；当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .4、已知一条抛物线的开口方向和形状与y=3x2相同，顶点在抛物线y=(x+2)2的顶点上.求这条抛物线的解析式；若将中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式是 .若将中的抛

9、物线的顶点不变，开口反向所得的新抛物线解析式是 .若将中的抛物线沿轴对折所得的新抛物线解析式是 .二次函数的图像与性质1.画出二次函数和的图像： 列表：-4-3-2-1012344.520.500.524.5 在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：2.观察上图:函数 的图像与 的图像的 相同， 相同， 不同， 不同；函数 可以看成 的图像先向 平移 个单位长度得到函数 的图像，再向 平移 个单位长度得到.函数 的对称轴是 ，在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .函数 顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .3、探究归纳：（1）二次

10、函数的图像是一条 ，它对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当= 时，有最值是 .（2）当时，的图像可以看成是的图像向 平移 个单位得到；当时，的图像可以看成是的图像向 平移 个单位得到.（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 ；当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 . （4）由于根据的解析式可直接得到函数图像的顶点坐标，故称之为 .4、（1）抛物线是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，则原抛物线的解析式是 ；（2）抛物线

11、与抛物线 关于轴成轴对称；抛物线 与抛物线 关于轴成轴对称.二次函数的图像与性质1. 根据的图像和性质填表：函 数图 像开口对称轴顶 点增 减 性向上当 时，随的增大而减少.当时，随的增大而 .当 时，随的增大而减少.当 时，随的增大而 .2.抛物线的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当= 时，y有最 值是 ；无论取任何实数，的取值范围是 .3、（1）问题：你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题吗？的对称轴是 ，顶点坐标是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：

12、 （4） 归纳：二次函数的一般形式可以被整理成顶点式： ，说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .（5）用公式法把下列二次函数化成顶点式： 4、用描点法画出的图像. 用 法求顶点坐标： 列表：顶点坐标填在 在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：观察图像，该抛物线与轴交与点 ，与轴有 个交点.二次函数与一元二次方程1. 根据的图象和性质填表：函 数图 象开口对称轴顶 点增 减 性向上当 时，随的增大而减少.当 时，随的增大而 .当 时，随的增大而减少.当 时，随的增大而 .2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 .3.解下列一元二次方程： 4.观察二次函数的图

13、象，写出它们与轴、轴的交点坐标：函数图 象交点与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 4.对比第3题各方程的解，你发现什么？ 5.归纳：一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）二次函数与一元二次方程 与轴有 个交点 0，方程有 的实数根是 .与轴有 个交点这个交点是 点 0，方程有 的实数根是 .与轴有 个交点 0，方程 实数根.二次函数与轴交点坐标是 .二次函数的图象与的符号1. 根据的图象和性质填表：（的实数根记为）图 象与 坐 标 轴 的 交 点与轴有 个交点 0线段O

14、A= ,OB= ,AB= .与轴的交点坐标是 ，线段OC= ；与坐标轴共有 个交点.与轴有 个交点 0线段OA= ,AC= .与轴的交点坐标是 ，线段OC= ；与坐标轴共有 个交点.与轴有 个交点 0与轴的交点坐标是 ，线段OC= ；与坐标轴共有 个交点.2. 抛物线的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，y有最 值是 ；对称轴是 ，当 时，随的增大而增大.3. 抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 .4、（1）观察的图象，你能得到关于的哪些信息？（2）归纳：的符号由 决定：开口方向向 0；开口方向向 0.的符号由 决定： 在轴的左侧 ； 在轴

15、的右侧 ； 是轴 0.的符号由 决定：点（0，）在轴正半轴 0；点（0，）在原点 0； 点（0，）在轴负半轴 0.的符号由 决定：抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程有 实数根；抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程有 实数根；抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程 实数根； 特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.特别的，当=1时，= ，对应的点的坐标记为： ； 当=-1时，= ，对应的点的坐标记为： .6.5二次函数的应用1（何时利润最大）1、知识准备：1）已知：二次函数y=2(x3)2+4，当x_时，y有最_值为_。2）已知：二次函数y=x2+x+，

16、当x_时，y有最_值为_。3）已知：二次函数y=x2+3x+1，且自变量x的范围为0x2，当x_时，y有最大值为_。2、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100150亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为（440-2x）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？3.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每

17、天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）求出该二次函数的顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：X（十万元）012y11518（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试

18、写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为1030万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？6.5：二次函数的应用2（何时面积最大）1把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，面积最大的是 2.在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是，自变量x的取值范围是y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是，最小值是，这个函数图象有何特点？3、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1

19、)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少? 变式：如图,若在该直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.(1).设矩形的一边BC=xcm,那么AB边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?4.某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m当x等于多少时，窗户透过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？6.5：二次函数的应用31、如图一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关

20、系是，问此运动员把铅球推出多远？思考：如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式你能解决吗？试一试2.如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，柱高1.25米，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度225m（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为35m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到01m）3、如图，一位运