064二次函数y=ax2的图象

1、二次函数二次函数y=axy=ax2 2 （a0）的的图象与性质图象与性质建湖县实验初中建湖县实验初中一一. .复习提问复习提问: :1.1.二次函数的一般形式二次函数的一般形式: :y=axy=ax2 2+bx+c(+bx+c( a0a0 ) ) 今天研究最特殊的二次函数今天研究最特殊的二次函数y=axy=ax2 2 ( a0 ) ( a0 ) 的图象和性质的图象和性质2 2、我们已经知道，一次函数，反比例函、我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是数的图象分别是 、 。直线直线双曲线双曲线那么二次函数的图象是什么呢？那么二次函数的图象是什么呢？建湖县实验初中建湖县实验初中1 1：画出画

2、出 y=xy=x2 2的图象的图象. . （1 1）列表：）列表：x x y y（2 2）描点）描点-6108642-55-xy0 00 0-1-1-2-2-3-31 12 23 39 94 41 11 14 49 9 描点法画函数的图象前，想一想，列表时如描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相取互为相反数的值时，反数的值时，y的值如何？的值如何？建湖县实验初中建湖县实验初中1 1：画出画出 y=xy=x2 2的图象。的图象。 （1 1）列表：）列表：x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y y9 94

3、 41 10 01 14 49 9-6108642-55-（2 2）描点）描点（3 3）连线）连线xyy=x2建湖县实验初中建湖县实验初中1.1.你能描述图象的形状吗你能描述图象的形状吗? ?与同伴交流与同伴交流. .2.2.图象与图象与x x轴有交点吗轴有交点吗? ?如果如果有有, ,交点的坐标是什么交点的坐标是什么? ?108642-55-xyy=x23.3.当当x0 x0 x0时呢时呢? ?4.4.当当x x取什么值时取什么值时,y,y的值最小？的值最小？5.5.图象是轴对称图形吗图象是轴对称图形吗? ?如果是如果是, ,它的对称轴是什它的对称轴是什么么? ?请你找出几对对称点请你找出几

4、对对称点, ,并与同伴交流并与同伴交流. .与与建湖县实验初中建湖县实验初中2 2：请同学们画出请同学们画出 y=-xy=-x2 2 的图象。的图象。x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y y-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9 （1 1）列表：）列表：-10-8-6-4-2-55-xyy=-x2建湖县实验初中建湖县实验初中1.1.你能描述图象的形状吗你能描述图象的形状吗? ?与同伴交流与同伴交流. .2.2.图象与图象与x x轴有交点吗轴有交点吗? ?如果如果有有, ,交点的坐标是什么交点的坐标是什么? ?3.3.当当x0 x0 x0时呢时呢? ?4

5、.4.当当x x取什么值时取什么值时,y,y的值最大？的值最大？5.5.图象是轴对称图形吗图象是轴对称图形吗? ?如果是如果是, ,它的对称轴是什它的对称轴是什么么? ?请你找出几对对称点请你找出几对对称点, ,并与同伴交流并与同伴交流. .与与x-10-8-6-4-2-55-yy=-x2建湖县实验初中建湖县实验初中 图像是一条关于图像是一条关于y y轴对称的曲线，轴对称的曲线，这条曲线叫做这条曲线叫做抛物线抛物线。108642-55-xyy=x2x-10-8-6-4-2-55-yy=-x2图象特征：图象特征：对称轴与抛物线的交对称轴与抛物线的交点叫点叫抛物线的顶点抛物线的顶点与与建湖县实验初

6、中建湖县实验初中二次函数二次函数y=xy=x2 2 与与y=-xy=-x2 2的性质：的性质：抛物线抛物线y=xy=x2 2y=-xy=-x2 2对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标开口方向开口方向位置位置增减性增减性最值最值y y轴轴y y轴轴(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)向上向上向下向下x x轴上方轴上方x x轴下方轴下方y y最小值最小值 =0=0y y最大值最大值 =0=0建湖县实验初中建湖县实验初中共同点：共同点：都以都以y y轴为对称轴，顶点都在坐标原轴为对称轴，顶点都在坐标原点点不同点：不同点：y=xy=x2 2的图象开口向的图象开口向上上，顶点是抛物，顶点是抛物线的最线的最低

7、低点，在对称轴的左边，曲线自左向右点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降下降；在对称轴的右边，曲线自左向右；在对称轴的右边，曲线自左向右上升上升y=y=- -x x2 2的图象开口向的图象开口向下下，顶点是抛物线的，顶点是抛物线的最最高高点，在对称轴的左边，曲线自左向右点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升上升；在对称轴的右边，曲线自左向右在对称轴的右边，曲线自左向右下降下降友情提醒：友情提醒： 在列表、描点时，要注意合理在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小

8、到大或从大到小的顺序连接到大或从大到小的顺序连接建湖县实验初中建湖县实验初中练习（练习（1）函数）函数 的开口的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ；（2）函数）函数 的开口的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 232xy 241xy向上向上y轴轴(0,0)向下向下y轴轴(0,0)建湖县实验初中建湖县实验初中2.2.已知已知mm1,1,点点(m(m1,y1,y1 1) )、(m(m，y y2 2) )、(m(m1,y1,y3 3) ) 都在函数都在函数y=xy=x2 2的图象上的图象上, ,则则 ( )( )A Ay y1 1y y2 2y y3 3 B B

9、y y1 1y y3 3y y2 2 C Cy y3 3y y2 2y y1 1 DDy y2 2y y1 1y y3 3C C1.1.若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2(a0),(a0),图象过点图象过点P(2,P(2,8),8),则则函数表达式为函数表达式为 y=y=- 2x2x2 2建湖县实验初中建湖县实验初中1.1.在在同一坐标系同一坐标系内内, ,画出下列函数的图象画出下列函数的图象(1)(1)y=2xy=2x2 2 (2)(2)(3) y=-2x(3) y=-2x2 22 21 1(3)y =x(3)y =x2 22 21 1(4)y =-x(4)y =-x2 2建湖县实验

10、初中建湖县实验初中x xy yO1234-1-2-3-424681012141618-10-12-14-16-18-2-4-6-8y=2xy=2x2 2212yx抛物线的张口大小由抛物线的张口大小由 确定确定aa越大张口越小越大张口越小a越小张口越大越小张口越大与与建湖县实验初中建湖县实验初中x xy yO1234-1-2-3-424681012141618-10-12-14-16-18-2-4-6-8y=-2xy=-2x2 2y=2xy=2x2 2212yx212yx 与与建湖县实验初中建湖县实验初中如抛物线如抛物线y=2xy=2x2 2与与y=-2xy=-2x2 2形状相同形状相同顶点相同

11、顶点相同开口方向相反开口方向相反x xy yO1234-1-2-3-424681012141618-10-12-14-16-18-2-4-6-8y=-2xy=-2x2 2y=2xy=2x2 2与与都关于都关于y y轴对称，轴对称， 二者关于二者关于x x轴对称轴对称. . 建湖县实验初中建湖县实验初中与抛物线与抛物线 形状相同、顶点相同、开口方向相反的形状相同、顶点相同、开口方向相反的抛物线是抛物线是: :2 21 1y =-xy =-x4 4241xy 建湖县实验初中建湖县实验初中一个二次函数的图象的顶点是原点对一个二次函数的图象的顶点是原点对称轴是称轴是y y轴且过轴且过(-1,-2)(-

12、1,-2)(1)(1)求二次函数解析式求二次函数解析式; ;(2)(2)画出图象画出图象; ;(3)(3)说明函数的增减性说明函数的增减性; ;(4)(4)求函数的最大值或最小值求函数的最大值或最小值. .y=-2xy=-2x2 2建湖县实验初中建湖县实验初中 x x-3-3-2-2-1-1 0 0 1 1 2 2 3 3y=-2xy=-2x2 2解解: (2): (2)列表列表0 0-2-2-8-8-18-18-2-2-8-8-18-18建湖县实验初中建湖县实验初中x xy yO1234-1-2-3-424-10-12-14-16-18-2-4-6-8y=-2xy=-2x2 2描点描点(3)

13、(3)由图象得由图象得: :x0,yx0,y随随x x的增大而减小的增大而减小x0,yx0,y随随x x的增大而增大的增大而增大(4)(4)由图象得由图象得: : 当当x=0 x=0时时 y y最大值最大值 =0=0建湖县实验初中建湖县实验初中例例4 4已知已知 是二次函数，是二次函数，且当且当 x0 x0时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大（1 1）求）求k k的值；的值；（2 2）求顶点坐标和对称轴）求顶点坐标和对称轴解解 （1 1）由题意得）由题意得 ， 解得解得k=2k=2 42)2(kkxky02242kkk（2 2）二次函数为）二次函数为y=4xy=4x2 2， 则顶点

14、坐标为（则顶点坐标为（0 0，0 0），对称轴为），对称轴为y y轴轴建湖县实验初中建湖县实验初中例例5 5已知正方形周长为已知正方形周长为CcmCcm，面积为，面积为S cmS cm2 2（1 1）求）求S S和和C C之间的函数关系式，并画出图象；之间的函数关系式，并画出图象；（2 2）根据图象，求出）根据图象，求出S=1 cmS=1 cm2 2时，正方形的周时，正方形的周长；长；（3 3）根据图象，求出）根据图象，求出C C取何值时，取何值时，S4 cmS4 cm2 2 分析分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量自变量C的取值应在取值范围内的取值应在取值范围内解解 （1）由题意，得）由题意，得 )0(1612CCS拓展与提高拓展与提高建湖县实验初中建湖县实验初中解解 （1）由题意，得）由题意，得 )0(1612CCS2161CS 4149列表：列表：描点、连线，图象如图描点、连线，图象如图)0(1612CCS（2）根据图象得）根据图象得S=1 cm2时，正方形时，正方形的周长是的周长是4cm（3）根据图象得，当）根据图象得，当C8cm时，时，S4 cm2C C2 24 46 68 81 14 4建湖县实验初中建湖县实验初中友情提醒友情提醒（