【家教资料】高中数学必修一_第二章_基本初等函数(Ⅰ)_复习资料

1、必修1 第二章 基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， （2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函

2、数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：（2）几个重要的对数恒等式，（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）（4）对数的运算性质如果，那么加法： 减法：数乘：换底公式：【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0

3、101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的 影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将改写成，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质 原函数与反函数的图象关于直线对称函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域若在原函数的图象上，则在反函

4、数的图象上一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为

5、偶函数当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式： 顶点式：两根式：（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便（3）二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是当时，抛物线开口向上，函数在

6、上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，二次函数当时，图象与轴有两个交点（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符号 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且仅有一个根x1（或x2）满足k1x1（或x

7、2）k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数在闭区间上的最值 设在区间上的最大值为，最小值为，令（）当时（开口向上）最小值 若，则 若，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)最大值 若，则 ，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()当时(开口向下)最大值若，则 若，则 xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(

8、p)f(q)若，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)最小值若，则 ，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy01，且. n次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n次方根（）有如下恒等式：；，（a0）.2. 规定正数的分数指数幂： （）； . 例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1）（）； （2）.解：（1）当n为奇数时，； 当n为偶数时，.（2）. 当时，；当时，.【例2】已知，求的值.解：.【例3】化简：（1）； （2）（a0

9、，b0）； （3）.解：（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1）； （2）.解：（1）原式= = =4.（2）原式= =.点评：形如的双重根式，当是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.第2讲 2.1.2 指数函数及其性质（一）学习目标：理解指

10、数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.知识要点：1. 定义：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.2. 以函数与的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R，值域为；当时，即图象过定点；当时，在R上是减函数，当时，在R上是增函数.例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）.解：（1）要使有意义，其中自变量x需满足，即. 其定义域为.（2）要使有意义，其中自变量x需满足，即. 其定义域为.（3）要使有意义，其中

11、自变量x需满足，即. 其定义域为.【例2】求下列函数的值域：（1）； （2）解：（1）观察易知， 则有. 原函数的值域为.（2）. 令，易知. 则. 结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到在上为增函数，所以. 原函数的值域为.【例3】（05年福建卷.理5文6）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）.ABCD解：从曲线的变化趋势，可以得到函数为减函数，从而0a0，即b0. 所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b的范围. 也可以取x=1时的特殊点，得到，从而b 0, a1）知识要点：

12、1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.2. 函数与对数函数互为反函数.3. 复合函数的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i）求定义域；（ii）拆分函数；（iii）分别求的单调性；（iv）按“同增异减”得出复合函数的单调性.例题精讲：【例1】讨论函数的单调性.解：先求定义域，由, 解得. 设，易知

13、为减函数.又 函数是减函数，故函数在上单调递增.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. B. C. D. 解：在同一坐标系中分别画出的图象，分别作出当自变量x取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：. 故选C.【例3】指数函数的图象与对数函数的图象有何关系？ 解：在指数函数的图象上任取一点，则.由指对互化关系，有.所以，点在对数函数的图象上.因为点与点关于直线对称，所以指数函数的图象与对数函数的图象关于直线对称.点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数与互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线对称.

14、第8讲 2.3 幂函数学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是，其中是自变量，是常数. 要求掌握，这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当时，图象过定点；在上是增函数.（2）当时，图象过定点；在上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大. 轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大.例题精讲：【例1】已知幂函数的图象过点，试讨论其单调性.解：设，代入点

15、，得，解得，所以，在R上单调递增.【例2】已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值解： 幂函数图象与、轴都没有公共点， ，解得.又 的图象关于y轴对称， 为偶数，即得.【例3】幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A B C D 解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线的右侧，图象由下至上，依次是，所以有. 选B.点评：观察第一象限内直线的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象与. 第9讲 第二章 基本初等函数（） 复习学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合

16、等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.例题精讲：【例1】若，则. 证明：. . （注：此性质为函数的凹凸性）【例2】已知函数.（1）判断的奇偶性； （2）若，求a，b的值.解：（1）定义域为R，故是奇函数.（2）由，则.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3. 由得a=1，b=1.【例3】（01天津卷.19）设a0， 是R上的偶函数.（1）求a的值； （2）证明在上是增函数解：（1） 是R上的偶函数， . .exe-x不可能恒为“0”， 当a0时等式恒成立， a1（2）在上任取x1x2， e1，x1x2， ， 1，0， ， 是在上的增函数点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识此题中的函数，也可以看成指数