丁蜀高级中学高一年级数学学科教学讲学稿

1、丁蜀高级中学高一年级数学学科教学讲学稿第三章 三角恒等变换§3.1.1两角和与差的余弦教学目标：1、运用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题2、初步理解解析法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力3、培养探索和创新的能力和意识教学重点：公式推导及运用教学难点：推导公式方法，找出含有的等量关系教学过程：一、创设情境： 我们在初中时就知道 ，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？二、学生活动：ACBDE1、介绍：利用直角三角形找三角函数是初中就很熟悉的方法。利用两个直角三角形，让它们有公共元素（公共边或公共角），

2、建立两个角的三角函数关系。设|AB|=1，BAD=75°（正、余弦只要求出一个就行）利用ABD面积相等找等量关系，求得sin75°把45°和30°一般化，换成和，可推导出一般结论2、分析：研究三角函数最有利工具直角坐标系中的单位园 最基本方法数形结合法 用向量表示已知量，找到含有已知量与未知量的关系图探究1：在坐标系中a、b角构造a-b角探究2：作单位圆，构造全等三角形探究3：写出两个向量的坐标计算（几何形式，坐标形式，算两次，比较结果）探究4：导出两角差的余弦公式 记为探究特征熟悉公式的结构和特点；此公式对任意a、b都适用；公式记为探究cos(ab)的

3、公式 以-b代b得：两角和的余弦公式 记为 3、注意：公式中的角可以是任意角公式的右端是同名三角函数乘积的和或者差等式两边的运算符号（、）总是相反三、讲解范例：例1 计算或化简cos75° ，cos15°coscos-sinsin和例2已知sina=，cosb=，求cos(ab)和cos(ab)的值例3课本例1四、课堂练习：1课本P93练习1、2、3、2已知cos(ab)=,求(sinasinb)2+(cosa+cosb)2的值变题：已知sina-sinb=-，cosa-cosb=，求cos(ab)的值点评：通过此练习，体会两角和与差的余弦公式的右边，是同名三角函数乘积的和

4、差式的形式，同时体会逆用公式的优越性。五、小结作业： 小结：两角和与差的余弦公式内容；特征；应用（正用、逆用） 作业：限时训练28丁蜀高级中学高一年级数学学科教学讲学稿第三章 三角恒等变换§3.1.2两角和与差的正弦教学目标：1、能由两角和的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，2、进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学重点： 由两角差的余弦公式推导出两角和的正弦公式教学难点： 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学过程：一、复习引入：1两角和与差的余弦公式_2求cos105°的值=_ 3计算：cos65°cos115°-cos25

5、6;sin115°=_4 已知锐角a,b满足cosa=，cos(a+b)=，求cosb（体会角变换技巧）学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦sin(a+b)，sin(ab)的公式是是怎样的？跟，有关系吗？二、数学建构： 1 推导sin(a+b)=cos-(a+b)=cos(-a)-b=sinacosb+cosasinb即： （a+b）以-b代b得： （a-b）指点：你能用同有角三角函数关系，由推导sin(a+b)吗？有何困难？2公式的分析，结构解剖，嘱记（类似于上一课时的个注意点）三、数学应用：例1不查表，求下列各式的值：sin75° sin13°c

6、os17°+cos13°sin17° （3）例2 课本例1已知，求，例3 课本例2已知cos()=，cos=，都是锐角，求 sin例4、课本例3 求y=的最大值 （指点一下：可研究这个函数的相应性质）变题、求证：cosa+sina=2sin(+a)证一（构造辅助角）；证二：右边展开四、练习巩固：已知，求及的值。五、小结作业： 小结：两角和与差的正、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆用公式”作业：限时训练29丁蜀高级中学高一年级数学学科教学讲学稿第三章 三角恒等变换§3.1.2两角和与差的正弦教学目的：能运用两角和与差的正弦、余弦公式进行三角函数式

7、的化简、求值和恒等变形体会三角函数的一些技巧：角的变换、函数名的变换、逆用公式教学重点： 用和差角的正、余弦公式处理三角问题时的化异为同（角、函数名）教学难点： 化异为同教学过程：一、复习引入：1、(课本P97练习5)不用计算器，求值：°°（复习公式）2、(课本P97练习6)已知求和的值3、(课本P97练习7)已知，且都是第二象限角，求及的值。 正用公式（先创造求值的条件）二、典例讲解：例1、求的值 体会技巧“角的变换”点评：注意两个非特殊角10°、20°与特殊角30°的关系，利用角的变换，将两个非特殊角化为一个非特殊角（消元的思想），再利用同

8、角三角函数关系求值。例2、已知sin(a+b)=,sin(a-b)= 求的值（课本P99例6） 点评：根据角的要求，已知等式展开，看成方程组，解出和的值，代入需要求值的式子。注意函数名的形式和相互联系：异名函数的乘积例3、求证：(课本P97例4。)分析：证明恒等式的一般原则化繁为简（从复杂的一端向简单的一端转化） 本题主要任务是消除角的差异，方法：角的变换例4*、（可选择使用）已知sinasinb = ，求W=cosacosb的范围分析：本题对思维的要求较高，建议同学们积累这种题的解决思路。题中，两个式子相互之间的联系比较隐蔽，联想两角和与差的余弦公式，平方相加（弦的和差式常进行平方，如同学们

9、比较熟悉的，由sincos=,平方可求得sincos的值），将两式很好地联系起来，从而得到W2，由右边的范围限制左边的W三、巩固提高：1、已知sin(a+b) =，sin(a-b) =，求的值2、在ABC中，已知cosA =，cosB =，则cosC的值为 （）（A） （B） （C） （D）3、已知，求sin(a + b)的值四、小结作业：小结：解三角函数题，一定要注意分析，合理进行“角的变换”和“函数名的变换”作业：限时训练30丁蜀高级中学高一年级数学学科教学讲学稿第三章 三角恒等变换§3.1.3两角和与差的正切教学目的：能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式体会

10、该公式正用、逆用（创造条件逆用）、变形用教学重点：两角和与差的正切公式教学难点：公式Ta+b ,Ta-b的创造条件运用和变形运用教学过程：一、复习引入：1两角和与差的正、余弦公式2求证：cosx+sinx=cos(x) 3已知sinacosb=，cosasinb=，求sin(a-b)的值。二、讲解新课： 两角和与差的正切公式 Ta+b ,Ta-b1、公式的推导 cos (a+b)¹0tan(a+b)= 当cosacosb¹0时, 分子分母同时除以cosacosb得：以-b代b得：其中都不等于2、注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式（和差角的正、余弦公式中，角是

11、任意的）即：tana，tanb，tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解 2°注意公式的结构，尤其是符号3°公式除正用展开，逆用化简，还可变形用（在例3后归纳）三、讲解范例：例1、求值：tan15° 体会正用公式 体会逆用公式 (课本P101例2。) 创造条件逆用公式例2、设tana=，tanb=2，0°<a<90°<b<180°，求tan(ab)，并求a+b的值。点评：直接运用公式（）容易求出的值 由已知的三角函数值求角时，所得的解是不唯一的因此，必须根据已知

12、条件进行分析，这就要确定的范围例3、设是一元二次方程的两根，求的值(课本P101例3。)点评：整体思想，即先求得公式中的分子tantan，分母中的tantan 虽然先解方程，得tan和tan的值，再求tan（）也行，但运算要繁琐得多。例4、求tan17°+tan28°+tan17°tan28°的值： 变形用公式tantan=四、课堂练习：课本P102练习1、2、3、4、5五、小结作业： 1、两角和与差的正切公式, 解题时要多观察，勤思考，善于联想，善于归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用公式，特殊角函数值的应用等是三角恒等变换中常用的方法和技能2、

13、由三角函数值确定角，一定要注意角的范围。课后作业：限时训练31丁蜀高级中学高一年级数学学科教学讲学稿第三章 三角恒等变换§3.1.3两角和与差的正切教学目的：能比较熟练地地运用两角和与差的正切公式解决一些三角问题能将公式用于证明三角恒等式和解决三角形中的一些与正切有关的问题教学重点：两角和与差的正切公式的应用教学难点：公式Ta+b ,Ta-b的灵活应用教学过程：一、复习引入：1、两角和与差的正切公式：内容；适用范围；用法2、已知tan（），tan（），那么tan（）等于_3、设是一元二次方程的两个根，求的值归纳：如果已知是一元二次方程的两个根，那么联想公式与韦达定理便于探求结论变题：

14、在ABC中，已知tanA，tanB是方程3x28x10的两根，则tan=( ) A.2 B.2 .4 .4二、典例解析：例1、如图，三个相同的正方形相接，求证：(课本P101例3。) 再次体会：由三角函数值确定角，一定要注意角的范围。例2、在非直角中，（1）求证：；(课本P102例4) 分析：要证明的式子与公式比较，都含有正切的和与积，所以考虑用该公式 变形公式中，有两角的正切之和化为积的形式，用之即可 （其中用到A+B化为C的诱导公式，可启发，A+B+C=？仍成立？）变题：在ABC中，若0tanA·tanB1则AB一定是 ( )A等边三角形 B直角三角形 锐角三角形 钝角三角形例3

15、、两座建筑物AB,CD的 高度分别是 9m和15m.从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角CAD=450，求建筑物AB,CD的底部之间的距离BD(课本P103例5) 分析：运用差角的正切，建立代数方程。注意实际问题中变量的取值范围三、巩固提高：课本P103练习1、 可拓宽：A，B，C满足什么条件时，仍是该题的结果？练习2、 运用正切变形公式即可（感受数学美）练习3、 仍是运用正切变形公式即可练习4、 分子运用正切变形公式即可四、小结作业限时训练32丁蜀高级中学高一年级数学学科教学讲学稿第三章 三角恒等变换§3.2二倍角的三角函数教学目的：1、从和角公式推导出倍角公式，理解化归思想在公

16、式推导中的作用；2、用和角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。教学重点：倍角公式及应用教学过程：一、情景创设：教师提出本节课的研究课题：角的三角函数与它的二倍角2的三角函数之间存在着什么样的关系？二、学生活动学生就上述问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题。1、考虑问题的综合性：的三角函数与它的二倍角2的三角函数之间是否一定存在着确定的数量关系？为什么？2、从总体上确定解决问题的大方向：我们应该从哪些方面尝试解决这一研究课题？（形和数两个方面）3、如果从“形”的方面来思考：考察函数y=sinx与y=sin2x图象之间的关系。出示两函数图象：y=sinx与y=sin2x的图象具有什么样

17、的关系？你能从图象上看出sin与sin2在数量上的关系吗？更进一步，你能把上述关系用解析式表达出来吗？具体地，怎样在图象上表示出sin和sin2?它们之间有什么样的关系？如果不能从图象上看出sin和sin2间的关系，你认为，还应该从什么方面来思考？（从数的角度来考虑）还有什么可以作为我们解决问题的基础？说说你的想法。三、建构数学1、从公式sin(+)=sincos+cossin推导出sin2的公式。 2：sin2=2sincos2、反思公式的推导过程，揭示其中思想：和角公式倍角公式1、 根据上述思路推导cos2,tan2的公式。4、比较cos2的三种不同形式。四、数学运用1、最简单的运用。例1

18、、已知求sin2,cos2,tan2的值。（课本P105例1）有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍角2的三角函数。2、进一步的运用。例2、求证：。（课本P106例2）讨论解题思路，探讨不同的解法，并展开讨论：3、练习课本第106页练习1、2五、回顾小结请学生归纳，本节课学习了如下内容：1、利用特殊化的方法从和角公式推出了二倍角公式。这里的特殊化，是实现化归的一种手段。2、和角公式的简单运用。利用和角公式可以方便地把二倍角的三角函数，表示为单角的三角函数。（想一想，怎样把单角的三角函数表示为二倍角的三角函数？）六、课外作业限时训练33丁蜀高级中学高一年级数学学科教学讲学稿第三章 三角恒等变换§3.2二倍角的三角函数(2)学习目标：1、从和角公式推导出倍角公式，理解化归思想在公式推导中的作用；2、用和角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。教学重点：倍角公式及应用教学过程：（一）复习： 1二倍角的正弦、余弦、正切公式。2练习：