张量及应用2-1

1、第二章 张量分析2.1 标量的张量值函数的导数tttttt)()(limdd0TTTtttddddd)d(STST自变量是标量，函数是张量，如 T=T(t)，则（设TS是有意义的）tttddddd)d(TTTtttddddd)d(STSTSTtttddddd)d(aTaTaTTTddddttTT2.1 标量的张量值函数的导数（ 是标量）（a 是矢量）直接根据导数的定义证明上述公式，例如 ：ttttttttttttttttttttttttt)()()()(lim)()()()(lim)()()()(limd)d(000aTaTaTaTaTaTaTtttttttttttttttdddd)()(li

2、m)()()()(lim00aTaTaaTaTT此外，在直角坐标系中 tTtddddj ij iTjij iddddeTeTtt0eettddddjij ijijij idddd)(ddddttttTTeTeeTe且例题：设 为二阶正交张量， 证明 是一个反对称张量。 )(tQQ TddQQt证：IQQT0QQQQttddddTT，TTddddQQQQtt即（1）TTTTddddddQQQQQQttt（2）比较(1)和(2)：TTTddddQQQQtt满足反对称张量定义，证毕 2.2 梯 度 2.2.1 标量场的梯度2.2.1 标量场的梯度iiiieex2.2.1 标量场的梯度2.2.2 矢量

3、场的梯度 2.2.2 矢量场的梯度 矩阵形式 333231232221131211xaxaxaxaxaxaxaxaxaa2.2.2 矢量场的梯度 2.2.2 矢量场的梯度 2.2.2 矢量场的梯度 2.2.3 张量场的梯度 2.2.3 张量场的梯度 2.3散 度 2.3.1 矢量场的散度 2.3散 度 2.3.1 矢量场的散度 2.3散 度 2.2.2 张量场的散度 2.3散 度 2.2.2 张量场的散度 2.4旋 度2.4.1 矢量场的旋度2.4旋 度2.4.1 矢量场的旋度2.4旋 度2.4.1 矢量场的旋度2.4旋 度2.4.1 矢量场的旋度2.4旋 度2.4.2 张量场的旋度 2.4旋

4、 度2.4.2 张量场的旋度 2.5 双重微分算子 2.6 张量函数的导数 2.6.1 张量函数 自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数，如 )(),(j iBffffB)(),(ijkkBaa Baa)(),(ijklklBTT BTT一般而言，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的。如果它们对所有的正交基都是相同的，则称为各向同性张量函数。 2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 注意：2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 例如：22112212)(41)(BBBf12211212)(21BBBBf2.

5、6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 2.6 张量函数的导数 2.6.2 张量函数的梯度 r ii r1BI，1.7.4 张量的并积 设 分别为m和n阶张量，它们的并积为 ，则 BA,C)(nm1mnm1mm1m1iiiiiiiieeBACBAnm1nm1iiiieCnm1mm1nm1iiiiiiBAC可见，其结果张量 是m+n阶的。 C1.7.5张量的点积 矢量a a, b b的点积： iij ijijijijjii)()()(bababababaeeee换指标1.7.5张量的点积 张量 T, S （设为二阶）的点积： nmjinmj inmnmjij i)()()(eeeeeee

6、eSTSTSTnimjnmj inmjinmj i)(eeeeeeSTSTninininmmi)(eSTeeST矩阵形式： TSTS设 均为二阶张量，用基张量表示点积，并证明 （作业）TSR,TS)(RT)(SR一般地，任意个二阶张量依次点积，结果仍为二阶张量，即j ijqpqnmmieVUSRVUSRj ijqpqs rr inneAAAAAAAA 张量的双重点积： 若A为三阶张量，B为二阶张量，则 ikjk j iinkmjnmk j inkmjinmk j inmnmk j ik j i)()( : )(:eeeeeeeeeBABABABABA结果为一阶张量。 张量的双重点积： 若 S，

7、T 均均为二阶张量，则 结果为零阶张量。 j ij injminmj injminmj inmnmj ij i)()( : )(:TSTSTSTSeeeeeeTS1.7.6 张量的叉积 两个矢量a，b 的叉积： kjik j ijijijjii)()(eeeeebabaebabakk j ijieeee三个矢量 a，b，c 的叉积： 已知 ，则 kjik j iebabaemmkjik j i)(eecbacbaennmkmjik j imkmjik j ieeeecbaecbaenmjimjninjminmjiknmk j i)(eecbacbaeenmjimjnimjinjmi)(ecba

8、cbanmmnmnm)(ecbacba三个矢量 a，b，c 的叉积： mmkjik j i)(eecbacbaenmmnmnm)(ecbacbannmmnmm)()(eacbbcac)a(bc)b(acba )(即试验证（作业）： cb(ac)b(acba)(三个矢量 的混合积：cba,mkmjik j immkjik j icbaecbaeeebc)(aabc即kjik j icbaeabc几何意义： 以 为边的棱柱体积，有向。cba,换指标两个任意张量 的叉积： BA,strjirstj irstrstj ij i)()()(eeeeeeBABABAt skikstistkikr jrstj ieeeeCeBAkr jrstj ikstieBAC1.7.7 二阶张量的迹 矢量 a,b 并矢 ab 的迹定义为： iij ijijijitrbababaeebaabj ijijitreeee任意二阶张量 T 的迹： i ij ij ijij