第二讲导数和微分内容提要和典型例题ppt课件

1、第二讲第二讲 导数与微分导数与微分 内容提要与内容提要与典型例题典型例题一、主要内容导导 数数xyx 0lim基本公式基本公式求求 导导 法法 那么那么高阶导数高阶导数微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶微分高阶微分第二章第二章 导数与微分内容提要导数与微分内容提要1 1、导数的定义、导数的定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 单侧导数单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件左导数，右导数，可导的充要条件2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）常、反、对、幂、指、三、双曲常、

2、反、对、幂、指、三、双曲18个公式个公式3 3、求导法则、求导法则第二章第二章 导数与微分内容提要导数与微分内容提要(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意不要漏层注意不要漏层(4) 对数求导法对数求导法注意适用范围注意适用范围(5) (5) 隐函数求导法则隐函数求导法则注意注意y y的函数的求导的函数的求导(6) (6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则注意不要漏乘注意不要漏乘4 4、高阶导数、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导

3、数)xxfxxfxfnnxn )()(lim)(0)1(0)1(00)( 方法：逐阶求导方法：逐阶求导第二章第二章 导数与微分内容提要导数与微分内容提要5、微分的定义、微分的定义微分的实质微分的实质6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式8 8、 微分的基本法则微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性微分形式的不变性复合函数的微分法则复合函数的微分法则的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx d

4、xxfdy)( 第二章第二章 导数与微分内容提要导数与微分内容提要二、典型例题例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求设设解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求设设第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题解解,12xu 设设,11ln41arctan21 uuuy则则)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 例例3 求下列函数的导数求下列函数的导数xy1a

5、rccos 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题221111xxy 2211|xxx 1|12 xx20 ,max)(2 xxxxf 211110)(2xxxxxxf时时当当故故10 x1)( xf时时当当21 xxxf2)( 解解解解第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题1)1()(lim)1(1 xfxffx11lim1 xxx1 1)1()(lim)1(1 xfxffx11lim21 xxx2 )1()1( ff不存在不存在)1(f 2121101)1(xxxxf不不存存在在dxdyetyytxt求求设设 52arctan2解解211tdtdx 第二章第二章 导

6、数与微分典型例题导数与微分典型例题第二个方程两边对第二个方程两边对 t 求导得求导得0222 tedtdytyydtdy222 tyyedtdytdtdxdtdydxdy 22)(1(22 tyyett)1(1)1(1)()()1()(2001fgxxgxgxxf 求求且且处处连连续续，在在，其其中中设设第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题1)1()(lim)1(1 xfxffx1)()1(lim20011 xxgxx)(1lim199920001xgxxxx )1(111g 2019个个2001 例例40)0(|)sin|1)()(,)( fxxfxFxf则则可可导导设设条条件

7、件处处可可导导的的在在是是_0)( xxFA.充分必要充分必要B.充分非必要充分非必要C.必要非充分必要非充分D.非充分非必要非充分非必要解解第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题证一证一0)0( f设设那么那么0)0()(lim0 xFxFxxxxfx0|)sin|1)(lim0 |)sin|1(0)0()(lim0 xxfxfx )0(f 处处可可导导在在故故0)( xxF处处可可导导在在设设0)( xxF0)0()(lim0 xFxFx0)0(|)sin|1)(lim0 xfxxfx第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题存存在在 xxxfxfxfx|sin|)(0

8、)0()(lim0)0(0)0()(lim0fxfxfx 而而存存在在Axxxfx |sin|)(lim00)0( f若若存存在在则则)(|sin|)(lim|sin|lim00 xfxxxfxxxx 不存在不存在而而xxx|sin|lim00)0( f故故第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题证二证二即即处处可可导导在在,0|)sin|1)()( xxxfxF)0()0()0( FFF存在存在xfxxfFx)0()sin1)(lim)0(0 xxxfxfxfxsin)(0)0()(lim0)0()0(ff xfxxfFx)0()sin1)(lim)0(0 xxxfxfxfxsin

9、)(0)0()(lim0)0()0(ff 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题)0()0()0()0()0(ffffF 存存在在即即0)0()0( fF存存在在亦亦即即例例5设设)tan(yxy 确定了确定了)(xyy 求求22dxyd解解两边对两边对 x 求导得求导得)1)(sec2yyxy )(sec1)(sec22yxyxy )(csc2yx )(csc222yxdxddxyd 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题)1()cot()csc()csc(2yyxyxyx )(csc1)cot()(csc222yxyxyx )(cot)(csc232yxyx 例例6

10、 6.,45202 tdxdyt ttyttx求求设设解解分析分析: :,0不不可可导导时时当当tt 不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx 24)(5limlim200)sgn(2)sgn(45lim0tttt . 0 . 00 tdxdy故故第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题).(, )2()(xfxxxxf 求求设设练习练习解解 先去掉绝对值先去掉绝对值 )(xf,0时时当当 x, 0)0()0( ff; 0)0( f,20时时当当 x;43)(2xxxf ,02时时或或当当 xx;43)(2xxxf 0 x),2(2 xx20 x),2(2 xx2 x),2(

11、2 xx第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题,2时时当当 x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 ),2()2( ff.2)(处不可导处不可导在在 xxf , 20,43, 0, 00, 2,43)(22xxxxxxxxxf或或,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题)(xf设设在在2 x处连续处连续, ,且且求求. )2(f )2(f)(lim2xfx0 2)(lim2 xxfx3 练习练

12、习解解 )2(x2)2()(lim)2(2 xfxffx 2limx)2()( xxf,32)(lim2 xxfx第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题.,114)(22nyxxy求求设设 例例7 7解解 11422xxy 1111234xx )(11nx )(11nx.)1(1)1(1 !)1(2311)( nnnnxxny1)(!)1(1 nnnxnx,)1(!)1(1 nnxn,)1(!)1(1 nnxn3 12 x24x4 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题例例8设设)(x 在在 x = a 处连续，讨论处连续，讨论)()()(xaxxf )(|)(xaxx

13、f | )(| )()(xaxxf 在在 x = a 处的可导性处的可导性解解axafxfax )()(limaxxaxax )()(lim )(limxax )(a )()()(xaxxf 在在 x = a 处可导处可导axafxfax )()(limaxxaxax )(|lim 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题axxaxax )()(lim )(a axafxfax )()(limaxxaxax )(|lim axxaxax )()(lim )(a 时时0)( a )(|)(xaxxf 在在 x = a 处不可导处不可导时时0)( a )(|)(xaxxf 在在 x =

14、a 处可导处可导第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题axafxfax )()(limaxxaxax | )(| )(lim | )(|limxax | )(|a | )(| )()(xaxxf 在在 x = a 处可导处可导例例9在什么条件下，函数在什么条件下，函数 0001sin)(xxxxxfn连连续续)(xf存在存在)0(f 连续连续)(xf 存在存在)0(f 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题解解首先注意到首先注意到不存在不存在时时当当xxx1sinlim00 01sinlim00 xxx 时时当当xxxfxn1sin)(0 时时，当当是初等函数，延续是初

15、等函数，延续因此要使因此要使连连续续)(xf处处连连续续在在只只须须0)( xxf)0(01sinlim0fxxnx 即只须即只须0 n 要使要使0)0()(lim)0(0 xfxffx第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题xxxnx01sinlim0 xxnx1sinlim10 存在存在1 n此时此时0)0( f时时当当0 xxxxnxxfnn1cos1sin)(21 0)0( f要使要使连续连续)(xf 处处连连续续在在只只须须0)( xxf0)0()(lim0 fxfx即即只只须须01cos1sinlim210 xxxnxnnx2 n第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分

16、典型例题 要使要使0)0()(lim)0(0 xfxffxxxxxnxnnx1cos1sinlim210 1cos1sinlim320 xxxnxnnx 存在存在3 n此时此时0)0( f注注 通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续，的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续，再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题试确定常数试确定常数a , ba , b使使f (x)f (x)处处可导处处可导, ,并求并求. )(xf )(xf

17、1 x1 x, )1(21 ba1 x,1时时 xxxf2)( ,2x练习练习解解,1时时 x1lim)()1()1(2 xnxnnebaxexxf设设,bxa axf )(第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题利用利用)(xf1 x在在处可导处可导, , )1()01()01(fff )1()1( ff即即ba 1 2 a2)1( f 1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数是否为连续函数? ?应有应有 )(xf1 x1 x, )1(21 ba1 x,2x )1(21 ba,1时时 xxxf2)( ,1时时 x,1,2 ba,bxa axf )(第二章第二章 导数与微分

18、典型例题导数与微分典型例题 函数函数)(xf 在该区间上存在在该区间上存在, 但但)(xfy 也在该区间上连续也在该区间上连续.则肯定则肯定导函数导函数注注不能断定不能断定在某区间上连续并可导在某区间上连续并可导,)(xfy 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题例例10)(|,)1()()(xfbacbaxcxbfxafxf ，求求为为常常数数，且且其其中中满满足足设设解一解一有有代代中中用用在在,1)1()(xxxcxbfxaf cxxbfxaf )()1(联立解得联立解得)(22bxxabacxf )(222bxaabcxf 解二解二联立方程组联立方程组第二章第二章 导数与微

19、分典型例题导数与微分典型例题xcxbfxaf )1()(cxxbfxaf )()1(两边对两边对 x 求导求导22)1()(xcxfxbxfa cxfbxfxa )()1(2解得解得)(222bxaabcxf 例例11xfxffxyyfxfyxfyx2)0()()0(2)()()(, 存在，证明存在，证明且且有有设设第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题证证在在xyyfxfyxf2)()()( 中令中令0 y有有)0()()(fxfxf 0)0( f再由再由xyyfxfyxf2)()()( 得得xyyfyxfyxf2)()()( 注意到注意到0)0()(lim)(lim00 yfy

20、fyyfyy)0(f 存在存在yxfyxfy)()(lim0 xyyfy2)(lim0 xf2)0( 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题练习练习解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.dd,)0, 0()(22xyyxxyxfy求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 xy第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题例例12设设)()()(ahagaf 对所有的对所有的 x，有，有)()

21、()(xhxgxf )()(ahaf 且且证明证明处处也也可可导导，且且在在axxg )()()()(ahagaf 证证)()()(xhxgxf )()()(ahagaf )()()()()()(ahxhagxgafxf 两边同除以两边同除以)(ax 得得axahxhaxagxgaxafxf )()()()()()()(ax axahxhaxagxgaxafxf )()()()()()()(ax 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题由由)()(ahaf axafxfaxafxfaxax )()(lim)()(lim)()(ahaf axahxhaxahxhaxax )()(lim

22、)()(lim)()(ahaf 由夹逼定理得由夹逼定理得axagxgaxagxgaxax )()(lim)()(lim)()(ahaf )()()(ahagaf 第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题例例130)(),(0)()(0)()(,)( fbabfafbfafbaxf使使，证证明明及及上上连连续续，且且在在设设证证不妨设不妨设0)(, 0)( bfaf观察下图观察下图xyoy=f(x)ab1x2x第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题由由0)(lim)()(lim)( axxfaxafxfafaxax0)(lim)()(lim)( bxxfbxbfxfbfbxbx及函数极限的保号性质可知及函数极限的保号性质可知 21, 使当使当有有时时,),(11 aax0)(11 axxf0)(1 xf有有时时,),(22bbx 0)(22 bxxf0)(2 xf第二章第二章 导数与微分典型例题导数与微分典型例题由于由于f ( x )在在 x1 , x2 上连续上连续0)()(21 xfxf且且故由零点定理