第五章第一节向量的概念及线性运算ppt课件

1、内容内容要求要求考考 情情 分分 析析ABC平平面面向向量量平面向量的概念平面向量的概念1.平面向量主要以平面向量主要以 填空题的形式考填空题的形式考 查平面向量的线查平面向量的线 性运算，向量的性运算，向量的 数量积及其在解数量积及其在解 决夹角、距离、决夹角、距离、 平行、垂直等问平行、垂直等问 题中的应用，另题中的应用，另 外平面向量也常外平面向量也常 与三角函数、解与三角函数、解 析几何等知识相析几何等知识相 结合在解答题中结合在解答题中 考查考查平面向量的加法、平面向量的加法、减法及数乘运算减法及数乘运算平面向量的坐标表平面向量的坐标表示示平面向量的数量积平面向量的数量积平面向量的平

2、行与平面向量的平行与垂直垂直平面向量的应用平面向量的应用内容内容要求要求考考 情情 分分 析析ABC复复数数复数的概念复数的概念2高考对于复数的高考对于复数的 查以考查复数的查以考查复数的 四则运算为主，四则运算为主， 属于低档题属于低档题复数的四则运算复数的四则运算复数的几何意义复数的几何意义名称名称定义定义备注备注向量向量既有既有 又有又有 的量，向量的大的量，向量的大小叫做向量的小叫做向量的 (或或 )平面向量是平面向量是自由向量自由向量零向量零向量长度为长度为 的向量，其方向是任意的的向量，其方向是任意的记作记作单位向量单位向量 长度等于长度等于 的向量的向量大小大小 方向方向 模模

3、长度长度 零零 1个单位个单位0非零向量非零向量a的的单位向量为单位向量为一、向量的有关概念一、向量的有关概念名称名称定义定义备注备注平行向量平行向量方向方向 或或 的的非零向量非零向量0与与 平行或共线平行或共线共线向量共线向量平行向量又称为共平行向量又称为共线向量线向量一样一样 相反相反任一向量任一向量名称名称定义定义备注备注相等向量相等向量长度长度 且方向且方向 的向量的向量相反向量相反向量长度长度 且方向且方向 的向量的向量0的相反向量为的相反向量为0相等相等 一样一样相等相等 相反相反两向量平行与两直线两向量平行与两直线(或线段或线段)平行有何不同？平行有何不同？提示：平行向量也叫共

4、线向量，这里的提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行与平行与两直线两直线(或线段或线段)平行的意义不同，两向量平行时，平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以一样两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以一样.二、向量的线性运算二、向量的线性运算向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律加法加法求两个向量求两个向量和的运算和的运算(1)交换律：交换律：ab .(2)结合律：结合律：(ab)c .baa(bc)向量向量运算运算定义定义法则法则(或几何意义或几何意义)运算律运算律减法减法求求a与与b的相反的相反向量向量b的和的的和的运算叫做运

5、算叫做a与与b的差的差 三角形法则三角形法则aba(b)数乘数乘求实数求实数与向量与向量a的积的运算的积的运算(1)|a| .(2)当当0时，时，a与与a的方向的方向 ；当当0时，时，a与与a的方向的方向 ；当；当0时，时，a .( a) ；()a ；(ab) .|a|一样一样相反相反 aa aab0 1.假设假设A、B、C、D是平面内恣意四点，给出以下式子：是平面内恣意四点，给出以下式子： 其中正确的有其中正确的有 .(填序号填序号) 解析：式的等价式是解析：式的等价式是 左边左边 右边右边 不一定相等；式的等价式是不一定相等；式的等价式是 成立；式的等价式是成立；式的等价式是 成立成立.答

6、案：答案： 2.在在ABC中，中， 假设点假设点D满足满足 那么那么 .(用用b，c表示表示) 答案：答案：解析：如下图，可知解析：如下图，可知3知向量知向量a，b，且，且ABa2b，BC5a6b， CD7a2b，那么，那么A、B、C、D四点中一定共线的三四点中一定共线的三点点 是是_解析：解析： (5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b) 共线共线.又又有公共点有公共点B，A、B、D三点共线三点共线.答案：答案： A、B、D4.知知a与与b是两个不共线向量，且向量是两个不共线向量，且向量ab与与(b3a) 共线，那么共线，那么.解析：由知得解析：由知得abk(b3a)，解得解得答案：答案：

7、5.知平面上不共线的四点知平面上不共线的四点O、A、B、C.假设假设 + 0，那么，那么 等于等于.答案：答案：2解析：由知得，解析：由知得，2=2=2. 1.向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任 意两个向量不能比较大小，只可以判别它们能否相等，意两个向量不能比较大小，只可以判别它们能否相等， 但它们的模可以比较大小但它们的模可以比较大小.2.由向量相等的定义可知，对于一个向量，只需不改动它由向量相等的定义可知，对于一个向量，只需不改动它 的大小和方向，它是可以恣意平行挪动的，因此用有向的大小和方向，它是可以恣意平行挪动的，因此用有向

8、 线段表示向量时，可以恣意选取有向线段的起点，由此线段表示向量时，可以恣意选取有向线段的起点，由此 也可得到：恣意一组平行向量都可以移到同一条直线上也可得到：恣意一组平行向量都可以移到同一条直线上.【留意】向量与起点无关，有向线段与起点有关【留意】向量与起点无关，有向线段与起点有关.3.断定两个向量的关系时，特别留意以下两种特殊情况：断定两个向量的关系时，特别留意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系；零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向单位向量的长度及方向. 以下命题中：以下命题中：有向线段就是向量，向量就是有向线段；有向线段就是向量，向量就是有向线

9、段；向量向量a与向量与向量b平行，那么平行，那么a与与b的方向一样或相反；的方向一样或相反；向量向量 与向量与向量 共线，那么共线，那么A、B、C、D四点共线；四点共线；假设假设ab，bc，那么，那么ac.其中为假命题的是其中为假命题的是_(填序号填序号) 正确了解向量的有关概念是处理此题的关键正确了解向量的有关概念是处理此题的关键.留意到特留意到特殊情况，否认某个命题只需举出一个反例即可殊情况，否认某个命题只需举出一个反例即可.【解析】不正确，向量可以用有向线段表示，但向量【解析】不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；不是有向线段；不正确，假设不正确，假设a与与b中有一个为零向

10、量时，零向量的方向中有一个为零向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定一样或相反；是不确定的，故两向量方向不一定一样或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如不正确，如b0时，那么时，那么a与与c不一定共线不一定共线.【答案】【答案】1.判别以下命题能否正确，不正确的阐明理由判别以下命题能否正确，不正确的阐明理由. (1)假设向量假设向量a与与b同向，且同向，且|a|b|，那么，那么ab； (2)假设向量假设向量|a|b|，那么，那么a与与b的长度相等且方向一样或相的长度相等且方向一样或相反；反； (3)对于恣意

11、向量对于恣意向量|a|b|，且，且a与与b的方向一样，那么的方向一样，那么ab； (4)由于零向量由于零向量0方向不确定，故方向不确定，故0不能与恣意向量平行；不能与恣意向量平行； (5)起点不同，但方向一样且模相等的几个向量是相等向量起点不同，但方向一样且模相等的几个向量是相等向量.解：解：(1)不正确不正确.由于向量是不同于数量的一种量，它由两由于向量是不同于数量的一种量，它由两个要素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大个要素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故小，故(1)不正确不正确.(2)不正确不正确.由由|a|b|只能判别两向量长度相等，不能判只能判别两向量长度

12、相等，不能判别方向别方向.(3)正确正确.|a|b|，且，且a与与b同向，由两向量相等的条件同向，由两向量相等的条件可得可得ab.(4)不正确不正确.由零向量性质可得由零向量性质可得0与任一向量平行，可知与任一向量平行，可知(4)不正确不正确.(5)正确正确.对于一个向量只需不改动其大小与方向，是可以对于一个向量只需不改动其大小与方向，是可以恣意平行挪动的恣意平行挪动的. 向量的线性运算要满足三角形法那么和平行四边形法向量的线性运算要满足三角形法那么和平行四边形法那么，做题时，要留意三角形法那么与平行四边形法那么那么，做题时，要留意三角形法那么与平行四边形法那么的要素的要素.向量加法的三角形法

13、那么要素是向量加法的三角形法那么要素是“首尾相接，指向首尾相接，指向终点，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，终点，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法那么要素是减法的三角形法那么要素是“起点重合，指向被减向量，起点重合，指向被减向量，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法那么的要素是向量的终点；平行四边形法那么的要素是“起点重合，即起点重合，即两个向量的起点一样，和向量的起点也一样两

14、个向量的起点一样，和向量的起点也一样. 如图，如图，ABC中，中， DEBC交交AC于于E，BC边上的中线边上的中线AM交交DE于于N.设设 用用a、b表示表示向量向量 解此题除要进展向量的加、减法外，还有数解此题除要进展向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如乘向量运算，如在进展计算时要充分利用在进展计算时要充分利用DEBCADEABC，ADNABM等等条件条件.又又AM是是ABC的中线，的中线，DEBC，且且AM与与DE交于点交于点N，【解】【解】由由ADEABC，得，得 (a+b).a (ba) (ab)a+(b-a).2.如下图，如下图，ABCD是一个梯形，是一个梯形，ABCD，且，且A

15、B2CD， M、N分别是分别是DC、AB的中点，知的中点，知 b，试，试 用用a、b分别表示分别表示解：衔接解：衔接AC.=b+ a-a=b- a,=- a+b+ a=b- a,a-b.向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三点共线；二是利用三点共线求参数的值点共线；二是利用三点共线求参数的值.无论上述哪种题型都无论上述哪种题型都离不开共线向量定理离不开共线向量定理. 设两个非零向量设两个非零向量e1和和e2不共线不共线(1)假设假设ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，求证：求证：A、C、D三点共线；三点共线；(2)假设假设

16、ABe1e2，BC2e13e2，CD2e1ke2，且，且A、C、D三点共线，求三点共线，求k的值的值 (1)要证要证A、C、D三点共线，只需证存在实数三点共线，只需证存在实数，使，使 即可即可.(2)由于由于A、C、D三点共线，因此存在实数三点共线，因此存在实数， 使使 ，因此可据知条件和向量相等，因此可据知条件和向量相等 条件得到关于条件得到关于，k的方程，从而求的方程，从而求k.【解】【解】(1)证明：证明：ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，又又ACABBC4e1e2 (8e12e2)CD，AC与与CD共线又共线又AC与与CD有公共点有公共点C，A、C、D三点共线三点共线(2) (e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线，三点共线， 共线，从而存在实数共线，从而存在实数使得使得即即3e12e2(2e1ke2)，由平面向量的根本定理，得由平面向量的根本定理，得解得解得= ,k= .3.知知 (，为实数为实数)，假设，假设A、B、C三点三点 共线共线.求证：求证：1.证明：如图，证明：如图，A、B、C三点共线，三点共线，可设可设ABmAC，那么那么OBOAABOAmACOAm(OCOA)(1m)OAmOC，又又OBOAOC，1m，m，1. 平面向量的根本概念及线性运算是本章知识的根底，平面向量的根本概念及线性运算是本章知识的根底，其中平面向