2015届高考理科数学一轮-第十章统计、统计案例复习题及答案解10.2用样本估计总体

1、第 2 课时用样本估计总体 1.了解分布的意义与作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图, 茎叶图，理解它们各自的特点. 2 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. 3能从样本数据中提取基本的数字特征 （如平均数、标准差），并给出合理的解释. 4会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数 字特征，理解用样本估计总体的思想. 5会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 基础知识梳理基础知识梳理 对应学生用书 P162 【梳理自测】 、用样本的频率分布估计总体的分布 1.一个容量为 100 的样本，其数据的分组与各组的频

2、数如下: 组别 (0, 10 (10, 20 (20, 30 (30, 40 (40, 50 (50, 60 (60, 70 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在（10, 40上的频率为（ ） A. 0.13 B. 0.39 考纲 点C. 0.52 D. 0.64 2.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下，则在区间 4, 5）上的数据的频数为 答案：1.C 2.30 以上题目主要考查了以下内容: （一）频率分布直方图 （1） 通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分 布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征. （2） 作频

3、率分布直方图的步骤 求极差（即一组数据中最大值与最小值的差 ） 决定组距与组数. 将数据分组. 列频率分布表. 画频率分布直方图. 积表示.各小长方形的面积总和等于 1. （二） 频率分布折线图和总体密度曲线 （1） 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折 线图. （2） 总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频 率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. （三） 茎叶图的优点 用茎叶图表示数据有两个突出的优点： 一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图中的数据可以随时记录，随

4、时添加，方便记录与表示. 二、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1. （教材改编）某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取 8 粒，量得直径分别为（单位: mm）: 14.7, 14.6, 15.1, 15.0, 14.8, 15.1, 15.0, 14.9,则估计该厂生产的滚珠直径的平 均数为（3）在频率分布直方图中，纵轴表组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面 ） A. 14.8 mm B. 14.9 mm C. 15.0 mm D . 15.1 mm 2. (教材改编)10 名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是 15, 17, 14, 10, 15, 佃，17, 16, 14,

5、12,则这一天 10 名工人生产的零件的中位数是 ( ( ) ) A. 14 B. 16 C. 15 D. 17 0 1 | 8 9 0 3 53.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员 在这五场比赛中得分的方差为 _ . 答案：1.B 2.C 3.6.8 以上题目主要考查了以下内容： (1) 众数，中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据 ( (或最中间两个数 据的平均数) )叫做这组数据的中位数. 1 平均数：样本数据的算术平均数，即 x = Hx!+ X2+-+ X

6、n). 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. _ (2) 样本方差、标准差 标准差 s= n n (x1- X)2+( x2 X) 2+( xn- X) 2，其中 Xn是样本数据的第 n 项，n 是样本容量,X 是平均数，标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准 差的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近 总体方差. 【指点迷津】 1. 一种关系 平均数、中位数、众数与频率分布直方图的关系 (1) 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以 估计中位数值. (2) 平均数：平均数的估计值等于每个小矩

7、形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和. (3) 众数：最高的矩形的中点的横坐标. 2. 二个区别 直方图与条形图的区别 不要把直方图错以为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为 频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率 /组距，这是密度，连续随机变量 在某一点上是没有频率的. 3三种影响 平均数、中位数、众数的影响 (1)由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均 数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质 (2)众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关众数可以有 多个 (3) 某些数据的变动对中位数可能没有影响中位数可

8、能出现在所给数据中，也可能不 在所给数据中当中间是两个数时，中位数为这两个数的平均值，当一组数据中的个别数 据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势仝冋时賢卷世 J 聚議考向透析4林如点1我 对应学生用书 P163 考向一频率分布直方图的绘制及应用 1 某糖厂为了解一条自动生产线上生产袋装白糖的重量，从 随机抽取 100 袋并称出每袋白糖的重量( (单位：g),得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 485.5, 490.5) 10 490.5, 495.5) 20 495.5, 500.5) 50 500.5, 505.5) 20 合计 100 (1)请补充完成频率分布表，并在下图中画出频率分

9、布直方图;1 000 袋白糖中, (2)根据上述数据估计从这批白糖中随机抽取一袋，其重量在 495.5， 505.5上的概率. 【审题视点】 分别计算各组频率及长方形的高度绘图. 10 0 1 【典例精讲】 第一组 P1=芝=0.1,高度为 = 0.02, 100 5 第二组 P2=如=02 100 0 , 高度为 0.2 丁 0.04, 第三组 50 P3=而=0.5， 高度为 0.5 55= 0.1, 第四组 20 P4= 100= 0.2， 高度为 0.04. 频率总和为 1. 频率分布直方图如下: 依题意知所求的概率为 0.5+ 0.2= 0.7. 【类题通法】 ( (1)绘制频率分布

10、直方图时需注意： 制作好频率分布表后可以利用各 频率 组的频率之和是否为1 2来检验该表是否正确；频率分布直方图的纵坐标是组距，而不是 频率. 频率 (2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： x组距=频率. 组距 1. (2014 烟台四校联考) )据悉山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了 1 求这次铅球测试成绩合格的人数； 2 若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由. 解析：( (1)由题易知，第 6 小组的频率为 1 (0.04 + 0.10 + 0.14+ 0.28 + 0.30) X 1= 0.14, 此次测试的总人数为 074

11、= 50. 这次铅球测试成绩合格的人数为 (0.28 X 1 + 0.30 X 1 + 0.14 X 1) X 50 = 36. 直方图中中位数两侧的矩形面积和相等, 85= 7 故 x= 5,乙班学生成绩的中位数为 83,故其成绩为 76, 81, 81, 83, 91, 91, 96, 所以 y= 3, x + y = 8. 【答案】 ( (1)A (2)8 了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成 绩在 8.0 m(精确到 0.1 m)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成 6 组，并画出频率 分布直方图的一部分如图所示已知从左到右前 5 个小组对

12、应矩形的高分别为 0.04, 0.10, 0.14, 0.28, 0.30，且第 6 小组的频数是 7. 即频率和相等，前三组的频率和为 0.28,前四组的频率和为 0.56, 中位数位于第 4 组内. 考向二茎叶图的应用 （1）（）（2012 高考陕西卷）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样 本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ） 1 2 5 2 0 2 3 3 3 1 2 4 4 8 9 4 5 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 9 6 1 7 8 A.46, 45, 56 B. 46, 45, 53 C. 47, 45, 56

13、 D. 45, 47, 53 （2）（）（2014 湖南省十校联考）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学 竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是 85,乙 班学生成绩的中位数是 83,则 x+ y 的值为 _. 甲 乙 8 9 7 6 5x0 8 1 1 y 6 2 9 1 1 6 【审题视点】 根据茎叶图中的数及中位数、众数、平均数、极差的概念求解. 【典例精讲】 由题意知各数为 12, 15, 20, 22, 23, 23, 31, 32, 34, 34, 38, 47, 47, 48, 48, 49, 50, 50, 51,

14、51, 54, 57, 59, 61, 67, 68,中 位数是 46，众数是 45,最大数为 68,最小数为 12，极差为 68 12= 56. （2）依题意，甲班学生的平均分 78+ 79+ 85+ 80+ x+ 80+ 92+ 9639, 45, 45, 45, 【类题通法】 （1）众数、中位数与平均数 众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，其中平均数与每一个样本数 据都有关，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化. （2）标准差与方差 标准差与方差描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的 波动情况，标准差与方差越大，说明这组数据的波动性越大. 囱变式训

15、炼 2. （2014 郑州质检）甲、乙两名同学学业水平考试的 9 科成绩如茎叶图所示，请你根 据茎叶图判断谁的平均分高 _ .（填“甲”或“乙”） 甲 乙 2 9 1 9 9 1 8 3 6 8 9 8 8 3 2 7 2 5 8 8 6 9 1 解析：由茎叶图可以看出， x 甲=1x (92 + 81 + 89X 2+ 72 + 73+ 78X 2 + 68)= 80, x 乙 9 1 =X (91 + 83 + 86 + 88 + 89+ 72 + 75+ 78 + 69) & 81.2, x 乙 x 甲，故乙的平均分大于甲的 9 平均分. 答案：乙 考向三 统计与概率的综合应用

16、3 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程 度的破坏，可见部分如下： 试根据图表中的信息解答下列问题: （1） 求全班的学生人数及分数在 70, 80）之间的频数； （2） 老师按分层抽样从位于 20, 80）, 80 , 90）和90, 100分数段的试卷中抽取 8 份进 0,016 0.008 0.02K- a 70 KC汕 l 行分析，再从中任选 2 人进行交流，求成绩位于 70 , 80）分数段中恰 2 人的概率. 【审题视点】 根据茎叶图在50, 60的频数及频率求总数，进而求 70 , 80的频数， 根据分层抽样确定70, 80, 80, 90, 9

17、0, 80的人数比利用古典概型求概率，写分布列. 【典例精讲】 ( (1)由茎叶图可知，分数在50, 60)上的频数为 4，频率为 0.008X 10 = 4 0.08，故全班的学生人数为 0-08= 50. 分数在70, 80)之间的频数等于 50- (4 + 14+ 8 + 4) = 20. (2)70, 80), 80, 90)和90, 100分数段人数之比为 5 : 2 ： 1,故在70, 80)之间有 5 人，80, 90)间有 2 人，在90, 100间有 1 人设70, 80)间的 5 人为 a, b, c, d, e,其 它 3人为 A, B, C,任取 2 人，共有 28 个

18、基本事件：ab, ac, ad, ae, aA, aB, aC, be, bd, be, bA, bB, bC , ed , ee, eA , eB , eC , de , dA , dB , dC , eA , eB , eC , AB , AC, BC,其中 2 人都在70 , 80)间的有 10 个，由古典概型得 【类题通法】 ( (1)从统计图表中准确获取相关信息是解题关键. (2) 明确频率与概率的关系，频率可近似代替概率. (3) 此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成. 囱变戎训蒔 3. (2014 郑州市调研) )某高校组织自主招生考试，共有 2 00

19、0 名优秀同学参加笔试，成 绩均介于 195 分到 275 分之间，从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计，将统计结果按如 下方式分成 8 组：第 1 组195, 205),第 2 组205, 215),，第 8 组265, 275如图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在 260 分(含 260 分)以上的同学进入 面试. (1) 估计所有参加笔试的 2 000 名同学中，参加面试的同学人数； (2) 面试时，每位同学抽取两个问题，若两个问题全答错，则不能取得该校的自主招生 资格；若两个问题均回答正确且笔试成绩在 270 分以上，则获 A 类资格；其他情况下获 B 类资格现已

20、知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为 270 分以上，在回答 两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为 2，求恰有一名同学获得该高校 10 5 P = P 28 14- B 类资格的概率. 解析：(1)设第 i(i = 1, 2,，8)组的频率为 fi,则由频率分布直方图知 f7 = 1 - (0.004 + 0.01 + 0.01 + 0.02+ 0.02 + 0.016+ 0.008) X 10= 0.12. 所以成绩在 260 分以上的同学的概率 f7 P 电 + f8= 0.14, 故这 2 000 名同学中，取得面试资格的约为 280 人. 不妨设两名同学分别为

21、 M、N，且 M 的笔试成绩在 270 分以上，则对于 M，答题 的可能有 M11, M 10, M 01, M 00，对于 N，答题的可能有 N11, N10, N01, Noo，其中角标中 的 1 表示正确，0 表示错误，如 N10表示 N 同学第一题正确，第二题错误. 将两名同学的答题情况列表如下： M 11 M 10 M 01 M 00 N11 AB BB BB CB N10 AB BB BB CB N01 AB BB BB CB N00 AC BC BC CC 表中 AB 表示 M 获 A 类资格，N 获 B 类资格；BC 表示 M 获 B 类资格，N 没有获得 资格. 所以恰有一名

22、同学获得该高校 B 类资格的概率为 16 = 2 2 学不斗能力提升学不斗能力提升 期易留期易留| |毎悟毎悟 翕井翕井 誓示誓示 对应学生用书 P165 .妇花弐題乔剂叵 统计与概率问题的综合解答 （2012 高考陕西卷）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等， 为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统 计如图所示： 估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率； （2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率. 【解题指南】 样本容量 n= 100,每个小长方形的高度代表频数，可根据频率求概率. 【思

23、维流程】 码皿：从甲品牌统计图中统计小于 200 的频数 20 + 5. ：亘亘求其频率作为概率. :至J 从两个图中分别统计大于 200 的频数分别为 75 和 70. :仝垒求甲品牌大于 200 的频率. :仝上计算频率即概率. 5 + 20 A / - . 【解答过程】 甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 朝歩 用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 4 根据抽样结果，寿命大于 200 小时的产品共有 75 + 70 = 145（个）,（3 函耳 其中甲品牌产品是 75 个，所以在样本中，寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 匹=15 （SuF） 14

24、5=29， 用频率估计概率，所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 驚. 29 【规范建议】 （1）注意本题中的图是频数分布图不是频率分布直方图. （2）指清楚寿命小于 200 小时，大于 200 小时的频数便于求频率. B慎题体验| 真题试做速效提升 1. （2013 高考陕西卷）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，下图为检测结果 的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间 20 , 25）上为一等品，在区间15, 20）和 25, 30）上为二等品，在区间10 , 15）和30, 35上为三等品.用频率估计概率，现从该批 产品中随机抽取 1 件，则其为二等品的概率是 （

25、 ） 解析：选 D.由图可知抽得一等品的概率为 0.3，抽得三等品的概率为 0.25，则抽得二 等品的概率为 1 0.3 - 0.25 = 0.45. 2. （2013 高考安徽卷）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问 了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86, 94, 88, 92, 90,五名女生的成绩分别为 88, 93, 93, 88, 93.下列说法一定正确的是 （ ） A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 解析：选 C.根据分层抽样和系统抽样定义判断 A, B，求出五名男生和五名女生成绩 的方差判断 C. A, 不是分层抽样，因为抽样比不同. B, 不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知. C, 五名男生成绩的平均数是 86 + 94 + 88 + 92 + 90 x = = 90, 5 五名女生成绩的平均数是 88 + 93 + 93 + 88 + 93 y = 5 =91, 五名男生成绩的方差为 2 1 si= (