2019级第34-35次课ppt课件

1、第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、函数的泰勒级数一、函数的泰勒级数二、函数展开成泰勒级数的条件二、函数展开成泰勒级数的条件三、函数展开成泰勒级数的方法三、函数展开成泰勒级数的方法四、函数展开式的应用举例四、函数展开式的应用举例上一页下一页返回一、函数的泰勒级数一、函数的泰勒级数),(,00RxRxx .)(),()(000的幂级数的幂级数内可展开成内可展开成在在则称则称xxRxRxxf 问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?定义定义使使得得如如果果有有对对给给定定

2、的的,)(),(00 nnnxxaxfnnnxxaxf)()(00 上一页下一页返回证明证明即即内收敛于内收敛于在在),()()(000 xfxUxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010上一页下一页返回 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数上一页下一页返回 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导

3、, ,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.上一页下一页返回 0, 00,)(21xxexfx例例如如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麦麦氏氏级级数数为为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).()(,0 xfxfs于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,上一页下一页

4、返回三、函数展开成泰勒级数的条件三、函数展开成泰勒级数的条件定理定理 2 2 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU 内收内收 敛于敛于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. . 证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 上一页下一页返回充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim

5、1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于定理定理 3 3 设设)(xf在在)(0 xU上有定义上有定义, ,0 M, ,对对),(00RxRxx , ,恒有恒有 Mxfn )()( ), 2 , 1 , 0( n, ,则则)(xf在在),(00RxRx 内可展内可展 开成点开成点0 x的泰勒级数的泰勒级数. . 上一页下一页返回证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收收敛敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒级数的泰勒

6、级数可展成点可展成点x),(00RxRxx 上一页下一页返回三、函数展开成泰勒级数的方法三、函数展开成泰勒级数的方法1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收上一页下一页返回例例1解解.)(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!

7、1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx上一页下一页返回例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x上一页下一页返回例例3.)()1()(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nf

8、n), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1lim nnn , 1 , 1 R上一页下一页返回若若内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利利用用上一页下一页返回)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1(

9、 x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 上一页下一页返回即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(1 收收敛敛域域为为 ;1 , 1(11 收收敛敛域域为为 .1 , 11 收收敛敛域域为为 上一页下一页返回有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 ,

10、1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘上一页下一页返回2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过变量代换通过变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分等方逐项积分等方法法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn上一页下一页返回 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdx

11、x01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x上一页下一页返回例例4处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x上一页下一页返回xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 上一页下一页返回,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误误差差两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数

12、,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健: :通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.1.1.近似计算近似计算四、幂级数展开式的应用举例四、幂级数展开式的应用举例上一页下一页返回常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.例例5 5.10,5 使其误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算e解解,!1!

13、 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得上一页下一页返回余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 上一页下一页返回.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数2.2.计算定积

14、分的近似值计算定积分的近似值上一页下一页返回第四项第四项352801!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例6 6.10,sin410 精精确确到到的的近近似似值值计计算算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数上一页下一页返回例例7 7.2!12的的和和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 12)!1(1!)1( 02

15、22!2nnnnnxxnxxxxxeex 2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 3.3.求数项级数的和求数项级数的和上一页下一页返回复数项级数复数项级数: )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,为为实实常常数数或或实实函函数数其其中中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,则则称称级级数数 1)(nnnivu收收敛敛, , 且且其其和和为为 ivu . .4.4.欧拉公式欧拉公式上一页下一页返回若若 2222222121nnvuvuvu收敛收敛, ,则则 1nnu, , 1nnv绝对收敛绝对收敛, ,称复数项级数绝对收敛称复数项级数绝对收敛. .复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x上一页下一页返回的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12(