2019第三章 无穷级数2ppt课件

1、12目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。判定、零点与极点的关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数3 无穷级数：一系列无穷多个数无穷级数：一系列无穷多个数w1，w2，w3， wn， 写成写成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有式上的相加。这种加法是不是

2、具有和数和数呢？这个呢？这个和数和数的确的确切意义是什么？切意义是什么？ 为什么要研究级数？为什么要研究级数？ (1) (1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； (2) (2) 常微分方程的级数解。常微分方程的级数解。 研究级数需关心的问题：研究级数需关心的问题： (1) (1) 级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据； (2) (2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。4复数项级数定义复数项级数定义 形如形如 的表达式被称为复数项级数，其中的表达式被称为复数项级数

3、，其中 是复数。是复数。kkkwuiv每一项收敛性问题归结为两个实数项级数每一项收敛性问题归结为两个实数项级数111limlimlimnnnkkknnnkkkwuiv极限存在并有限极限存在并有限部分和部分和111nnnnkkkkkkswuiv121,kkkwwww收敛性收敛性问题问题 若在区域内某一点若在区域内某一点z0z0点，前点，前n n项和极限存在项和极限存在, ,那那么么 00lim()() nnszs z那么级数那么级数 在在z0z0点收敛，点收敛，1kkw为该无穷级数的和；否则称为发散。为该无穷级数的和；否则称为发散。0()s z5 柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于柯西判

4、据：复数项级数收敛的充要条件是，对于任一小的正数任一小的正数 ，必存在一，必存在一 N 使得使得 nN 时有时有1,n pnkkw 式中式中 p 为任意正整数为任意正整数(推论推论)2211kkkkkwuv假设假设收敛，则称收敛，则称1kkw绝对收敛绝对收敛 判别法：判别法： 的每一项都是复数的模，即正实数，所以它的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数的判别法。别法即正项级数的判别法。1kkw6 绝对收敛的级数具有如下的主要性质：绝对收敛的级数具有如下的主要性质：1) 绝对收敛的级数，可任

5、意交换其各项的次序，所绝对收敛的级数，可任意交换其各项的次序，所得级数仍绝对收敛且其和不变。得级数仍绝对收敛且其和不变。2)两个绝对收敛级数的和、积，仍绝对收敛。两个绝对收敛级数的和、积，仍绝对收敛。lffkkk1lim则当则当l1时，级数发散；时，级数发散；当当l=1时，敛散性需进一步检验。时，敛散性需进一步检验。3)比值或达朗贝尔判别法。对于比值或达朗贝尔判别法。对于 ，任给一，任给一正整正整K，当，当kK时，假设时，假设则级数绝对收敛。特别是则级数绝对收敛。特别是 0kkf)k1(1无关且与kkff74)高斯判别法。对于高斯判别法。对于 ，设，设0kkf) 1)(1(11kOkffkk式

6、中式中为复数，则当为复数，则当Re1时，级数绝对收敛；当时，级数绝对收敛；当Re1时，级数发散。时，级数发散。证：证： 1)2 ,min( )1(Re1)1(Re21)1(1)1(1 21211kOkkOkkOkkOkffkk8复变函数项级数：复变函数项级数：121()()()(),kkkwzwzwzwz每一项都是复变函数每一项都是复变函数 实际上，对于实际上，对于 z z 的一个确定值，复变函数项的一个确定值，复变函数项级数变成一个复数项级数。级数变成一个复数项级数。 复变函数项级数有一个定义域复变函数项级数有一个定义域 B 。它的收敛的。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。概念应当

7、是相对于这个定义域而言的。9一致收敛一致收敛收敛收敛复变函数项级数在其定义域复变函数项级数在其定义域 B B中每一点都收中每一点都收敛，则称在敛，则称在B B中收敛。它满足柯西判据：中收敛。它满足柯西判据：对于一小正数对于一小正数 ，必存在一，必存在一N(z)N(z)使得使得nN(z)nN(z)时有时有N 与与 z 无关无关收敛，但收敛，但N(z) N(z) 与复变量与复变量 z z有关有关给定给定 ，有一个统一的，有一个统一的 N 使判据得到满足使判据得到满足pnnkkzf1)(10一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质（1M判别法判别法 若在区域若在区域内内是与是与z无关的正数无关的正数 ，

8、且，且 收敛，则级数收敛，则级数 在在内绝对而且一致收敛。内绝对而且一致收敛。kkkMMzf,)(0kkM0)(kkzf（2连续性连续性 假设假设 在区域在区域内连续，内连续，在在内一致收敛于内一致收敛于F(z)，则和函数，则和函数F(z)亦在亦在内连续。内连续。)(zfk0)(kkzf0)(kkzf（3逐项可积性逐项可积性 设设 在曲线在曲线l上一致收敛上一致收敛于于F(z)，且各项均在，且各项均在l上连续，则沿上连续，则沿l可以逐项积分，可以逐项积分，且且0)()(klkldzzfdzzF11 （4 4逐项可导性：逐项可导性： 若级数若级数 的各项均在区域的各项均在区域内解析，且级数在内解

9、析，且级数在内的任一闭子域上一致收敛于内的任一闭子域上一致收敛于F(z)F(z)，那么那么(I) F(z)= (I) F(z)= 在在内解析；内解析； 0)(kkzf0)(kkzf证：内必连续在内解析，所以在因为)()()(zfzfIkk0dz)(llkzf有内任一围线且对于和连续性，有收敛级数的逐项可积性，故由一致内一致收敛于在又F(z)(0kkzf0)(dz)(0klkldzzfzF且且F(z)在在内连续，根据第二章摩勒纳定理知内连续，根据第二章摩勒纳定理知F(z)解析。解析。lknklnndzfindzFinzF011)()()(2!)()(2!)(对于对于内任意一条闭围线内任意一条闭围

10、线l内的内的z点，有点，有(II)(II)在在内级数可逐项求导至任意阶，且内级数可逐项求导至任意阶，且0)()()()(knknzfzF证：而而 在在l上一致收敛，上一致收敛， 有界有界0)(kkzf1)(1nz130)(10)()()()(2!)(knlnkknzfdzfinzF13故级数故级数 在在l上一致收敛。上一致收敛。01)()(knkzf由一致收敛级数的逐项可积性和由一致收敛级数的逐项可积性和 的解析的解析性，有性，有)(zfk14kkkkkbzabzabzaabza)()()()(22100称为以称为以 为中心的幂级数为中心的幂级数. .b1 定义定义幂级数：常用的一种级数，实变

11、函数幂级数的推广幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广复常数复常数复常数复常数20120 kkkkka zaa za za z时时0b15 定理定理 ( (阿贝尔阿贝尔Abel) Abel) 如果级数如果级数 在在z=z0z=z0收敛，则它在以收敛，则它在以b b为圆心，以为圆心，以 为半径的圆内绝对为半径的圆内绝对收敛，而且在任何一个较小的闭圆收敛，而且在任何一个较小的闭圆上一致收敛。上一致收敛。0)(kkkbzabz 0)(0bzbz由收敛的必要条件由收敛的必要条件, , 有有所以存在一正数所以存在一正数h, 使对所有的使对所有的k, 有有证证因为级数因为级数 在在z0z0点收敛，点

12、收敛，0)(kkkbza0)(lim0kkkbza.)2 , 1 , 0( )(0khbzakk16kkkkkkkkkkbzhbzbzbzabzbzbzabza00000)( )()()( 又证毕证毕而级数而级数 是一个收敛的常数几何级数，是一个收敛的常数几何级数，由由M M判别法知，级数在判别法知，级数在 中绝对而且一致收敛。中绝对而且一致收敛。00kkkbzh)( 0bzbz推论推论若级数在某点若级数在某点z=z1 z=z1 发散，则它在圆发散，则它在圆 的外面处处发散。的外面处处发散。bzbz1172. 2. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, , 其收敛半径

13、的情况有三种其收敛半径的情况有三种: :(1) (1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛. .对任意固定的对任意固定的z, z, 从某个从某个k k开始开始, , 总有总有1,2zk于是有于是有1,2kkkzk故该级数对任意的故该级数对任意的z z均收敛均收敛. .例如例如, , 级数级数.2122kkkzzz18(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时, , 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散. .(3) (3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, , 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数. .

14、例如例如, ,级数级数2212kkzzk z , 0 时时当当 z通项不趋于零通项不趋于零, , ;,级级数数收收敛敛时时设设 z.,级数发散级数发散时时 z如图如图:故级数发散故级数发散. .19xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数0kkka z的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域. .20 在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, , 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, , 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析. .注意注意问题问题 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 由阿贝尔定理及推论不

15、难看出，幂级数的收敛和由阿贝尔定理及推论不难看出，幂级数的收敛和发散区域是不可能相间的。所以对于幂级数，必存在发散区域是不可能相间的。所以对于幂级数，必存在一以一以b b为心，为心，R R为半径的圆。在圆内级数绝对收敛，而为半径的圆。在圆内级数绝对收敛，而在圆外级数发散。在圆外级数发散。210020kkkkkkzzkzk收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点; ;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛. .例如例如, , 级数级数: :1, 1 zR收敛圆周收敛圆周均为均为;,1在其它点都收敛在其它点都收敛发散发散在点在点 z223. 3. 收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1: 1: 比值

16、法比值法( (定理二定理二):):bzaabzbzaaffkkkkkkkkkkk1111limlimlim级数发散时级数收敛时故当 1 1lim1bzaakkk级数发散时级数收敛时可改写为 lim lim11kkkkkkaaaabz1limkkkaaR23课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数 1npnnz)( 为为正正整整数数p的收敛半径的收敛半径. .pnn)11(1lim . 1 答案答案，因为因为pnna1 . 11 R所以所以pnnnnnnaa)1(limlim1 24方法方法2: 2: 根值法根值法( (定理三定理三) )那末收敛半径那末收敛半径.1 R说明说明: : 0 0 RR

17、( (与比值法相同与比值法相同) )假如假如, 0lim kkka假如假如254. 4. 复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那末那末 00)(kkkzza是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数 .(1) 0)()( kkkz0zazw它的和函数它的和函数Rz0z (2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, )(zw.)()(11 kkkz0zkazw即即Rz0z 26简言之简言之: 在收敛圆内在收敛圆内, 幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导幂级数可逐项

18、求导, , 逐项积分逐项积分. .( (常用于求和函数常用于求和函数) )(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, )(zw即即 0.,d)(d )(kckkcRazczz0zazzw 01.)(1d)( kkkzaz0zkaw 或或275、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数. .解解级数的部分和为级数的部分和为 kkkzzzz201)1( ,11112 zzzzzzskkn281 z级数级数收敛收敛,1 z级数级数发散发散.收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域, 1 z由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内, 级数绝对收敛级数

19、绝对收敛, 收敛半径为收敛半径为1,zskk 11lim 0kkz0lim kkz 0kkz且有且有.1112 kzzzz29例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径: :(1) 13nnnz( (并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形) )(2) 1)1(nnnz( (并讨论并讨论2,0 z时的情形时的情形) )解解 (1)3)1(lim nnn因为因为, 1 nnnaa1lim 或或. 11lim3 nnnnnnnnna31limlim 30所以收敛半径所以收敛半径, 1 R即原级数在圆即原级数在圆1 z内收敛内收敛, , 在圆外发散在圆外发散, , 收敛的收敛的p级数

20、级数 ).13( p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. .在圆周在圆周1 z上上, 级数级数 13131nnnnnz31说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数, , 收敛收敛. .发散发散. .原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，调和级数，,2时时当当 z,0时时当当 z(2),1 1limlim1 nnaannnn. 1 R即即32故收敛半径故收敛半径.1eR 0)(cosnnzin例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:

21、:解解),(21coshnneen inancos 因为因为, e nnnnnnnneeeeaa 111limlim 所以所以33解解所以所以.2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径. .,24ie )4sin4(cos21 ii因为因为;)2(4inne nnia)1( nnn)2()2(lim1 . 2 nnnaa1lim 34例例5 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解. 1 R所所以以利用逐项积分利用逐项积分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1

22、zz .)1(12z 1 z12limlim 1 nnaannnn因为因为35例例6 求级数求级数 01)12(nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解.21 R所所以以,21时时当当 zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 1212limlim 11 nnnnnnaa因为因为36例例7 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中解解,21内内在在 z 1)(nnzzS和和函函数数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,111zz

23、cczzzzd11d1.2 i 37问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？ 0rz , )( 内解析内解析在区域在区域设函数设函数Dzf , 0为中心的任一圆周为中心的任一圆周内以内以为为zD , , KD 记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于DKz.内任意点内任意点如图如图: :r0z.K. rz 0 圆周圆周38由柯西积分公式由柯西积分公式 , , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向.0001111zzzzz 那么那么, , 的内部的内部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量KzK .

24、1 00 zzz 所以所以39 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz KNnnnzzzfi.d)()()(21010 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是40由高阶导数公式由高阶导数公式, , 上式又可写成上式又可写成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010可知在可知在K内内 000)()(!)()(nnnzznzfzf, 0)(lim zRNN假设假设, )( 内可以用幂级数来表示内可以用幂级数来表示在在即即Kzf41令令

25、qrzzzzz 000 则在则在K上连续上连续, 即存在一个正常数即存在一个正常数M,.)( MfK 上上在在, 10, qq且且无关的量无关的量是与积分变量是与积分变量 , )( )(内解析内解析在在DKDzf , )( 上也连续上也连续在在因而因而Kf , )(上有界上有界在在 Kf szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221N.1Mqq42K0)(lim zRNN在在内成立内成立,Nlim0Nq从而在从而在K内内 圆周圆周K的半径可以任意增大的半径可以任意增大, ,只要只要K内成立内成立. .D在在 000)()(!

26、)()(nnnzznzfzf的泰勒展开式的泰勒展开式,)(zf在在0z泰勒级数泰勒级数43假如假如0z到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立dzz 0因为凡满足因为凡满足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理)(zf在在0z的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf44其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为

27、D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时,成立成立,当当 00)()(kkkzzazf, 2, 1 , 0),(!10)( kzfkakk45说明说明:1.1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多; (; (想一想想一想, , 为什么为什么?)?)4.4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. . ;,0. 30级数称为麦克劳林级数级数称为麦克劳林级数时时当当 z; , , )( . 200zdzdDzf 即即之间的距离之间的距离一个奇

28、点一个奇点到最近到最近等于等于那么那么内有奇点内有奇点在在假如假如收敛范围46 )( zf因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多. .注意注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？数，展开式是否唯一？47那末那末,)(00azf ,)(10azf 即即因而因而, , 任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数, , 因而是唯一的因而是唯

29、一的. . 202010)()()(zzazzaazf,)(0 kkzza, )(!10)(zfkakk : )( 0已被展开成幂级数已被展开成幂级数在在设设zzf48常用方法常用方法: : 直接法和间接法直接法和间接法. .1.1.直接法直接法: :,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf例如，例如，. 0 的的泰泰勒勒展展开开式式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze,)( )(znzee 因因为为49, 在复平面内

30、处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径仿照上例仿照上例 , , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展开开式式在在与与可可得得 zzz502. 2. 间接展开法间接展开法 : : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , , 结合解结合解析函数的性质析函数的性质, , 幂级数运算性质幂级数运算性质 ( (逐项求导逐项求导, , 积分等积分等) )和其它数学技巧和其它数学技巧 ( (代换等代换等) ,

31、) , 求函数求函数的泰勒展开式的泰勒展开式. .间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , , 因而比因而比直接展开更为简洁直接展开更为简洁 , , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 . .51例如，例如， )(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi. 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz52附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(11

32、1)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z53,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z54例例1 1. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上上有有一一奇奇点点在在由由于于,1内内处处处处解解析析且且在在

33、 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z55 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导, ,56例例2 2. 0 )1ln( 泰泰勒勒展展开开式式处处的的在在求求对对数数函函数数的的主主值值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z. 1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1OR=1xy57zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端

34、沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的的曲曲线线到到内内从从为为收收敛敛圆圆设设zzC 58例例3 3. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即59例例4 4 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因因为为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz02

35、1darctan所所以以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn60例例5 5.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因因为为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 2216543261例例6 6.1展展为为麦麦克克劳劳林林级级数数将将zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:, 1所所以以收收敛敛半半径径为为,

36、 1 内内进进行行展展开开可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇点点为为因因为为求求导导得得对对)(zf,)1 ()(2zzezfz62, 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz63解析延拓：将解析函数定义域加以扩大解析延拓：将解析函数定义域加以扩大概念：若概念：若f1(z)和和f2(z)分别在分别在D1,D2内解析，且在内解析，且在D1与与D2重叠重叠的区域中有的区域中有f1(z)=f2(z)，则

37、称，则称f2(z)为为f1(z)在在D2中的解析延拓，中的解析延拓， f1(z)为为f2(z)在在D1中的解析延拓。中的解析延拓。 同一个解析函数在不同区域内同一个解析函数在不同区域内有不同的表达式，如例子有不同的表达式，如例子11z1z iz 64 问题：知问题：知 f(z) f(z) 在在 b b 中解中解析，是否存在析，是否存在 F(z) F(z) 在在 B B 中解中解析析b bB B ，且在，且在 b b 中中 F(z)=f(z) F(z)=f(z) 。这个过程叫解析延。这个过程叫解析延拓。拓。Bb0z解析延拓的方法解析延拓的方法 在在 b b 中取点中取点z0z0，又取，又取z0

38、z0 的一个邻域，将的一个邻域，将 f(z) f(z) 展开为展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b b 进进入区域入区域 B B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。法，可以逐渐将函数解析延拓。 可以证明，无论采用何种方法，函数可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z) f(z) 的解析延拓的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。拓。证明：利用解析函数零点的孤立性证明：利用解析

39、函数零点的孤立性65含参量积分：含参量积分：0,d)(01 s，xexsxs0, 0,d)1(),(1011 qp，xxxqpqp称为格马称为格马 (Gamma) 函数写作函数写作函数）函数）.它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，称为贝塔称为贝塔 (Beta) 函数写作函数写作B函数）函数）.下面分别讨论这两个函数的性质下面分别讨论这两个函数的性质. 3.4.1 3.4.1 函数与函数与函数函数661. 1. 积分区间为无穷积分区间为无穷; ;函数函数0,d)(01 s，xexsxs特点特点: :函数函数2. 2. 当当 s - 1 0 s - 1 0

40、时，时，x = 0 x = 0 为瑕点为瑕点; ;写写函数为如下两个积分之和：函数为如下两个积分之和： 1110101ddd)(xexxexxexsxsxsxs)()(sJsI 其中其中 11d)(xexsJxs 101d)(xexsIxs当当 s 1 s 1 时，为正常积分，当时，为正常积分，当 0 s 1 0 s 0 s 0 时收敛时收敛. . 01d)(xexsxs所以所以函数函数在在 s 0 s 0 时收敛时收敛. . 即即函数的定义域为函数的定义域为 s 0 1. 递推公式递推公式)()1(sss !)1(nn 2. 函数图象的讨论函数图象的讨论 yx121函数的性质函数的性质zss

41、sin)1 ()()21(683. 延拓延拓)(s sss)1()( 4.)(s 的其他形式的其他形式令令 x = y2 , 有有 01201d2d)(2yeyxexsysxs令令 x = py , 就有就有 0101dd)(yeypxexspyssxs69函数函数0, 0,d)1(),(1011 qpxxxqpqp),(),(d)1(d)1(),(1211121011qpJqpIxxxxxxqpqpqp 当当 p 1 p 1 时，时，I (p, q) I (p, q) 为正常积分，当为正常积分，当 0 p 1 0 p 1时收敛时收敛. .当当 q 1 q 1 时，时，J (p, q) J (

42、p, q) 为正常积分，当为正常积分，当 0 q 1 0 q 0 , q 0 时时, B(p, q) 收敛收敛.即即B(p, q)函数的定义域为函数的定义域为 p 0 , q 0701. B( p, q )在定义域在定义域 p 0, q 0 内连续内连续2. 对称性：对称性：B( p, q ) = B( q, p ) 3. 递推公式递推公式1, 0),1,(11),( qpqpqpqqp0, 1), 1(11),( qpqpqppqp1, 1),1, 1()2)(1()1)(1(),( qpqpqpqpqpqp B(p, q) B(p, q)函数的性质函数的性质714. B( p, q ) 的

43、其他形式的其他形式 2cos x令令 201212dcossin2),( pqqp则有则有令令yyx 1则有则有 01dy)1(),(qppyyqp令令ty1 则有则有 1011dy)1(),(qpqpyyyqp函数与函数与函数之间的关系函数之间的关系) 0, 0()()()(),( qpqpqpqp72例例计算计算).21(),21(),25(),25(nn )25(解解 )23(23 )21(2123 43 )25( 25)23(52 )23()21( )21()21(3252 158 )121()121()21( nnn 212n )21(21232n nn2!)!12( xxxde)2

44、1(0121 xxxde021xxde202 73nnn 21)121()21()21(12322122 nn !)!12(2)1( nnn74例例计算计算.dsin,dsin2012202 uuuunn解解 2012121)21(2202dcossindsin uuuuunn)1()21()21(21)21,21(21 nnn !2!)!12(21nnn 2!)!2(!)!12( nn75 2012121)1(22012dcossindsin uuuuunn)23()21()1(21)21, 1(21 nnn )21()21()21()1(21nnn!)!12(!)!2( nn76一、问题的

45、引入问题问题: . , )( 00的幂级数的幂级数是否能表示为是否能表示为不解析不解析在在如果如果zzzzf 负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛kkkzza)(. 10 双边幂级数双边幂级数 kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001 7710)( zz 令令收敛半径收敛半径收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz 收敛域收敛域:)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分, ,:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR Rkkkzza

46、)(01kkkzza)(00 kkka 178结论结论:.201RzzR 圆圆环环域域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z的收敛区域为的收敛区域为双边幂级数双边幂级数kkkzza)(0 79:10 内内在在圆圆环环域域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析, ,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf 2. 问题问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数?,111zz 而而1,1112 zzzz

47、zk80所以所以)1(1)(zzzf 即即在在)(zf10 z内可以展开成级数内可以展开成级数. .内内，在在圆圆环环域域110 z也可以展开成级数：也可以展开成级数：)1(1)(zzzf )1(1111zz,121 kzzzz kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121 kzzzz81二、洛朗级数定理定理内处处解析，在圆环域设 201)(RzzRzfC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 0z内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末Dzf )( ,)()(0kkkzzazf ), 1,0(k为洛朗系数为洛朗系数. Ckkzf

48、ia d)()(21 10其中其中822K1KB RR21CCf f 11f(z)=d -d2i - z2i - z证证)()(1100zzzz 因因为为对于第一个积分对于第一个积分: :111100000zzzzzzz0zRr2R.z1RC2RC1R. 00001kkzzzz ,)()(0100 kkkzzz 83对于第二个积分对于第二个积分:( )R1C1f d2i - z)()(11 00zzzz 因因为为 100zzz 000111zzzzz d)(21R2 Czfi所以所以kkkzza)(00 kkKkzzzfi )(d)()( 2100101 84其中其中 d)( 21R1 Czf

49、i那么那么 1010)()(kkkzzz ,)()(10110kkkzzz )()(d)()( 21011101zRzzzfiNkNkKk )(zRN d)()()( 211010 KNkkkzzfzi85下面证明下面证明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq 令令. 10, q无无关关与与积积分分变变量量 1000( )1( )d2RkNCk NfzRzszzz)()( 的连续性决定的连续性决定由由因为因为又又zfMf .1qMqN rqrMkNk 22186. 0)(lim zRNN所所以以101101( )d()2()RkkCkfzziz 211( )1

50、( )( )dd22RRCCfff ziziz那么那么 d)(21 R1 Czfi于是于是,)(01kkkzza 87101( )d(0, 1,2,)2()kkCfakiz 如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单0z 证毕证毕 kkkkkkzzazza )()(0100.)(0kkkzza 闭曲线闭曲线. .那么那么可用一个式子表示为可用一个式子表示为: :kkaa 与与88说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗展开式)(zf在圆环域内的洛朗在圆环域内的洛朗(Laurent)级数级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有

51、正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .kkkzzazf)()(0 89三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法 : 1. : 1.直接法直接法 2. 2.间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数ka缺点缺点: : 计算往往很麻烦计算往往很麻烦. .), 2, 1, 0(d)()(2110 kzfiaCkk 然后写出然后写出.)()(0kkkzzazf 根

52、据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, , 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . .优点优点 : : 简捷简捷 , , 快速快速 . .2. 间接展开法间接展开法90四、典型例题例例1 1, 0 内内在在 z. )( 2展展开开成成洛洛朗朗级级数数将将zezfz 解解由定理知由定理知: :,)(kkkzazf 其中其中 d)()(2110 Ckkzfia d213 Ckei)2, 1,0(, )0(: kzC 91故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知: :由高阶导数公式知由高阶导数公式知: :0 ka,

53、2 时时当当 k d213 Ckkeia022)(dd)!2(1 zzkkezk)!2(1 k ! 4! 3! 211122zzzz z0 2)!2()( kkkzzf故故, 3 时时当当 k, 2在圆环域内解析在圆环域内解析zez92另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,. 2的奇点的奇点也是函数也是函数zez93例例2 2 ;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的内是处处解析的, ,试把试把 f (z) f (z) 在这些区域内展开

54、成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数. .解解,)2(1)1(1)(zzzf : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf , 10 )1内内在在 z94oxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122 )( zf所以所以 nzzzz2111那么那么,1 z由于由于12 z从而从而9512oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122 , 21 )2内内在在 z96 842111121zzzzznn2oxy2 z由由12 z此时此时z

55、zz211121 , 2 )3内内在在 z 21111zzz 2222121zz)( zf于是于是97 24211zzz仍有仍有zzz111111 21111zzz, 121 zz此时此时 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)( zf故故98注意注意:0 z奇点但却不是函数奇点但却不是函数)2)(1(1)( zzzf的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项, , 而且而且0z又是这些又是这些项的奇点

56、项的奇点, , 但是但是0z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点, ,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是992. 给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 ( (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的) )问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛100解解 z0zz

57、zfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例3 3. 0 sin 0洛洛朗朗级级数数的的去去心心邻邻域域内内展展开开成成在在将将函函数数 zzz )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn101例例4 4. 2 )2( 01展展开开成成洛洛朗朗级级数数的的去去心心邻邻域域内内在在将将函函数数 zzz解解 , 220 内内在在 z ) 2(1)(zzzf 22112121zz.2221)2(2132 zz) 2(2121 zz 011)2(2)1(kkkkz102例例5 5: )1)(2(52)( 22在以下圆环域在以下圆环域求求 zzzzzf内的洛朗展开式内的洛朗展开

58、式. ; 21 )1( z520)2( z解解 1221)(2 zzzf, 21 )1时时当当 z 221121221)(zzzzf 22111221121zzz103nnnnnzzz 20201)1(2221.2)1(201121 nnnnnnzz, 520 )2内内在在 z1221)(2 zzzf iziziz1121 )2()2(1)2()2(121iziziz104 iziiziiz221)2(1221)2(121 0022)1(2122)1(2121nnnnnniziiziiz.5)2()2()2()1(211110 nnnnnnziiiz 110)2(1)2(1)2()1(21nn

59、nnniiziz105 洛朗级数是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数, , 其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数; ; .0Rzzr ,0, 0, 00时时当当 ncrz思考题答案思考题答案是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系. . 洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系? ?思考题思考题. .级数了级数了洛朗级数就退化为泰勒洛朗级数就退化为泰勒106定义：若函数定义：若函数f (z)在点在点z0处不解析或没有定义），处不解析或没有定义），但在点但在点z0的某个空心邻域的某个空心邻域 内解内解析，则称点析，则

60、称点z0为为f (z)的孤立奇点。的孤立奇点。00(0)zzRR 一、孤立奇点的概念例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点. .注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, , 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点. .107例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性. .解解 kzz1,0),2,1( k即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, , 的奇点存在的奇点存在, , 函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不