2019微分方程习题课ppt课件

1、第七章 微分方程2基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.线性方程线性方程6.6.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法微分方程知识框架微分方程知识框架 3练练 习习 题题写出微分方

2、程：写出微分方程：xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. . 答案：答案：*2y *1*yy 所求特解为：所求特解为：0442 rr特征根特征根22, 1 r*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx , )(:xQexymxk 有特解有特解 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k xmexPqyypy 41 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程)y(h)x(gdxdy微分方程求解方法总结微分方程求解方法总结dx)x(g)y(hdy解法：解法：)0)( d)()(dyhxxgyhyxxgyhyd)()(dCxGyH )()(分离变分离变量法量法52

3、 2、齐次方程、齐次方程)xy(dxdy,xyu .xu)u(dxdu111ddcybxacybxaxy)0(212cckYyhXx,YbXaYbXaXY11dd64 4、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 通解为通解为. )()()( CdxexQeydxxpdxxPnyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n,1 nyz 令令),()1()()1(xQnzxPndxdz 5 5* *、伯努利微分方程、伯努利微分方程. )1)()()1()()1( CdxenxQezdxxPndxxPn求出通解求出通解将将 回代即得原方程的通解回代即得原方程的通解.nyz 1

4、7)()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy 6 6、可降阶的高阶微分方程、可降阶的高阶微分方程直接积分直接积分 y=ppxpy ddy=pyppxyypxpydddddddd 8假如假如 y1(x), y2(x)是齐次方程是齐次方程(1)的两个解的两个解, 那么那么y = C1y1(x)+ C2y2(x) 也是也是(1)的解的解.其中其中C1，C2是任意常数。是任意常数。定理定理1(叠加原理叠加原理)假设假设 y1, y2是二阶方程是二阶方程(1)的两个线性无关的解的两个线性无关的解,则方程则方程(1)的通解为的通解为y= C1 y1 + C2 y2其中其中C1, C2为任意常数为任意

5、常数.定理定理2定理定理3设设 y*是方程是方程(2)的一个特解的一个特解, Y 是是(2)对应齐次方程对应齐次方程(1)的通解的通解, 那么那么是方程是方程(2)的通解的通解. y = y*+Y二阶微分方程解的结构定理二阶微分方程解的结构定理 10 yxQyxPy 2xfyxQyxPy 9定理定理4分分别别是是方方程程设设*2*1, yy的解的解, 是是方方程程则则*2*1yy 的解的解. )()()()()()(21xfyxQyxPyxfyxQyxPy )()()()(21xfxfyxQyxPy 二阶微分方程解的结构定理二阶微分方程解的结构定理可以推广到右端项为多个函数的情形。可以推广到右

6、端项为多个函数的情形。10 10 qyypy7 7、二阶常系数齐次线性方程、二阶常系数齐次线性方程002 qprrqyypy xCxCeyirexCCyrrreCeCyrrxrxxrxr sincos212 . 12121212121 通通解解特特征征根根118 8、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程)(xfqyypy 标标准准形形式式： 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k可可以以是是复复数数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRe

7、xymmxk 特解形式：特解形式：特解形式：特解形式：是单根不是根i,ik10 nlm,max 12P353T22 P353T22 求以求以xxCCy221ee 为通解的微分方程 .提示提示: : 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为023 yyyP353T24 P353T24 解，则该方程的通解为分方程的为某二阶非齐次线性微已知21xy, xy,y提示提示: : 可知对应齐次方程的两个线性无关的解为可知对应齐次方程的两个线性无关的解为11221xy,xy故通解为12211yCyCy111221xCx

8、Cy13P353T23 P353T23 xxdxy, xfy0问题是等价的微分方程的初值与积分方程解答解答: : 两边同时对自变量两边同时对自变量x x求导，得求导，得y, xfy 又x=x0 时 ， y=0y, xfy 00 xx|y. )()()( CdxexQeydxxpdxxP)()(xQyxPdxdy 通解为通解为填空题填空题14P353 T3 P353 T3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) : (6) 令令,py 则方程变为,01dd2 pyppyyydppp21d即( (变量可分离方程变量可分离方程

9、) )特征根:xyyy2sin52)7( , i212, 1r齐次方程通解:)2sin2cos(e21xCxCYx令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(e21xCxCyx15P354 P354 题题4(2) 4(2) 求解求解02 yay,00 xy10 xy解解: : 令令),(xpy 则方程变为2ddpaxp积分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常数.C02积分得211Caxlnay特解为：axlnay11( (变量可分离方程变量可分离方

10、程) )16例例1. 设连续函数设连续函数 f (x) 满足方程满足方程 xxtttfttfxxxf00.)()(sin)(dd,)()(sin)(0 xttftxxxfd上式两边关于上式两边关于 x 求导得求导得解：将方程写为解：将方程写为.)(cos)( 0 xttfxxfd求求 f (x) .再求导，得再求导，得).(sin)( xfxxf 设设 y = f (x), 则问题可化为求解初值问题：则问题可化为求解初值问题： y+y = sinx, y|x=0, y|x=0 =1.17因对应齐次方程的特征方程因对应齐次方程的特征方程 为为r2+1=0Y=C1cosx+C2sinx.又因又因

11、i =i是特征方程的根，可设特解为是特征方程的根，可设特解为y*=x(acosx+bsinx).代入原方程后解得代入原方程后解得. 0,21 ba于是于是.cos21*xxy 故原方程的通解为故原方程的通解为.cos21sincos21xxxCxCy 将初始条件代入上式，得将初始条件代入上式，得C1=0， ,212 C从而从而,cos21sin21xxxy 即即.cos21sin21)(xxxxf 特征根为特征根为r1,2=i，故对应齐次线性方程的通解为，故对应齐次线性方程的通解为18P103T4-P103T4-备忘备忘解解322)y(ydyxd ydydx1)()1(22dydxdyddyx

12、d 3)(yy )1(ydyd dydxdxyd)1(ydxyd 1)1(yyy 1)(2分析：分析：,1ydxdyydydx )(xf 19的解. 例例2.2.设函数),()(在xyy,)x( yy)y( xx,y的反函数是0内具有连续二阶导(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y数, 且23)0( y解解: : ,1ddyyx(1) 由反函数的导数公式知(考研题)20代入原微分方程xyysin (2) 方程的对应齐次方程的通解为 xxCCYee21设

13、的特解为 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故从而得的通解: )dydx(dyddyxd223)(yy )y(dyd1dydxdxyd)1(ydxyd 1)1(yyy 1)(20)dd)(sin(dd322yxxyyx得21xCCyxxsin21ee21由初始条件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值问题的解为 xyxxsin21ee22写出方程写出方程 y4y+4y=8x2+e2x+sin2x的一个特解的一个特解 y* 的形式的形式.解：令解：令 f1(x) = 8x2, f2(x) = e2x, f3(x) = sin2x. r2 4r + 4

14、 = 0,其根为其根为r1 = r2 = 2. 于是方程于是方程y 4y + 4y = f1(x)对应齐次方程的特征方程是对应齐次方程的特征方程是的特解形式是的特解形式是;*21cbxaxy 方程方程y 4y + 4y = f2(x)的特解形式是的特解形式是;*222xeAxy 方程方程y4y+4y = f3(x)的特解形式是的特解形式是.2sin2cos*3xCxBy 原方程的特解形式为原方程的特解形式为.2sin2cos*222xCxBeAxcbxaxyx 例例3 3231 已知一阶线性齐次微分方程02 xyy的通解为2xCey ， 用常常数数变变易易法法求非齐次方程xexyyxcos22 的通解。 三、计算题三、计算题解：令,)(2xexCy 则22)(2)(xxexxCexCy 代入非齐次方程，整理得 xxCcos)( 两边积分， 得CxxC sin)( 于是原方程的通解为 ).(sin2Cxeyx 24三、计算题三、计算题3. 求yyy 3)(的通解。 解： ,),(dydppydydpyypy 则令代入原方程得ppdydpp 3 整理得 dydpp 211，