2019级第26次课第七节傅里叶级数ppt课件

1、第七节第七节 傅里叶级数傅里叶级数 三、三、 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数（一奇函数和偶函数的傅里叶级数（一奇函数和偶函数的傅里叶级数（二函数展开成正弦级数或余弦级数（二函数展开成正弦级数或余弦级数（三小结（三小结上一页下一页返回（一奇函数和偶函数的傅里叶级（一奇函数和偶函数的傅里叶级数数(1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正

2、弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.上一页下一页返回( (2 2) )当当周周期期为为 2的的偶偶函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数时时, ,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann证明证明,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxxfancos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函数奇函数上一页下一页返回 0sin)(2nxdxxf), 3 , 2 ,

3、1( n同理可证同理可证(2)定义定义 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, ,傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数. .如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数. . nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕.上一页下一页返回例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数,它在它在), 上的表达式为上的表达式为xxf )(,将将)(xf展开成展开成傅氏级数傅氏级数. 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.,), 2, 1, 0()12(处处不不连

4、连续续在在点点 kkx2)0()0( ff收收敛敛于于2)( , 0 ),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 上一页下一页返回 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象), 2 , 1 , 0(, 0 nan上一页下一页返回 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx上一页下一页返回)5sin514sin413si

5、n312sin21(sin2xxxxxy xy 观观察察两两函函数数图图形形上一页下一页返回例例2 2 将将周周期期函函数数tEtusin)( 展展开开成成傅傅氏氏级级数数, ,其其中中E是是正正常常数数. . 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个在整个数轴上连续数轴上连续.,)( 为偶函数为偶函数tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E ), 2 , 1( n上一页下一页返回 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knk

6、nkE当当当当), 2 , 1( k 01)1cos(1)1cos( ntnntnE)1( n上一页下一页返回 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu )( x.142cos21212 nnnxE 上一页下一页返回（二函数展开成正弦级数或余弦级（二函数展开成正弦级数或余弦级数数非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2, 0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情

7、况. 偶偶延延拓拓奇奇延延拓拓上一页下一页返回奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x上一页下一页返回偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 上一页下一页返回例例 3 3 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. . 解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nx

8、dxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当上一页下一页返回3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x1 xy5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxxx 上一页下一页返回(2)(2)求余弦级数求余弦级数. .,)(进进行行偶偶延延拓拓对对xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx

9、)0( x上一页下一页返回1 xy)7cos715cos513cos31(cos4121222xxxxx 上一页下一页返回（三小结（三小结1、基本内容、基本内容:奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余正弦级数与余弦级数弦级数;非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓;2、需澄清的几个问题、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数;2, 0.的的傅傅氏氏级级数数唯唯一一展展成成周周期期为为上上在在 b).(,.xfc级数处处收敛于级数处处收敛于值点时值点时上连续且只有有限个极上连续且只有

10、有限个极在在 第八节第八节 一般周期函数的傅立叶级数一般周期函数的傅立叶级数一、以一、以2L2L为周期的傅氏级为周期的傅氏级数数二、傅立叶级数的复数形二、傅立叶级数的复数形式式三、小结三、小结上一页下一页返回一、以一、以2L2L为周期的傅氏级数为周期的傅氏级数,2lT .2lT 定理定理式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开定理的条件定理的条件满足收敛满足收敛的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入傅氏级数中代入傅氏级数中上一页下一页返回为为其其中中系系数数nnba

11、,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(为为奇奇函函数数如如果果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其其中中系系数数), 2 , 1( n上一页下一页返回,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其其中中系系数数), 2 , 1 , 0( n证明证明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为为周周期期以以 zF),sin

12、cos(2)(10nzbnzaazFnnn 上一页下一页返回)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其其中中)()(xfzFlxz 上一页下一页返回典型例题典型例题k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数. 解解., 2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 20020210

13、21kdxdxa,k 上一页下一页返回 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n上一页下一页返回例例 2 2 将函数将函数 10510)( xxxf展开成展开成傅氏级数傅氏级数. 解解,10 xz作变量代换作变量代换105 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的的定定义义补补充充函函数数 zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作

14、作周周期期延延拓拓然然后后将将,收敛定理的条件收敛定理的条件这拓广的周期函数满足这拓广的周期函数满足).()5, 5(zF内内收收敛敛于于且且展展开开式式在在 上一页下一页返回x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x上一页下一页返回另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos5

15、15cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n上一页下一页返回小结利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf以以2L为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数;上一页下一页返回以以2L为周期的函数的傅里叶级数为

16、为周期的函数的傅里叶级数为),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn ), 2 , 1 , 0(cos)(1 ndxlxnxflalln ), 3 , 2 , 1(sin)(1 ndxlxnxflblln 二、傅立叶级数的复数形式二、傅立叶级数的复数形式上一页下一页返回代入欧拉公式代入欧拉公式,2cosititeet ,2sinieetitit )sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 10222nlxnilxninlxnilxnineeibeeaa 10222nlxninnlxninneibaeibaa上一页下一页返回), 3 , 2 , 1( n 10nlxni

17、nlxnineCeCC ,200aC 令令,2nnnibaC ,2nnnibaC ,)(lxninneCxf 于于是是有有), 2, 1, 0()(21 ndxexflClllxnin 傅里叶系数的复数形式傅里叶系数的复数形式傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式上一页下一页返回例例 设设)(xf是是 周周 期期为为 2 的的 周周期期 函函数数 ,它它 在在 )1 , 1 上上的的表表达达式式为为xexf )(,将将其其展展成成复复数数形形式式的的傅傅氏氏级级数数. 解解 1121dxeecxinxn 11)1(21dxexin coscos1121122 nenenin , 1sinh11)1(22 ninn 上一页下一页返回.1sinh11