第七节指数与指数函数

1、考纲要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念、指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.1.从近几年的高考命题看，对本节的考查以基础知识为主，一是考查函数的图象、运算、数值大小的比较；二是与二次函数、方程、不等式等结合，考查函数的性质及应用2.题型主要以选择题、填空题为主，如运算、比较大小、性质运用等；与方程、不等式结合时以解答题形式出现，属中档题.知识能否忆起知识能否忆起一、根式一、根式1根式的概念根式的概念根式的概念根式的概念符号表示符号表示备注备注如果如果 ，那么，那么x叫做叫做a的的n次方根次方根

2、n1且且nN*xna负数负数 两个两个 相反数相反数 正数正数 2两个重要公式两个重要公式a a -a a 二、有理数指数幂二、有理数指数幂1幂的有关概念幂的有关概念(3)0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂的负分数指数幂 0没有意义没有意义1mna2有理数指数幂的性质有理数指数幂的性质(1)aras (a0，r，sQ)；(2)(ar)s (a0，r，sQ)；(3)(ab)r (a0，b0，rQ)arsarsarbr三、指数函数的图象和性质三、指数函数的图象和性质函数函数yax(a0，且，且a1)图象图象0a1图象图象特征特征在在x轴轴 ，过定点，过定点上方上方(0,1)

3、动漫演示更形象，见配套课件动漫演示更形象，见配套课件超链超链接接函数函数yax(a0，且，且a1)性性质质定义域定义域值域值域 单调性单调性函数函数值变值变化规律化规律 当当x0时，时，当当x0时，时，当当x0时，时，(0，)减函数减函数增函数增函数y1y10y10y1RA9B7C10 D9答案：答案：B小题能否全取小题能否全取A(，0 B0，)C(，0) D(，)解析：解析：12x0，2x1，x0.答案：答案：A3已知函数已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点的图象恒过定点P，则点，则点P的坐的坐 标是标是()A(1,5) B(1,4)C(0,4) D(4,0)解析：解析：当当x1时，时，f

4、(x)5.答案：答案：A4若函数若函数y(a23a3)ax是指数函数，则实数是指数函数，则实数a的值的值 为为_ 解析：解析：a23a31，a2或或a1(舍舍) 答案：答案：25若函数若函数y(a21)x在在(，)上为减函数，则上为减函数，则 实数实数a的取值范围是的取值范围是_1.分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程化计算过程2指数函数的单调性是由底数指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，的大小

5、决定的，因此解题时通常对底数因此解题时通常对底数a按按0a1进行分类讨论进行分类讨论指数式的化简与求值指数式的化简与求值 例例1化简下列各式化简下列各式(其中各字母均为正数其中各字母均为正数)指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂对于化简结果，形为正指数，化根式为分数指数幂对于化简结果，形式力求统一式力求统一 答案答案D1与指数函数有关的函

6、数的图象的研究，往往与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象其图象2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解用相应的指数型函数图象数形结合求解奇思妙想：本例B、C改为下图，A、D不变，则函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是？解：C由f(1)0可知选C.A关于关于y轴对称轴对称 B关于关于x轴对称轴对称C关于原点对称关于原点对称 D关于直线关于直线yx对称对称 (2)方程方程2x2x的解的个数是的解的个数是_(2)方程的解可看作

7、函数方程的解可看作函数y2x和和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象函数图象(如图如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解有一个解答案：答案：(1)A(2)1答案：C例例3指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用答案答案(，00，)答案：答案：2 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问明确复合函数的构成，涉及值域、单

8、调区间、最值等问题时，都要借助题时，都要借助“同增异减同增异减”这一性质分析判断，最终这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决3(1)(2012福州质检福州质检)已知已知a20.2，b0.40.2，c 0.40.6，则，则() AabcBacb Ccab Dbca (2)(2012上海高考上海高考)已知函数已知函数f(x)e|xa|(a为常为常 数数)若若f(x)在区间在区间1，)上是增函数，则上是增函数，则a的取的取 值范围是值范围是_解析：解析：(1)由由0.20.6,0.40.40.6，即，即bc；因为；因为a20.21，b0.4

9、0.2b.综上，综上，abc.(2)结合函数图象求解因为结合函数图象求解因为yeu是是R上的增函数，所以上的增函数，所以f(x)在在1，)上单调递增，只需上单调递增，只需u|xa|在在1，)上单调递增，由函数图象可知上单调递增，由函数图象可知a1.答案：答案：(1)A(2)(，1变式探究2013天津模拟如果函数ya2x2ax1(a0，且a1)在区间1,1上的最大值是14，试求a的值解：设tax，则yt22t1(t1)22.其对称轴为直线t1，当a1时，ta1，a，ymaxa22a114，解得a3或a5(舍)；当0a1时，ta，a1，ymax(a1)22a1114， 2对于含对于含ax、a2x的表达式，通常可以令的表达式，通常可以令tax进行换进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系为我们熟悉的一元二次关系 若若0a1，函数，函数ya2x2ax1在在1,1上的最大值上的最大值是是14，则，则a的值为的值为_解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（十）测（十）”教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）0ba；其中不可能成立的关系式有其中不可能成立的关系式有()A1个个 B2个个C3个个 D4个个ab0；0ab；ba0；ab答案答案 ：B