2014~2015学年第二学期迎南通市二模(五)南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试卷

1、1 20142015 学年第二学期迎南通市二模模拟试卷(五) 一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，计 7070 分. . 1 1 设集合 M 一2,0,x?，集合 N 0,1，若 N M，则 X 二 . . a +i 2 2若复数z (其中为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数 a a= = . . i 3 3在一次射箭比赛中，某运动员 5次射箭的环数依次是 9,10, 9, 7,10则该组数据 的方差是 . . 4 4甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 0.2，甲、乙下和棋的概率为 0.5，则乙获胜 的概率为 . . 5 5 若双曲线x2 - y2二a a 9)的右焦点

2、与抛物线y2 = 4x的焦点重合，则a二 _ . . 6 6 运行如图所示的程序后，输出的结果为 . . 2x -y _0 7 7 若变量x, y满足x-2y3一0，则2X y的最大值为 . . 、 x30 & &若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的 2倍，则该圆锥的体积为 . . H 兀 9 9若函数f(x)=sin(x )(0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，且该函 6 2 数图象关于点(x,0)成中心对称，X。 0,-,则X。二 . . X2 + y2 1010.若实数x, y满足x y 0，且log? x log2 y =1,则 的最小值为 x y 1 11.11. 设向量

3、a = (si n23cosr), b = (cosd1)，则a/b ”是ta n ” 成立的 _ 条件( (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) ). . 2 2 2 12.12. 在平面直角坐标系 xOy中，设直线讨-x 2与圆x y -r (r 0)交于AB两点， 5 3 O为坐标原点，若圆上一点 C满足OC OA OB，则r二 . . 4 4 1313已知f (x)是定义在 2, 2上的奇函数，当(0, 2时,f(x)= 2 1函 数 g(x) =x2 -2x m. .如果对于一为-2,2 , x? -2,2，使得 g(X2)= f (xj , 则实数m

4、的取值范围是 . . 2 14 14 已知数列 a a 满足 a-1, a2 a1, |an1-an|=2n( n，N*)，若数列 NnJ 单 调递减，数列：a?鳥单调递增，则数列a?的通项公式为a. = . .3 、解答题: 15 15 .在平面直角坐标系 xOy中，设锐角:-的始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交 于点P（xi,yj，将射线OP绕坐标原点 O按逆时针方向旋转 QXM）.记 f（： ） = y y2. . （1 1） 求函数f G ）的值域； （2 2） 设 ABC的角A, B,C所对的边分别为a,b,c， 若 f（C）=2，且 a2，c=1，求 b . . 16 16

5、 .（本小题满分 1414 分） 如图，在正方体 ABCB1C1D1中，O, E分别为B（D,AB的中点. . （1 1） 求证：OE/ 平面 BCC1B1 ； （2 2） 求证：平面 B1DC 平面B1DE . .n 后与单位圆交于点 2 第 16题图 4 2 2 x y 17 17 .在平面直角坐标系 xOy中，椭圆2 =1(a a b 准线方程为x = 4，右顶点为 A，上顶点为B，右焦点为 的直线经过点A，且点F到直线的距离为 乙5 . . 5 (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 将直线绕点 A旋转，它与椭圆 三点共线时，试确定直线的斜率 18 18 某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆

6、，其 设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲 线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其 中E(O,t) ( 0 ：t辽25，单位：米)；曲线 BC是抛物线 讨-ax2 50(a - 0)的一 部分；CD AD，且CD恰好等于圆E的 半径假定拟建体育馆的高 OB =50米. . (1 1)若要求 CD - 30 米，AD 二 24、5 米， 求与a的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF不超过75米，求a的取值范围; (3(3)若a = 1，求AD的最大值. . C相交于另一点 第 18题-甲 5 25 (参考公式：若f (x)a - x，则f (x)二 19 19 .设数列f是各项均为正数的等

7、比数列，其前n项和为Sn ,若a1a 64 , S5 - S3 = 48. . (1) 求数列 a ： 的通项公式； (2) 对于正整数 k, m,l( k cml)，求证：“ m = k+1且丨= k+3 ”是 “ 5ak ,am,al 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件； (3) 设数列 小昇满足：对任意的正整数 n ,都有a1bn - a20-asbn - anb b =3 2 - 4 n-6，且集合M = n | _人，n N 中有且仅有 3 3 个元素，试 I a J 求九的取值范围. . 20 20 .已知函数 f (x)二 ex， g(x) = mx n . . (

8、1 1 )设 h(x)二 f(x) -g(x). . 若函数h(x)在x =0处的切线过点(1,0)，求m n的值； 当n = 0时，若函数h(x)在(T,=)上没有零点，求 m的取值范围； 1 nx (2 2)设函数 r(x) ，且 n = 4m(m - 0)，求证：当 x 丄 0 时，r(x) 一 1. . f(x) g(x)6 20142015 学年第二学期迎南通市二模模拟试卷（四） 附加题部分 21. B21. B、（选修 4 42 2:矩阵与变换） 求直线x - y -1 =0在矩阵M 2 -2 血 返 -2 2 一 C C、（选修 4 4 4 4：坐标系与参数方程） 的变换下所得曲

9、线的方程 7 在极坐标系中，求圆 匸二2cos二的圆心到直线2sin（ ） = 1的距离. . 3 22 22 .（本小题满分 1010 分） 如图，在直三棱柱 ABC - ABG 中，AB _ AC，AB = 3，AC = 4， 1 动点P满足CP二怎CGC 0），当 时，AB_BP. . 2 （1 1） 求棱CC1的长； （2） 若二面角B -AB-P的大小为一，求的值. 3 23 23 .设集合S1,2,3,L ,n“n，N*, n 一 2），A,B是S的两个非空子集，且满足集合 A 中的最大数小于集合 B中的最小数，记满足条件的集合对 （A, B）的个数为Pn. . 8 （1 1 ）求

10、F2, P3的值； （2 2）求 P Pn的表达式. . 20142015 学年第二学期迎南通市二模模拟试卷（五） 一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，计 7070 分. . 1 1 设集合 M 2,0,x?，集合 N 0,1，若 N M，则 X 二 答案：1 1 a +i 2 2若复数z （其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 a= . . i 答案：1 1 3 3在一次射箭比赛中，某运动员 5次射箭的环数依次是 9,10, 9, 7,10则该组数据 的方差是 答案：6 5 4 4甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 0.2，甲、乙下和棋的概率为 0.5，则乙获胜

11、的概率为 . . 答案：0.3 解读：为了体现新的考试说明，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。 5 5 若双曲线x2 - y2二a a0）的右焦点与抛物线y2 = 4x的焦点重合，则a = 9 _ . .10 答案：辽 2 6 6 运行如图所示的程序后，输出的结果为 . . 答案：4242 解读：此题的答案容易错为 2222。 2x-y 0 7 7 若变量x, y满足x-2y V一 0,则2x y的最大值为 . . I x30 答案：8 8 & &若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的 2倍，则该圆锥的体积为 答案：一31 3 答案：12 2 2 X + V 1010.若实数x, V满

12、足x V 0 ,且log2 x log2 y =1,则 y的最小值为 x _ V 答案：4 4 1 11 11 .设向量 a = (sin 2r,cos 二),b = (cos71)，则a/b”是tan ” 成立的 _ 2 条件( (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) ). . 答案：必要不充分 2 2 2 1212.在平面直角坐标系 xOy中，设直线v = -X 2与圆x y = r (r 0)交于代B两点， 5 3 O为坐标原点，若圆上一点 C满足OC OA OB，则r = . . 4 4 答案：五 13.13. 已知f (x)是定义在 2, 2上的奇函数

13、，当(0,2时,f(x)= 2 1函 数 g(x) =x2 -2x m. .如果对于一为-2,2 , x? -2,2，使得 g(X2)= f (xj , 则实数m的取值范围是 . . 答案：-5,-2 ；i i 1 1 I 1 1 S S 0 0 I ; ;While i While i v 8 8 ; ;i i i i + + 3 3 ；S S 2 2 i i + + S S I ；EndEnd WhileWhile I Print SPrint S 9 9.若函数f (x) 数图象关于点 =sin(x )(0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 6 n (x0,0)成中心对称，Xo 0,，

14、则 x0 = . . 2 兀 ，且该函 2 11 14.14. 已知数列：an 满足 a-1, a? q , |an1-an|=2n( n，N*)，若数列：a2nJ 单12 JI C =, 4 调递减，数列 1单调递增，则数列 1 3 /的通项公式为an 答案：d! 3 2n 1 1, n 为奇数 3 （说明：本答案也可以写成 n3 ） -1, n 为偶数 .3 二、解答题： 15 15 .在平面直角坐标系 xOy中，设锐角:-的始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交 于点P（X1, yj，将射线OP绕坐标原点 O按逆时针方向旋转 一后与单位圆交于点 2 QXy）. .记 f（：）二 y

15、y2. . （1 1） 求函数f G ）的值域； （2 2） 设 ABC的角A, B,C所对的边分别为a,b,c , 若 f（C）2，且 a、.2 , c=1，求 b. . 71 解：(1 1)由题意，得 y-i 二 sin - 胡2 二 sin( ) = cos， 2 所以 f(： )二sinthcos： - . 2sin(： ), 4 -0 2 JI + + c c 4 f(: ).( 1 (2(2 ) 因为 f( rC、（二 JT C 2( 02, ,）所以 在ABC中, 由余弦定理得c2 = a 2 b2 -2ab cosC , 即Z b2*乎b, 解 b =1. . 1414 分 （

16、说明： 第 （ 16 16 .（本小题满分 2 2）小题用正弦定理处理的, 1414 分） 类似给分） 如图，在正方体ABCD - AB1GD1中， （1 1） 求证：OE/ 平面 BCC1B1 ； （2 2） 求证：平面 B1DC 平面B1DE . . O, E分别为B,D,AB的中点. . 第 16题图 1010 分 13 证明(1 1):连接BG，设BGBQ = F ,连接OF , 因为 0 0 , F F 分别是B1D与B1C的中点，所以OF / DC，且OF = f DC , 1 又 E E 为 ABAB 中点，所以EB/ DC，且EB DC , 2 从而OF/EB,OF二EB，即四

17、边形 OEBFOEBF 是平行四边形， 所以OE /BF , . 6分 又 OE 二面 BCC1B1, BF 二面 BCC1B1, 所以 OE/ 面 BCC1B1. (2 2)因为 DC面 BCC1B1, BC1 面 BCGBI , 所以 BC1 _ DC , , . 10 10 分 又 BG _ BQ，且 DC,BC 二面 B1DC , DC R BQ =C , 所以BG 面B1DC , , . 1212 分 而 BC1 /OE，所以 OE _ 面 B1DC，又 OE 面 B1DE , 所以面BQC _面B1DE . . . 1414 分 2 2 17 17 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆

18、C :冷右=1(a b 0)的右 准线方程为x = 4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2 的直线经过点A，且点F到直线的距离为 空5 . . D Di A Ai B C C 第 17题图 y P B B 1616 题图 C Ci (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 将直线绕点 A旋转， 它与椭圆 三点共线时，试确定直线的斜率 意知， C相交于另一点P，当B,F,P 解：(1 1 2x _ y _2 的方程为 y=2(x-a), 即 焦 占 八、 八、 到 直线 的 距离为 |2c-2a 5 a _c =1, 又椭圆C的右准线为 =4，所以c ,将此代入上式解得 2 2 x y 1

19、; 4 3 (2 2 )由 y = _ 3 x _ 3 )F(1,0) 8 8 分 二直线BF的方程为 14 18 18 某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其 设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲 线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其 中E（0,t） （ 0 ：t咗25，单位：米）；曲线联立方程组 【4 y 3(X_1) 2 2 x y . 1 3 8 x 二一 5 3 ；3 x = 0 y-3 （舍），即 p(5- 1212 分 0（晋） 5 其他方法： 方法二：由（1 1）知 B（O,-、3）， 1414 分 F(1,0), -直线BF的方程为 y 3（x-i）, 由题 A（2,0），显然

20、直线的斜率存在，设直线的方程为y =k（x-2）,联立方程组 2k x = f k 3 ，代入椭圆解得：k = 或k = -V3k 2 八k .3 忙禽1），解得 知，y 二 i3k 0 得 k 0 或 k：3，所以 k+75 2 方法三：由题 A(2,0)，显然直线的斜率存在，设直线的方程为 y 二 k(x-2) 2 y二k（x -2），联立方 程组 x2 y2 ，得 4k2 3 x2 -16k2x 16k2 -10，xA xP 弓， l +=1 P 4k2+3 4 3 16k2 8k26 -12k 所以xP 2 2 2 ，yp 2 ，当B, F , P三点共线时有，kBP二k P 4k2+

21、3 4k2+3 4k2+3 BP 4汽-I 1 8k2 - 6 2 BF ) 4k2 3 得 k 0或 k ：-”3， 所以 第 18题-甲 第 18题-乙 15 y = -c2 x5 0 ( a 中,0 ) 解 1 a . . 49 . 4分 (2 2 )因为圆E的半径为50-t，所以CD =50-t，在y二ax2 OD x 二 一10 25匚t，所以 AO =10.25匚t , 从 A 1 = )5_L5 ,2 令片二。，得 t 2t5 t2 BC是抛物线y = -ax - 50（a 0）的一部分；CD _ AD ,且CD恰好等于圆 径假定拟建体育馆的高 OB =50米. . 若要求CD

22、=30米，AD = 24、5米，求与a的值； 若要求体育馆侧面的最大宽度 DF不超过75米，求a的取值范围； 1 若a ，求AD的最大值. . 25 E的半 (1) (2) (3) （参考公式: f (x) f ja - x， 则 f (x) 解 ： ( t =20. . 此时圆 E:x2 (y-20)2 所以O D A -D 1 ) 21 a - x C = 5D 0 t = . 2分 =302， 2A4O 5、-1 得 AO =10.5， 0理 ，1 将4 点5C( 14 代 3入0 ) FD =50t 厶 t 0即; an an a2 a1 二 n 33时， bn bn 0 此时 b .

23、 单调递减， an an 耳J 口 b1 1 b2 3 b3 5 b4 又 一= - a1 2 a2 4 a3 8 ， a4 、.1 -k1 等价于 ex(3x4)+x+40,(3 )由题意，r(x) nx 1 = - T - = - + f (x) g(x) ex n x m n x m 1 4x ex x 4 1 m ： e. . e 1010 当x -1且x = 0时， x e y ，则 x x x e x -e 2 x ex x-1 一1 ： x ： 0 时，y : 0 ,函数 y 二二单调递减，( x x 0 ,函数y二巳单调递增, x 0 x : 1 时, 2 ) x x e y

24、：0 ,函数y 单调递 x 减，当x 1时，y = e，由题意知 1 而 r(x) x e 令 F(x)二 ex(3x-4) x 4 , . 1212 分 则 F(0) =0，且 F (x)二ex(3x-1) 1, F (0) =0 , 令 G(x) =F (x)，则 G (x) = ex(3x 2), 因 G(x 所以导数 从 而 x -0 以 1414 分 F (x)在0,=)上单调递增，于 函 数 F(x) 在 0, F(x) _F(0) =0. . 是 F (x) - F (0) = 0 , :) 上 单 调 . 1616 分 21 附加题答案 21. A21. A、（选修 4 4 1

25、 1:几何证明选讲） 如图，已知点 P为Rt ABC的斜边AB的延长线上一点，且 Rt ABC的外接圆相切，过点 C作AB的垂线，垂足为 PA =18，PC =6，求线段CD的长. . 2 解：由切割线定理，得 PC二PA PB，解得PB = 2 , 所以AB =16，即Rt ABC的外接圆半径r =8,5 5 记Rt ABC外接圆的圆心为 O，连OC，则OC _ PC , 在 RUPOC 中，由面 “ 24 CD . . 5 B B、（选修 4 4 2 2:矩阵与变换） 它在已知直线上的对应点为 x -y = x 2_ 2 2 2 x y = y ! 2 匚近 x = （x + y） 2 血

26、/ 、 y （丫一乂） 代入x - y -0中, 化 简 2 x . . 2 C C、（选修 4 4 4 4:坐标系与参数方程） 得子（x y） 得 所 20， 1010 积法得 OC卩C = PO CD 求直线x -y -1 = 0在矩阵M 2 运 -2 的变换下所得曲线的方程 1010 分 解：设P（x, y）是所求曲线上的任一点, Q(x, y ), 71 在极坐标系中，求圆 _2cosd的圆心到直线 PC与 D，若 解 得 22 2sin(r 1 的距离. . 3 解：将圆=2cos化为普通方程为 x2 y20 , (1,0) , . 4 分23 所 ,3x y - 故 . 3 -1

27、d 二 2 D D、解不等式 解 又 2sin( 一)=1，即 2：1 sinv 3 COST) =1， 八 2 - 线 ,1 所 1010 分 4. -x-1 2-x 4 3 “ x 1 ；:- 2 当 -1 _ x _ 2 -1 _ x _2 ； 当 x 2 c 5 2 . x ： 2 所 (-|,|) 2 2 2 22 2 .(本小题满分 10 10 分) 不等式 . 6 6 分 不等式化 x 1 -2x : x 1 x - ：2 1010 如图，在直三棱柱 ABC - AEG中，AB _ AC , 1 P 满足 CP =，CG(九 3- 0)，当 时，AR _ BP. . 2 动点 (1) 求棱CG的长; i AB = 3，AC = 4， 若二面角- AB - P的大小为，求的值 3 解：(1 1)以点A为坐标原点，AB,AC,AA分别为x,y,z轴, 建立空间直角坐标系， 设 CG 二 m，贝U B1(3,0,m)， J 以 A ( AB 二(3,0,0), 当，丄时， 2 解 得 3、2. . (2) B(3,0,0) , P(0,4, m), B 3 , m 0PB = (3,-4,；m) 1 有 A