2013高考数学秒杀必备放缩法在数列不等式证明的运用论文人教版

1、-1 - 放缩法在数列不等式证明中的运用 高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题 中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复 杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好 地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一 反三，抛砖引玉的作用。 一、 放缩后转化为等比数列。 例 1. 1. bn满足：d _1,6 1 =盯 _(n-2)g 3 (1(1) 用数学归纳法证明：bn_n 解: (1)(1)略 I 0.1 3=0(0 7)2(0 3) 又bn

2、 一 n bn1 3-2(bn 3)， n N 迭乘得：bn 2nd(b! 32n1 1 1 1 Tn - 22 23 24 点评：把握“ bn 3”这一特征对“ bn T =bn2 -(n -2)bn 3”进行变形，然后去掉 一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法, 似乎是不可能的，为什么？值得体味！ 二、放缩后裂项迭加 例2数列a*, an =(1)n4t丄，其前n项和为S* n 求证： 2 S2n - 2 1 _ 1 2n1 2n (2) Tn 1 1 3 b1 3 b2 3 b3 -2 - 1 2n(2n -1) bn的前n项和为Tn -3 - 一

3、1 1( 1 -1 2n(2 n-2) 4 n-1 n 1 1 Y-1)J 1 J 12 30 4 3 4 4 5 6 4n1n 点评：本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数， 也是常用的放缩手法。 值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大， 命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。 K 例 3.3.已知函数f(x)=ax c(a 0)的图象在(1,f(1)处的切线方程为 x (1) 用a表示出b,c (2) 若f (x)亠In x在1, 二)上恒成立，求a的取值范围 (3)证明：1 1 1 . 1 . ln(n 1)亠n 2 3 n 2(n +1)

4、 解：(1 1)( 2 2)略 1 (3 3)由(II II )知：当 a - 时,有f (x) _ ln x(x _ 1) 2 1 1 1 令 a ,有 f (x) (x- ) - l nx(x_1). 2 2 x 1 1 且当 X 1时，(x - ) ln x. 2 x k +1 若，瓷 +1 1k _1 k 1“丄 1、 “ 1 v, 令 x ,有 ln - - - - (1 亠一)一(1 - ), k k 2 k k+1 2 k k+1 1 1 1 即 ln( k 1) -ln k -(一亠 - ),k =1,2,3 , n. 2 k k +1 将上述 n n 个不等式依次相加得 整理

5、得 点评：本题是 20102010 湖北高考理科第 2121 题。近年，以函数为背景建立一个不等关系, 然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特 别关注。当然，当n _2时, 1 S2T-2 ln(n 1) 1 (1 1 2 2 3 2(n 1) ln(n 1) n 2(n 1) n -4 - 此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。三、 放缩后迭乘 -5 - 1 _ * 例 4 a1 =1,an 卑=i6(1+4an+J1+24an)( nN ). （2 2） 令-1 24an，求数列bn的通项公式 （3 3） 1 已知 f (n)=6an1-3an，求证:f (1)f(2) f(3).f (n). 2 解： （1 1） （2 2）略 (1(1)求 a2,a3 n 由（2 2）得a 1 3 -f (n) 1 -+ 4n =2(：)n(：)n 3 4 2 3 2 n 2 _ n _ 2 4 JL) 4 3 1 _n -1 二1 n 2 4 4n f (n) (1- 11 “ 1 2 1 n n - 4 4 1 +4 4 1 4n 142 1+1 -f(1)f(2).f(n) 4 彳