流体力学第一章

1、1.7 连续流体中的牛顿力学连续流体中的牛顿力学 什么是理想流体？什么是理想流体？无固定形状、可流动、不可压缩的（密度一定）并且无固定形状、可流动、不可压缩的（密度一定）并且无黏性无黏性流体是液体和气体的总称，可以发生形状和大小的流体是液体和气体的总称，可以发生形状和大小的改变。其特征是改变。其特征是具有流动性具有流动性，即连续流体内部各部，即连续流体内部各部分之间可以有相对运动；分之间可以有相对运动；一般的流体都是可压缩的，是有黏性的；一般的流体都是可压缩的，是有黏性的；对于对于连续流体连续流体，我们取，我们取“质元质元”代替代替 “ “质质点点” ” . . 质元是有质量的体积元。质元是有

2、质量的体积元。dmdVdSdS被被 分开的两部分流体之间的作用力与反作用力分开的两部分流体之间的作用力与反作用力 dS流体内部各部分之间的相互作用的内力，不流体内部各部分之间的相互作用的内力，不再看成是作用与一个个离散的质点上，而是看再看成是作用与一个个离散的质点上，而是看成作用在质元的表面上成作用在质元的表面上. .dSf d作用在单位面积作用在单位面积上的力称为应力上的力称为应力dSf ddf/df剪应力剪应力dfGdSdfdS正应力正应力流体流体dfpdS压强压强流体都是可压缩的，气体容易压缩，液体流体都是可压缩的，气体容易压缩，液体就难一些。于此我们只讨论流体的机械运动就难一些。于此我

3、们只讨论流体的机械运动，不涉及热力学问题（压缩引起内能变化等，不涉及热力学问题（压缩引起内能变化等），所以研究的流体都假定是不可压缩的。），所以研究的流体都假定是不可压缩的。不可压缩流体密度是常量，基础仍然是牛不可压缩流体密度是常量，基础仍然是牛顿定律。顿定律。f ddSf d两个质元的作用力垂直接触面，是垂直压力两个质元的作用力垂直接触面，是垂直压力dfpdS流体内部某点处压强流体内部某点处压强可确定通过改点任意截面两旁流体的相互作用力可确定通过改点任意截面两旁流体的相互作用力1. 静流体内部一点压强静流体内部一点压强dfpdS2. 静流体的基本公式静流体的基本公式mgShg p S0pSy

4、00ShgpSp S00hgpp0pphg0phpS例题：例题：一水库的水坝长一水库的水坝长 L，坡度角为，坡度角为，水深，水深 H，求水对水坝的压力。取大气压为求水对水坝的压力。取大气压为P0 ，水的密度，水的密度。zzdzz OpHzHgpp0sindzLdS pdSFHdzzHgpL00sin2021singHHpL解：取狭长条上解：取狭长条上 p 相等相等1.7.1.2 液体的表面现象液体的表面现象 1. 表面张力表面张力ffllf：表面张力系数：表面张力系数 表示沿单位长度分界线两侧液面的相互拉力表示沿单位长度分界线两侧液面的相互拉力（3）表面张力系数实验测定）表面张力系数实验测定l

5、W2（2）表面张力计算）表面张力计算（4）表面能）表面能0cos02(dAF drWdxldxdSd E表面）(d EdS表面）(dAdSd EdAdSdSd EdS表面表面）大，越小）（表面张力使液体表面积取最小）（5）表面张力存在分析）表面张力存在分析分子力是保守力分子力是保守力pE分子r0r液体表面分子间距较大液体表面分子间距较大表面分子受力不为零表面分子受力不为零表面张力是使液面处于极小表面张力是使液面处于极小例例1.34 取水银的密度取水银的密度 ，表面张力系数表面张力系数 （和空气为界），（和空气为界），为了使质量为为了使质量为 的水银滴在空气中的水银滴在空气中等温散布成半径为等温

6、散布成半径为 的小水银滴，的小水银滴，需要做多少功？需要做多少功？ 33mkg106 .131mN50. 0kg1036. 13 m100 . 16r解：表面积增加需要外力做功解：表面积增加需要外力做功SEA表表面面设水银滴为球状，大的半径为设水银滴为球状，大的半径为 R，小的半径为，小的半径为 r333434rNRM总质量不变总质量不变3143MRMrN3432244RrNS2244RrNA J15. 0面积增量面积增量需做功需做功大滴半径大滴半径小滴数量小滴数量2. 弯曲液体表面内外压强差弯曲液体表面内外压强差附加压附加压强强0ppp内（1）球形液面附加压强）球形液面附加压强R2内内p2R

7、0p2022RpRRp内Rppp20内Rppp20内2202pRRpR内内RaPP20内R2内内p2R0p内pp 0内pp 0内pp 00p内p0p内p0p内p02neiaPPR02neiaPPR例例1.35 有一半径为有一半径为 R 的球形肥皂泡，如图。试求的球形肥皂泡，如图。试求液膜内外两点液膜内外两点 A、C 的压强差。的压强差。ABC解：液膜有内外两个表面。解：液膜有内外两个表面。因液膜很薄，内外表面的半因液膜很薄，内外表面的半径都看作是径都看作是 R。内表面内表面RaPPAB2外表面外表面RaPPCB2皂泡内外压强差皂泡内外压强差 RaPPCA4 任意形状的弯曲液面某处的附加压强任意

8、形状的弯曲液面某处的附加压强 拉普拉斯公式拉普拉斯公式 21011RRppp内内RRR21对于凸球形液面对于凸球形液面 对于凹球形液面对于凹球形液面 RRR2121,RRR对于凸圆柱形液面对于凸圆柱形液面 3. 毛细现象毛细现象接触角接触角毛细现象是由表面张力和接触角所决定。毛细现象是由表面张力和接触角所决定。 /cosRr02/AppRghpPpAB0grgRhcos2/202/ABppRp0BpPghAgrgRhcos2/2grgRhcos2/20grah2仅适用于圆截面毛细管。仅适用于圆截面毛细管。 例题：例题：在内半径在内半径 r 的毛细管中注水，在管的下端形的毛细管中注水，在管的下端

9、形成一凸形球状液面，曲率半径成一凸形球状液面，曲率半径 R ；管内上部形成；管内上部形成凹形球状液面，设其曲率半径与管的内半径相同。凹形球状液面，设其曲率半径与管的内半径相同。已知水的表面张力系数已知水的表面张力系数，求管中水柱的高度。，求管中水柱的高度。hAB解：球形液面附加压强公式解：球形液面附加压强公式rppA20RppB20rRppAB112ghppAB流体静力学的基本公式流体静力学的基本公式联立可得联立可得rRgh112rRgh112管中水柱的高度管中水柱的高度1.7.2 流体动力学流体动力学分析方法有：拉格朗日方法、分析方法有：拉格朗日方法、欧拉法欧拉法流线流线流管流管定常流动定常

10、流动 ),(zyxvv不定常流动不定常流动 ),(tzyxvv1.7.2.1 连续性方程连续性方程 1v2v1dS2dS流管非常细，截面上流速相等流管非常细，截面上流速相等流体不可压缩，流体不可压缩， 为常量为常量21VVdQdQ2211dSdSvv常量常量dSv常量常量dSv或者或者连续性方程连续性方程 物理实质体现了流体在流动中质量守恒。物理实质体现了流体在流动中质量守恒。 1.7.2.2 伯努利方程伯努利方程1. 理想流体理想流体 内摩擦力内摩擦力 黏滞性流体黏滞性流体 我们把不可压缩的无黏滞性流体称为我们把不可压缩的无黏滞性流体称为理想流体理想流体 2. 理想流体定常流动中的功能原理理

11、想流体定常流动中的功能原理伯努利方程伯努利方程 在作定常流动的理想流体中任取一细流管在作定常流动的理想流体中任取一细流管 1p2p1v2v1h2h1S2S1a2a2b1b1212222121mghmmghmEvv1212222121ghVghVvv外力做功外力做功VppbaSpbaSpA)2122221111（根据功能原理根据功能原理 EA222212112121ghpghpvv细流管内的任意点有细流管内的任意点有 常常量量ghp221v是理想流体作定常流动时的动力学规律是理想流体作定常流动时的动力学规律 伯努利方程伯努利方程在工程上，伯努利方程经常写成在工程上，伯努利方程经常写成 常常量量h

12、ggp22v水平流管或气体中高度差效应不显著的情况水平流管或气体中高度差效应不显著的情况常常量量221vp2222112121vvpp3. 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 小孔流速小孔流速AB0p0ph20021Bpghpv根据伯努利方程有根据伯努利方程有 小孔流速为小孔流速为 ghB2v计算小孔流量计算小孔流量 BBBVSghSQ2 vAB0p0pAhBh虹吸管虹吸管 BABhhg2v200210BBAghpghpv伯努利方程伯努利方程B 处流速为处流速为 流量计流量计hBvAvABASBS222121BBAAppvv根据伯努利方程有根据伯努利方程有 ghppBA根据连续性原理根据连续性原

13、理 BBAAdSdSvv222BABAAAVSSghSSSQ v可得流量为可得流量为 流速测量流速测量0vO0pAA 点称为驻点点称为驻点伯努利方程伯努利方程20021v ppA002ppAv待测流速为待测流速为dOABChd h河道水速简单测量河道水速简单测量 hdgppAgdpp0ghppA0002ppAvgh20vghc 20v1.7.2.3 弯管中流体的反作用力弯管中流体的反作用力 1p2p1v2v1h2h1S2S1a2a2b1b质点系的动量定理质点系的动量定理2121aabbPPtF由于定常流动由于定常流动12vvmmtF由体积流量定义由体积流量定义 tQVmV)()(1212vvv

14、vVQdtmmddtPdF系系FS1v2v1v2vv由连续性原理由连续性原理 vvv21流体流量为流体流量为 SQVv转弯流体对管壁的反作用大小为转弯流体对管壁的反作用大小为SSF2122 vv-vv方向为图中所示沿方向为图中所示沿 450 线指向管壁线指向管壁 1.7.3 黏滞流体的流动黏滞流体的流动自然界存在着两种不同的流态：自然界存在着两种不同的流态：层流层流和湍流和湍流 1.7.3.1 黏滞流体层流规律黏滞流体层流规律 vvdvSdl1. 流体的黏滞性流体的黏滞性两层流体之间的黏滞力两层流体之间的黏滞力 Sdldvf牛顿黏滞定律牛顿黏滞定律 黏滞性的影响因素黏滞性的影响因素2. 伯努利

15、方程的修正伯努利方程的修正 当黏滞性流体作定常流动时，必须考虑由内当黏滞性流体作定常流动时，必须考虑由内摩擦引起的能量损耗。伯努利方程应修正为摩擦引起的能量损耗。伯努利方程应修正为 wghpghp222212112121vv沿程能量损失沿程能量损失 粗细均匀的水平细流管粗细均匀的水平细流管 wpp21两端开口的坚直管中定常流动两端开口的坚直管中定常流动 whhg)(213. 两个著名公式两个著名公式无限长刚性圆管内稳定层流的粘滞性规律。无限长刚性圆管内稳定层流的粘滞性规律。 (1) 泊肃叶公式泊肃叶公式 VQ rvRr1p2prfrflr水平方向受力平衡水平方向受力平衡dtdlrrppv2221rdrlppd221v即有即有0v，Rr处处Rrrdrlppd2210vv22214rRlppv这就是管中径向流速分布这就是管中径向流速分布 drrrrdrvdQV2圆环面积的流量为圆环面积的流量为 4218RlppQV泊肃叶公式泊肃