第二章 正投影法基础

1、工程制图工程制图1工程制图工程制图2投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图工程制图工程制图3中心投影法中心投影法投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变思考思考: 1、在中心投影下、在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小投影能否反映物体的真实大小? 2、当物体沿投影面的法线方向移动时、当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变其投影大小变不变? 3、中心投影能

2、否满足绘制工程图样的要求、中心投影能否满足绘制工程图样的要求?工程制图工程制图4平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投射线互相平行投射线互相平行且垂直于投影面且垂直于投影面投射线互相平行投射线互相平行且倾斜于投影面且倾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法1、沿投影方向移动物体、沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变其正投影的大小变不变?2、物体的投影有否可能反映某一个面的实形、物体的投影有否可能反映某一个面的实形?3、正投影能否满足绘制工程图样的要求、正投影能否满足绘制工程图样的要求?思考思考:工程图样多数采用正投影法绘制工程图样多数采用正投影法绘制工程制图工程制图5 二、正投影法

3、的基本性质二、正投影法的基本性质工程制图工程制图61 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小单一正投影不能完全确定物体的形状和大小工程制图工程制图7三个投影三个投影工程制图工程制图8工程制图工程制图9VWHx0yzy俯视俯视主视主视左视左视YXZO规定规定 : V面保持不动，面保持不动，H面面向下向后向下向后绕绕OX轴旋转轴旋转900，W面面向右向后向右向后绕绕OZ轴旋转轴旋转900。工程制图工程制图10高高长长宽宽长长高高长长宽宽高高宽宽X方向方向作为度量物体作为度量物体长度的方向长度的方向；Y方向方向作为度量物体作为度量物体宽度的方向宽度的方向；Z方向方向作为度量物作为度量物体体高度的

4、方向高度的方向。主视图主视图长、长、高高 俯视图俯视图长、长、宽宽左视图左视图高、高、宽宽OXY ZVWH（3 ）视图的度量性）视图的度量性视图上物体的相对位置视图上物体的相对位置工程制图工程制图11主视图主视图 正面投影（前向后看）正面投影（前向后看）俯视图俯视图 水平投影水平投影（上向下看）（上向下看）左视图左视图 侧面投影侧面投影（左向右看）（左向右看）三等关系三等关系主视俯视长相等且对正主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应俯视左视宽相等且对应长长高高宽宽宽宽 长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐工程制图工程制图123 3）三视图之间的方位对应

5、关系）三视图之间的方位对应关系OXY ZVWH上上下下左左右右后后上上下下前前后后左左右右前前上上下下左左右右前前后后工程制图工程制图13上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右工程制图工程制图14XYZY1Y2Y1Y2例例1、由物体的立体图画三视图、由物体的立体图画三视图主主线型线型前前前前工程制图工程制图15虚线虚线要画要画例例2、画三视图、画三视图123要注意宽相等要注意宽相等工程制图工程制图16 Pb AP采用多面投影。采用多面投影。B1B2B3 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。不能确定点的空间位置。a 解决办法？解决办法？工程制图工程制图17

6、2、点在、点在HVOXaAZYXaA点的水平投影点的水平投影 aA点的垂直投影点的垂直投影 a 工程制图工程制图18点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面的距离的距离. 工程制图工程制图19HWV投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面互三个投影面互

7、相垂直相垂直工程制图工程制图20空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。WHVoXa aa AZY工程制图工程制图21WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx工程制图工程制图22XYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律: a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a a

8、y=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴工程制图工程制图23点的三面投影和坐点的三面投影和坐标的标的关系关系为：为： 水平投影水平投影 a 反映反映A点点X和和Y的坐标；的坐标；正面投影正面投影 a反映反映A点点X和和Z的坐标；的坐标；侧面投影侧面投影a反映反映A点点Y和和Z的坐标。的坐标。yxzOAVHWaaaXZY画出画出A点投影图和举例点投影图和举例工程制图工程制图24a aaxa a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规

9、直接量取取a az=aaxa 工程制图工程制图25工程制图工程制图26 d d e e f f e f dzxYW YH0 d a a a工程制图工程制图27点的投影规律 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的投影时，应保证做到:点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即aa上0X ；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a a上0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。工程制图工程制图28点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角

10、坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。 点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。工程制图工程制图29各种位置点的投影空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点 点的三个坐标为零，

11、三个投影都与原点重合。 工程制图工程制图30 两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上上下、前后、左右下、前后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。b aa a b bXYHYWZ工程制图工程制图31a a aXZYWYHOb bb 985工程制图工程制图32两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上

12、下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。工程制图工程制图33重影点：重影点： 空间两点在某一投影空间两点在某一投影面上的面上的投影重合为一点投影重合为一点时，则称此两点为时，则称此两点为该投该投影面影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点被挡住的投被挡住的投影加影加( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a a c c ( )a c工程制图工程制图34重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一

13、个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。工程制图工程制图35 两点确定一条直线，将两点两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=AB

14、cosABabAMBabmaa a b b b直线投影的基本特性直线投影的基本特性 一般情况下，一般情况下， 直线的投影直线的投影仍然为直线，特殊情况为一仍然为直线，特殊情况为一个点。个点。工程制图工程制图36二、二、 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线

15、（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面工程制图工程制图37工程制图工程制图38b a aba b b aa b ba 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。并反映直线与另两投影面倾角的实大。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角: 实长实长

16、实长实长实长实长ba aa b b 工程制图工程制图39铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线工程制图工程制图40铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )工程制图工程制图41工程制图工程制图42投影特性：投影特性： 三个投影都缩短。三个投影都缩短。即即: 都不反映空间线段都不反映空间线段的实长及与三个投影面的实长及与三个投影面夹角的实大，且与

17、三根夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。投影轴都倾斜。abb a b a 工程制图工程制图43|zA-zB |ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab工程制图工程制图44ABbbaaCXO|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|工程制图工程制图45XZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|工程制图工程制图46。a|zA-zB| ab a b |yA-yB|ABABab|zA-zB|b Xa bAB工程制图工程制图47工程制图工程制图48 若点在直线上若点在直线上, 则则

18、点的投影必在直线的同点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间同名投影分割成与空间相同的比例。即：相同的比例。即： 若点的投影有一个不若点的投影有一个不在直线的同名投影上，在直线的同名投影上， 则则该点必不在此直线上。该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理工程制图工程制图49ABbbaaXOccCc工程制图工程制图50点点C不在不在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C

19、在直在直线线AB上上工程制图工程制图51例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?工程制图工程制图52例题例题3 3 已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV工程制图工程制图53bbXaaBC例题例题4 4 已知线段已知线段ABAB的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段ABAB的点的点C C的投影，的投影， 使使BCBC 的实长等于已知长度的

20、实长等于已知长度L L。cLABzA-zBcab工程制图工程制图54平行平行相交相交交叉交叉垂直相交垂直相交工程制图工程制图55空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a 工程制图工程制图56abcdc a b d 对于对于一般位置直一般位置直线线，只要有两个同名，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CD工程制图工程制图57b

21、d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直线特殊位置直线，只有两个同名投影互相只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？工程制图工程制图58HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律影规律

22、。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点工程制图工程制图59cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影工程制图工程制图60d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性：投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交交点点”不符合空间一个点投影规律不符合空间一个点投影规律。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判，用其可帮助判断两直线的空间位置。断两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？123 4 两直线

23、相交吗？两直线相交吗？工程制图工程制图61例题例题 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1工程制图工程制图62判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判断重影点的可判断重影点的可见性时，需要看重影见性时，需要看重影点在另一投影面上的点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影，坐标值大的点投影可见，反之不可投影可见，反之不可见，不可见点的投影见，不可见点的投影加括号表示。加括号表示。工程制图工程制图63例题例题 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(

24、4)34121(2)工程制图工程制图64直角的投影特性：直角的投影特性：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB, 同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：工程制图工程制图65d abca b c dAB为正平线为正平线, 正正面投影反映直角。面投影反映直角。.工程制图工程制图66eeee

25、cc例例 已知直线已知直线AB两面投影和两面投影和C点的水平投影点的水平投影,试过试过C点作一条直线点作一条直线CE垂直于垂直于AB,求直线求直线CE两面投影两面投影。 cbabaOX两直线交叉两直线交叉工程制图工程制图67f例题例题 过点过点E E 作线段作线段ABAB、CD CD 的公垂线的公垂线EFEF。fOcbaabXcddee工程制图工程制图68小 结 点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性特殊位置直线的投影特性。 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 定比定理。定比定理。 直角定理，即两

26、直线垂直时的投影特性。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：重点掌握：工程制图工程制图69一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。 投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。另两个投影反映实长且垂直于相

27、应的投影轴。工程制图工程制图70二、直线上的点二、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。且符合空间一个点的投影规律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。间一个点的投影规律。“交点

28、交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。对重影点的投影。工程制图工程制图71四、相互垂直的两直线的投影特性四、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。 两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。在该投影面上的投影反映直角。 两直线均为一般位置直线时，两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角。反映直角。直角定理直角定理工程制图工程制图72abca b c 不在同一直不在同一直线上的三个

29、线上的三个点点abca b c 直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形工程制图工程制图73工程制图工程制图74VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ工程制图工程制图75平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性工程制图工程制图76投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面

30、投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面工程制图工程制图77铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面工程制图工程制图78VWHPPH ABCacbababbaccc工程制图工程制图79VWHQQV ababbacccAcCabB工程制图工程制图80VWHSWS CabABcabbbaaccc工程制图工程制图81abca

31、c b c b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？工程制图工程制图82水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面工程制图工程制图83VWH CABabcbacabccabbbaacc工程制图工程制图84VWH cabbacbcabacabcbcaCBA工程制图

32、工程制图85 VWHabbbacccabcbacabcCABa工程制图工程制图86a b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。工程制图工程制图87工程制图工程制图88 abcbacababbaccbacCAB工程制图工程制图89判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面

33、直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。 平面上取任意直线平面上取任意直线工程制图工程制图90工程制图工程制图91abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面所确定，试在平面内任作一条直线。内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。工程制图工程制图92例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作

34、一条水平线，使其到H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？工程制图工程制图93工程制图工程制图94 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abcab k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解工程

35、制图工程制图95ddabcabcee工程制图工程制图96bckada d b c ada d b c k bc例例3：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二工程制图工程制图97工程制图工程制图98工程制图工程制图99abcbacmnnm工程制图工程制图100例：在平面例：在平面ABC上取一点上取一点K，使点，使点K在点在点A之下之下15mm、在点、在点A之之前前20mm处。处。工程制图工程制图101相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与

36、平面平行平面与平面平行包括包括 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理： 若一直线平行于平面上的某一直若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。线，则该直线与此平面必相互平行。工程制图工程制图102n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？工程制图工程制图103正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 工程制图工程制图104fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平

37、面工程制图工程制图105 若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应平行于另一平面上的对应平行于另一平面上的两相两相交直线交直线，则这两平面相互平行。，则这两平面相互平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平相互平行，则它们行，则它们具有积聚性具有积聚性的那的那组投影必相互平行。组投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef工程制图工程制图106例题例题1 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行工程制图工程制图107例题例题2 已知定平面由平行两直线已知定平面由

38、平行两直线AB和和CD给定。试过点给定。试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkk工程制图工程制图108直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的交点是直线与平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。于特殊位置的情况

39、。工程制图工程制图109工程制图工程制图110abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影段在平面前，故正面投影上上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图

40、图k21工程制图工程制图111工程制图工程制图112km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法工程制图工程制图113 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面交线是两平面的共有线，的

41、共有线，同时同时交线上的点都是两平面的共交线上的点都是两平面的共有点。有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。置的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。工程制图工程制图114可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平

42、面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。工程制图工程制图115工程制图工程制图116b c f h a e

43、abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m 、 b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有点的正面投影，即为两个共有点的正面投影，故故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可可见，见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 工程制图工程制图117c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def

44、的外面，说明的外面，说明点点N位于位于DEF所确定所确定的平面内，但不位于的平面内，但不位于DEF这个图形内。这个图形内。 所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。nn m kmk 互交互交工程制图工程制图118 重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空

45、间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性 尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。工程制图工程制图119一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。 另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。 工程制图工