海伦公式的推导和应用

1、海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦(Heron，也称海龙)二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。 但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德 所发现,以托希伦二世的名发表 (未查证)。我国宋代的数学家 秦九韶也提出了 三斜求积术 它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c,三角形的面积 S可由以下公式求得：S* p(p -a)(p-b)(p-c)而公式里的p为半周长:p=(a+b+c)/2注1: "Metrica"(度量论)手抄本中用s作为半

2、周长，所以S=yp(p -a)(p-b)(p-c)和 S=ys(s -a)(s-b)(s-c)两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间 的距离，就可以方便地导出答案。证明(1):与海伦在他的着作"Metrical度量论)中的原始证明不同，在此我们用三角公 式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为 A、B、C,则余弦定理为cosC = (aA2+bA2-cA2)/2abS=1/2*ab*s inC=1/2*ab* V(1-co

3、sA2 C)=1/2*ab* V1-八2+匕八27八2)八2/4&八27八2=1/4* V4aA2*bA2 -八2+匕八27八2)八2=1/4* V(2ab+aA2+bA2 -cA2)(2ab-aA2-bA2+cA2)=1/4* V(a+b)A2 心2忖2-小)八2=1/4* V(a+b+c)(a+b -c)(a-b+c)(-a+b+c)设 p=(a+b+c)/2贝U p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=V(a+b+c)(a+b -c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=v p(p-a)(p-b)(p-c

4、)所以，三角形 ABC 面积 S=yp(p-a)(p-b)(p-c)证明(2):我国宋代的数学家秦九韶也提出了三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在九章算术中，已经有求三角形公式 底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时， 由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。 所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个 数小斜平方乘以大斜平

5、方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为实”，作1作为 隅”，开平方后即得面积。所谓实”、隅”指的是，在方程 px 2=qk,p为隅”，q为实”。以、a,b,c表示 三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2当 P = 1 时， 2= q,S =V1/4c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2因式分解得1/16(c+a)2-b 2b 2-(c-a) 2=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)

6、由此可得：S =V p(p-a)(p-b)(p-c)其中 p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为海伦-秦九韶公式”。S=c/2* 根号下 aA-(aA-bA+cA)/2cA.其中 c>b>a.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形 ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6 ，求四边形 ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d,为 4边)代入解得s=8V 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解

7、题中主要应用的有：设厶ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分 别为 ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),贝US ABC=1/2 aha=1/2 abxsinC=1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC=V p(pa)(p-b)(p-c)其中，S ABC =V p(p-a)(p-b)(p-c)就是着名的海伦公式，在希腊数学家海伦的着作测地术中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的证明证一 勾股定理 如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理 ?如右图。 ?斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：由变形 S =可知，运用余

8、弦定理 c2 = a2 + b2 2abcosC 对其进 行证明。证明：要证明 S =则要证 S =abxsi nC此时S = abxsinC为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式恒等式证明 (1)恒等式证明 (2)证五：半角定理由证一， x = = c = p cy = = a = p az = = b = p br3 =二 r = S ABC = r p =故得证。二、海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设 p= ,则 S 四边形 =现根据猜想进行证明。证明：

9、如图，延长 DA， CB 交于点 E设 EA = e EB = fvZ 1+ / 2 =1800 / 2+ / 3 =1800/ 1 =Z 3 EAB ECD解得： e = f = 由于S四边形ABCD = S EAB将，跟b =代入公式变形，得： S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。三、海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用， 特别是在有关圆内接四边形的各 种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。例题：如图，四边形 ABCD内接于圆 0中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。解：设 BC = x由海

10、伦公式的推广，得：（4x）（2x）2 =27x412x2 16x27 = 0x2（x2 1）11x（x 1）27（x 1） = 0（x 1 ）（x3 x211x27） = 0x = 1 或 x3x211x27 = 0当 x = 1 时， AD = BC = 1四边形可能为等腰梯形。在程序中实现 （VBS）:dim a,b,c,p,q,sa=inputbox（"请输入三角形第一边的长度"）b=inputbox（"请输入三角形第二边的长度"）c=inputbox（"请输入三角形第三边的长度"）a=1*ab=1*bc=1*cp=（a+b+c）*（a+b-c）*（a-b+c）*（-a+b+c）q=sqr（p）s=（1/4）*qmsgbox（" 三角形面积为 "&s）, ,"三角形面积 "在 VC 中实现#include<stdio.h>#include<math.h>main()int a,b,c,s; printf(" 输入第一边 n"); scanf("%d",&a);printf(" 输入第二边