探究二次根式函数值域的求法

1、探究二次根式函数值域的求法有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。下面通过不同的角度进行探究。探究一：求的值域设想一：观察此函数不难发现f在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。解： 24 即函数的定义域为又在其定义域内是增函数。 当综上所述，函数的值域为设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。解：设a= (a0,b0) y=易得 故 可视为斜率为的

2、直线在圆上移动，何时截baoBA距最大，何时截距最小。由于，所以表示的仅为第一象限内个圆，如右图所示：由图易知，直线经过A点时，截距最小，直线过B点时，截距最大。将A（，0），B（0，）分别代入中，得 ， 所以，函数的值域为。设想三：一般说来，对于含二次根式的函数，三角代换可以化繁为简，化难为易，下面探究如何换元。解：，设 ，82 ，2 = ， ，即，故：函数的值域为。反思：以上三种方法思维不同，方法各异。主要体现了单调性，换元法，数形结合，化归等多种数学方法和数学思想。将我们所学的知识逐层渗透到每种方法中。在解法二中，数形结合思想体现了数与形相互转化，解法三中，三角换元体现了函数与方程的相互

3、转化。诸如此类，以上方法均体现了转化与化归思想，而这种思想，几乎解每一道题都用，不愧为是数学思想方法的灵魂。探究二，求函数的值域。设想一：由于都是二次根式函数的值域求解问题，所以我们利用解析几何中直线与圆来求解。BDOACyxba解：，（） ， 故可视为直线移动，何时截距最大，何时截距最小。由于，所以仅表示在第一象限内的个圆。显然，当直线与圆切于A点时，截距最大。当直线与圆交于C、B两点时，截距最小。连接OA易知OD=,。设想二：由于本题中，二次根式下的被开方数含有二次项，所以它与探究题型略有变化，观察题目，将原式两边平方，利用双向不等式求解。解：令，即 =，,即，。设想三：利用三角换元。解：

4、设，=，又,当=1时，最大，即，当=时，最小，即，。反思：本题看似前面探究一类型不同，但解法大同小异。特别是三角换元与解析几何几乎是最常用的方法。但探究二也稍有不同，比如设想二中的解法，它仅适用于x的系数平方后能消去x，所以，它的解法比较巧妙，但也是解决本类题目型的一种常用方法。感悟与归纳：通过对二次根式函数值域求法的探究，对于我们的解题十分重要。逐如此类题型，我们应学会以下几点：1、 观察分析二次根式函数的结构，抓住本质特征。2、 变换思维角度，多方位思考，巧思妙解。3、 重视思维的合理性，提高思维的灵活性。如在利用三角换元时，抓住两个关系：，主要用来处理二次根式的函数值域问题。对于二次根式值域求解方法，常用到三角换元，数形转化法，单调性法，以及向量等多种方法，而三角换元是处理二次根式的函数值域的最主要的方法，一般说来，对于二次根式的函数，均可考虑三角代换来几何函数，其次是数形转化法，在解析几何中，一个代数式往往具有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据。其次，根据