曲线积分及其与路径无关问题

1、曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1) 对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L : AB,其线密度为(x, y)求弧AB的质量m。m Lf(x，y)ds,(2) 若Li AB,L2 BA，贝Uf (x, y)ds= f(x, y)ds，即对弧长的曲线积分L1L2与积分弧段有关，但与积分弧段的方向无关。(3)对弧长的曲线积分的计算x设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为y(t)(t)，(t)，其中、(t)在,上具有一阶连续导数，且 '2(t)'2(t) 0，则曲线积分L f (x, y)ds存在，且l f (x, y)ds= f (t),i &#

2、39;2'2(t)(t)(t)dt ()特别，当f (x, y) 1时，Lf(x, y)ds表示曲线弧L的弧长当曲线弧L的方程为yg(x) (a xb)，g(x)在a,b上有连续的导数，则L f (x,y)ds =df x, g(x)aJ g'2(x)dx ；把线弧L的方程为yf(x)化作参数方程x x/、， (a x b)， y g(x)d.f(x, y)ds =cf h(y),y .1h'2(y)dy (cy d)2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型：设有一平面力场F(x, y) P(x, y)i Q(x, y)j ,其中P(x,y),Q(x,y)为连续

3、函数，一质点在此力场的力作用下，由点 A沿光滑曲线L运动到点B，求力场的力所作的功 W设L为有向曲线弧，L为与L方向相反的有向曲线弧，贝ULP(x,y)dx Q(x,y)dy L P(x,y)dx Q(x,y)dy即第二型曲线积分方向无关(3) 设xoy平面上的有向曲线L的参数方程为(t)，当参数t单调地由变y (t)到 时，曲线的点由起点A运动到终点B, (t)、(t)在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 '2 (t) '2(t) 0，函数P(x,y)、Q(x, y)在L上连续， 则曲线积分L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在，且LP(x,y)dx Q(x

4、,y)dy= P (t), (t) '(t) Q (t), (t)'(t)dt这里的 是曲线L的起点A所对应的参数值，是曲线L的终点B所对应的参数值， 并不要求 。若曲线L的方程为y f(x), x a对应于L的起点，x b应于L的终点，则b'P(x,y)dx Q(x,y)dy= P x, f(x) Qx, f(x) f'(x)dx； La若曲线 L 的方程为 x g( y), y c 对应于 L 的起点， y d 应于 L 的终点， 则d'LP(x,y)dx Q(x,y)dy= c Pg(y),yg'(y) Qg(y),y dy。同样，以上并不

5、要求 a b， c d。公式可推广到空间曲线 C 上对坐标的曲线积分的情形，若空间曲线L的参数方程为x (t), y (t), z (t)，则CP(x,y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz=P (t), (t), (t) '(t) Q (t), (t), (t) '(t) R (t), (t), (t) '(t)dt 这里下限 为曲线C的起点所对应的参数值，上限为曲线C的终点所对应的参数例1计算L xydx ydy，其中L为抛物线y2 x上从点A(1, 1)到点B(1,1)的一段弧。L为从A到点B的直线段.解法1 (1)由y2 x知y不是x的单值函

6、数，因此不能运用公式(2)，但可 运用公式(3)，这里x y2， y从1变到1，于是122 '1 44Lxydx ydy =1 y y (y ) ydy= 4 oy dy = 5。解法2当把曲线L分成AO与OB两部分时，在每一部分上y都是x的单值 函数。在AO上y x，x由1变到0 ;在OB 上, y x，x由0变到1。于是 l xydx ydy =xydx ydy ob xydx ydy=1 x( x) ( . x)( . x) dx+ 0 x . x x(. x) dx3302 11 2 14=1 ( x2 )dx0(x2)dx =12025(2) 直线AB的方程为x 1,dx 0

7、,y从1到1,于是l xydx1ydy = ydy = 01从这个例子可以看出，对坐标的曲线积分沿不同的路径，曲线积分不一定相等3. 格林公式及其应用格林公式：设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则Q P ()dxdy Pdx Qdyd x yL其中L是D的正向边界曲线。在公式(1)中取 P y,Q x，可得 2 dxdy l xdy ydx，D上式左端为闭区域D的面积A的两倍，因此计算有界闭区域的 D面积的公式为Axdy ydx。2 L例2计算星形线x a cos31, y asi n3t所围图形的面积.解由公式(2)得J xdy

8、2 Lydx3232acos t 3asin tcost a sin t 3a cos t( sin t)dt=2 sin2tcos2tdt = 3 a22 0 8例3在过点O (0,0)和A ( n,0)的曲线族y asin x中，求一条曲线C,使沿 该曲线从O到A的线积分C (1 y3)dx (2x y)dy的值最小。C解 本题可用代入法直接求解，这里采用 “补线法”用格林公是求解。令 c° : y0, x0，即AO直线段。3C(1 y )dx(2xy)dyCc (1 y )dx (2xc0y)dy C (1C03y )dx (2x y)dy/亠 亠 2)dxdy0亠3asin

9、x- 2、4 3(2 3y(10)dx0 dx 0(23y )dya 4a。D0 03用一元函数极值的方法得a1时达到最小值8。34.平面曲线积分与路径无关的条件从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊 情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；定义：(曲线积分与路径无关问题)设D是xoy平面上的一个开区域，P(x,y) 以及Q(x, y)在D D内任意两点A与B，以及D内从点A到点B的任意两条曲线L,、L2，恒有 Pdx Qdy = Pdx Qdy，则称曲线积分 Pdx Qdy在D内与1L2路径无关定理：以下条件等价(1) 在区域D内曲线

10、积分与路径无关的充分；(2) D内沿任一闭曲线的积分为零；(3) 设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)以及Q(x,y)在D内具有一阶连p Q续偏导数且一 在D内恒成立；y x(4) Pdx Qdy为全微分.例3计算l(1 xe2y)dx (x2e2y y2)dy,其中L是从点0(0,0)经圆周(x 2)2 y24上半部到点A(4,0)的弧段。解 直接计算曲线积分比较难，先判断是否与积分路径无关这里 P(x,y) 1 xe2y,Q(x,y) x2e2y y2,Qp有2xe2y=,且P(x, y)与Q(x,y)在全平面上有一阶连续偏导数xy因此这个曲线积分与路径无关为便于计算，取直线段0A2

11、y2 2y22y2 2y2(1 xe )dx (x e y )dy =(1 xe )dx (x e y )dyL04=0 (1 x)dx 12例4计算I型賈其中L为：L x y(1) 任一简单闭曲线，该闭曲线包围的区域不含有原点；(2) 以原点为圆心的任一圆周.解 这里 P(x,y) 2 y 2 , Q(x, y)x y22Qy x22、2x (x y )P，且P(x,y)与Q(x, y)在不含原点的任意一个区域内具有一x2 2 'x y阶连续偏导数.（1）这个曲线积分与路径无关，所以IxdyL x2ydx2 y0.xr cosL的参数方程为,(02 ),yr sin则IxdyL2yd

12、x22 r20(cos2sin2 )d2L xyr例5设函数（y）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分、（y）dx 即 的值恒为同一常数.L 2x y（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有(y)dx 2xydy_242x y（II）求函数 （y）的表达式【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求（y）的表达式，显然应用积分与路径无关即可【详解】（I）li如图，将C分解为：C li 12，另作一条曲线13围绕原点且与C相接，则(y)dx 2x

13、ydyC_24C 2x y(ii)设 P(y)2x2 y4,Q，P,Q在单连通区域x 0内具有一阶连续偏导数,2x y由(i)知,曲线积分2严在该区域内与路径无关，故当x 0时，总有L 2x y2y(2x2y4)24、2(2x y )254x2xy4x y 2y (2x2 y4)2(y)(2x2 y4) 4 (y)y3242(2x y )2x2 (y) (y)y4 4 (y)y3 24、2(2x y )比较、两式的右端，得(y)2y,(y)y4 4 (y)y32y5.(y)dx 2xydy(y)dx 2xydyill3TV12 132TV由得所以c0 ,从而(y)y2.【评注】 本题难度较大，

14、关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形5.二元函数的全微分求法定义：若函数 u(x, y)使 du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ,则称函数 u(x,y)是表 达式P(x, y)dx Q(x, y)dy的一个原函数。判别法：设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)以及Q(x, y)在D内具有 一阶连续偏导数，则在D内P(x, y)dx Q(x, y)dy存在原函数的充分必要条件是等p Q式一在D内恒成立。y xxy求法：u(x, y)P(x, yo)dxQ(x,y)dyx0y0xyu(x, y) P(x,y)dxQ(x°,y)dyX0y0一般取(Xo,y。)(0,0).例5验证在整个xoy在平面内(x 2y)dx (2x y)dy是存在原函数，并求出一 个原函数。解 这里 P(x, y) x 2y , Q(x, y) 2x y