案例分析《勾股定理》

1、探索勾股定理教学案例分析设计教师：洛万乡民族中学 郑传刚一、设计意图： 在教学中，设法使学生在接受数学知识的过程中，融入主动 的探究、发现等活动，让学生有机会通过自己的归纳概括获取知 识，让学生感受到数学来自生活，数学就在身边，数学就在自已 的手中。二、学情分析： 我校八年级共两个班，都来自洛万乡各个村寨。通过观察发 现只有一半左右的学生学习目标明确、学习积极性高、能主动的 学习。有 50%的同学有上进心，但主动性不够，需要老师的引导； 但也有极少部分的学生的目标不明确，一天贪玩好耍，不能积极 主动的完成学习，甚至不能完成老师布置的作业：对几何知识学 生都存在着恐惧，不够自信，树立信心是让他们

2、学好数学的最好 方法。三、教材分析： 这节课是九年制义务教育初级中学教材浙教版八年级第十八 章第一节勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定 理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的 发展中起到重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。学生 通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进 一步的认识和理解。四、三维目标：知识与技能1、了解勾股定理的文化背景，体验欧冠地理的探索过程。2、了解理由拼图验证勾股定理的方法。3、利用勾股定理， 已知直角三角形的两条边求第三条变的 长。过程与方法1、在勾股定理的探索过程中， 发展合情推理能力， 体会数形结婚的思想。2、经历观

3、察与发现直角三角形三边关系的过程， 感受勾股 定理的应用意识。情感态度与价值观1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热 情。2、在探索活动中，体会解决问题方法的多样性，培养学生的 合作交流意识和探索精神。五、教学重点： 勾股定理的证明和应用。六、教学难点： 拼图、用计算面积的方法证明勾股定理。七、教学手段： 情景创设法、案例教学法八、教学准备：1、教师准备：教学课件、三角尺一副、 10 套自制的不同边长的 正方形模型等2、学生准备：三角尺九、教学方法 :1、教师教法： 引导发现、尝试指导、实验探究相结合。2、学生学法： 积极参与、动手动脑与主动发现相结合。 师生互动活动设计：十、

4、教学过程 :1、创设情景，引入新课 师：（结合动画讲故事）西周开国时期，周公非常爱才，他和喜 欢钻研数学的商高是好朋友。有一天，商高对周公说，最近我又有一 个新的发现，把一根长为 7 的直尺折成直角，使一边长（勾）为 3， 另一边长（股）为 4，连接两端（弦）得一个直角三角形，周公您猜 一猜第三边的长等于多少 ?周公摇头不知道。同学们，你们猜猜是多少？生：5！生：不知道！师：不知道也没关系，我们来量一量斜边的长就知道了。（动画演示）师：后来又发现， 直角边为 6、8 的直角三角形的斜边的长是 10。 这两组数据是否具有某种共同点呢？带着这个问题人们对直角三角 形做了进一步的研究， 通过计算三条

5、边长的平方发现， 直角三角形中 的三条边长之间还真有一种特殊的关系。 同学们也来算一算、 猜一猜 看，它们之间到底有什么样的关系呢？生： 32+42=52、62+82=102师: 这是两组特殊数字，但由此引发一个有待我们深入思考的问 题，看哪位同学有新问题要提？生：一个任意的直角三角形的三边是否也有这种相等关系呢？ 师：这个问题提得好！ 我们用几何画板再做一个直角三角形来多 实验几次，请注意观察。 （任意改变三边的长，度量、计算显示相等 关系依然不变。）师：通过实验，可以得到什么结论？（或问同学们发现直角三角 形的三边有什么样的关系？） 请同桌商量讨论后把你们的结论用文字 语言或数学式子表达出

6、来。生：直角三角形的三边满足： 两直角边的平方和等于斜边的平方。 即 a 2+b2=c2师：同学们概括得非常好！ 这个结论尽管是通过多次实验得到的， 但要说明它对任意的直角三角形都成立， 还有待进行证明。 首先我们 要明确，在什么图形中要证明什么结论？生：在直角三角形中证明 a2+b2=c2 师：怎样证明呢？（学生茫然）这个问题是有点难度，让我们先 来观察这个要证明的等式，看等式中的 a、b、c 表示什么？生：表示直角三角形的三条边长。师：a2、b2、c2是边长的平方，由边长的平方可联想到什么图形？ 生：正方形。正方形的面积。师：对整个等式你们怎样理解？ 生：等式可以理解为两个正方形的面积和等

7、于一个正方形的面 积。师：那好，下面我们就来做一个拼正方形的游戏，看能不能对我 们证明结论有些帮助。（这一环节利用故事情节引入，是为了引起学生的注意，激发学 生的学习兴趣，调动学生满腔热情地投入学习过程。 在问题情景中引 导学生提问，是为了培养学生问问题的意识，让学生主动地带着问题 在实验的过程中去感受数学的再发现。）2、动手拼图，合作探索定理证明方法师：现在，前后4人为一个小组，老师给每小组提供了拼图模型 两套，要求每一套模型拼成一个没有空隙且不重叠的正方形。拼好后请上台展示你们的成果，比一比，看哪一组完成任务最快。（这里充分利用了初中学生的好奇心和好胜心，给静态知识注入 了活力，同时在课堂

8、上增添了观察、探究等可形成能力的新因素。这 样不仅可以调动学生的已有经验， 沟通相关知识，而且还能培养学生 观察、动手实践的能力。另外，在整个拼图过程中，学生自始至终处 于主体位置上，老师只是他们的学习合作伙伴，在巡视的同时，给个 别小组以适当指导。这样的设计体现了数学活动的教育思想， 有利于 学生在建构的环境中，真正主动的建构自己的理解。）待各组同学基本完成后，挑选出一组拼图和同学们共同分析：b(B)师：同学们对比自己拼成的两个图形，看看它们有什么共同点和 不同点？生：都是边长相等的正方形，但拼图的模型不同。生：这两个正方形的面积相等。师：这两个正方形的面积怎样计算呢？通过你的计算能否证明

9、a2+b2=c2 ? 请试一试。师：看哪两位同学愿意上来写出证明过程。生甲：证明：两个正方形的面积相等，2 2 2/.4X （ab 2）+a +b=4x （ab 2）+c222 a +b=c生乙：证明：t （a+b） 2=4x （ab 2）+c2222 a +2ab+ b =2ab+ c222 a+ b = c（证明逐步深入，是为了启发学生把形的问题转化为数的问题， 联想到用计算面积的方法证明 a2+ b 2= c 2，从而突破教学难点。 ）师：两位同学刚才用两种不同的方法证明了实验得出的结论， 这 就是我们今天要学习的勾股定理。 请两位同学再谈谈你们的证明思路 好吗？生甲：图（A）的面积用四

10、个全等的直角三角形的面积加两个正 方形的面积，图（B）的面积用四个全等的直角三角形的面积加一个 正方形的面积，利用面积相等就证得结论。生乙：我把图（B）用两种不同方法计算它的面积也能证得结论。师：说得非常好！甲同学的证明思路正好符合我们前面对等式的 理解；乙同学的证明思路启发我们还可以通过拼各种不同的图形来证 明勾股定理。 美国第十二任总统伽菲尔德有一天外出散步， 遇到两个 伏在石板上冥思苦想的男孩， 总统上前问他们遇到了什么麻烦？一男 孩说：“先生，您知道怎样证明勾股定理吗？”总统一时语塞，无法 解释，于是匆忙回家研究，得出了拼直角梯形证明勾股定理的方法。（多媒体展示拼图）按这个拼图也能证明

11、勾股定理吗？请试试看。 生：根据拼图，用两种方法计算梯形的面积就能证明勾股定理。 师：对！这种思路很好。证明勾股定理的方法很多，有兴趣的同 学课后可以上网查询相关资料， 也可以尝试拼出不同的图形对勾股定 理给予证明。（多媒体展示拼图。 启发学生一题多证， 多题归一是为了培养学 生思维的灵活性和创新性。 ）下面我们来看看勾股定理能帮助我们解 决什么问题？3、课堂练习（1）在 Rt中，/ C=90 , BC=a ,AC=b,AB=c(a) 已知 a=1，b =2 ， 则 c=(b) 已知 a=15, c=17,则 b=(c) 已知 c=25, b=15,则 a =( 2)一个底边长为 6,腰长为 5 的等腰三角形, 求底边上的高 和面积。( 3)李明上学经过的路旁有一小湖,隔湖相对有两棵树A、B,但无法直接测量出 A、B 之间的距离。请你帮他设计一个解决问题的 方案好吗？ (这是一道与生活实际贴近的开放题,鼓励学生用所学知识解决实际问题,培养学生应用数学的意识。 )4、小结 师：通过以上练习,同学们可以感受到勾股定理有什么作用？ 生：用勾股定理可以解决在直角三角形中已知两条边求第三边的 问题。师：说得非常好！在这一节课中,你们还学会了什么？生：通过拼图学会了用计算面积的方法证明勾股定理。 师：同学们总结得非常好！勾股定理的应用非常