常微分方程课程总结

1、 常微分方程课程总结 理学院 数学091班组长：杨文蛟（学号: 200912010129）组员：倪宝珠 （200912010123） 王向魁 （200912010126） 杨历 （200912010128） 党浩 （200912010117）2011/6/5 常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。（2）线性与非线性一般n阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）（3）解和隐式解微

2、分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.隐式解：（x,y）=0（4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.）特解： 确定了通解中任意常数以后的解.初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程 2.1.2、可化为变量分离方程的类型 1.形如，称为齐次微分方程，令u,即yux，于是，代入原方程，变形为（），整理得2.形如的方程也可经变量变换化为

3、变量分离方程（1），方程化为，有通解（2）情形，令u，这时有是分离变量方程（3）情形，若不全为零，方程右端分子、分母都是x、y的一次多项式，因此0，0，交点（，令X，Y，化为， 。则原方程变形为§2.2 线性微分方程与常数变易法（1）一阶线性微分方程，其中在区间上是x的连续函数。若0，则变为，称为一阶齐次线性微分方程，若，则称为一阶非齐次线性微分方程。（2）是变量分离方程，解为（c是任意常数）。（3）常数变异法，令，微分之，得到 代入原方程得到新方程，解得得到通解（4）伯努利微分方程令，从而，均代入原方程得到,这是线性微分方程。§2.3 恰当微分方程与积分因子2.3.1 恰

4、当微分方程（1）简单二元函数的全微分：2.3.2 积分因子，积分因子。§2.4一阶隐式微分方程与参数表示（1）形如，引入参数，原方程变为，两边对求导，并以代入，得到，这是关于的一阶微分方程（2）形如，引入参数，原方程变为，两边对y求导，并以代入，得到，这是关于的一阶微分方程，设求得通解为，则方程通解为（3）形如F（0 （4）形如F（0第三章 一阶微分方程解的存在定理§3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法1存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程 （3.1）这里是在矩形域： （3.2）上连续。 定理1：如果函数满足以下条件：1）在上连续：2）在上关于变量满足李普希兹（L

5、ipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件 （3.3）其中,称为Lipschitz常数.思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的连续解。2） 构造近似解函数列 任取一个连续函数，使得，替代上述积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到 （3.4）于是得到函数序列.3） 函数序列在区间上一致收敛于，即 存在，对(3.4)取极限,得到 即.4) 是积分方程在上的连续解.命题1 设是方程(3.1)定义于区间上

6、,满足初始条件 （3.3）的解,则是积分方程 (3.5)的定义于上的连续解.反之亦然.命题2 对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式 （3.6）命题3 函数序列在上是一致收敛的.记,命题4 是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.命题5 设是积分方程(3.5)的定义在上的一个连续解,则,. 1、 近似计算和误差估计求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法 对方程的第次近似解和真正解在内的误差估计式 （3.7）例1 讨论初值问题 , 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, .解 ,由于,根据误差估计式(3.16) 可知.于是 就是所求

7、的近似解,在区间上,这个解与真正解得误差不超过0.05. §3.2 解的延拓2、局部利普希茨条件定义2 若函数在区域内连续，且对内每一点，都存在以点为中心，完全含在内的闭矩形域，使得在上关于满足利普希茨条件（对于不同的点，闭矩形域的大小和利普希茨常数可能不同），则称在上关于满足局部利普希茨条件.定理3 （延拓定理）如果方程的右端函数在（有界或无界）区域上连续，且在关于满足局部利普希茨条件，则对任意一点，方程以为初值的解均可以向左右延展，直到点任意接近区域的边界.以向增大的一方来说，如果只能延拓到区间上，则当时，趋于区域的边界。推论1 对定义在平面区域上的初值问题 其中若在区域内连续且

8、关于满足局部Lipschtiz条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论3 如果是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过点的解可以延拓,以向增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:(1) 解可以延拓到区间(或)；(2) 解只可延拓到区间(或)，其中为有限数，则当时，或者无界,或者点.例1讨论方程分别通过点和点的解的存在区间.解 此方程右端函数在整个平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.易知方程的通解为 故通过点的解为,这个解的存在区间为；通过点的解为,这个解的存在区间为(如图所示).注意, 过点的解为向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到,因为当时,.例2讨

9、论方程过点的解的存在区间.解 方程右端函数在右半平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域(右半平面)是无界开域，轴是它的边界.易知问题的解为,它于区间 上有定义、连续且当时, ,即所求问题的解向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到,且当时积分曲线上的点趋向于区域的边界上的点. §3.3 解对初值的连续性和可微性定理1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件的解是唯一的,记为,则在此关系式中, 与可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式 证明 在方程(3.1)满足初始条件的解的存在区间内任取一点,显然,则由解的唯一性知,过点的解与过点的解是同一条积分曲线,即

10、此解也可写为 并且,有.又由是积分曲线上的任一点,因此关系式对该积分曲线上的任意点均成立. 2、 解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数于某域内连续，且关于满足Lipschtiz条件（Lipschtiz常数为），则对方程（3.1）的任意两个解及，在它们公共存在的区间内成立着不等式 （3.17）其中为所考虑区域内的某一值.证明

11、 设, 于区间上均有定义,令 则 于是 从而 所以,对,有 对于区间,令,并记,则方程(3.1)变为 而且已知它有解和.类似可得因此, 两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性： 解对初值的连续依赖定理 假设在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件，如果，初值问题有解，它于区间上有定义(),则对任意， ，使得当时,方程(3.1)满足条件的解在区间上也有定义，并且有 .证明 记积分曲线段是平面上一个有界闭集.第一步:找区域,使,而且在上关于满足Lipschitz条件.由已知条件,对,存在以它为中心的开圆,使在其内关于满足Lipschitz条件.因此,根据有限覆盖定理

12、,可以找到有限个具有这种性质的圆(不同的,其半径和Lipschitz常数的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段,令,则,对,记,则以上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含的有界闭域,且在上关于满足Lipschitz条件, Lipschitz常数为.第二步:证明，使得当时,解在区间上也有定义.由于是一个有界闭域,且在其内关于满足Lipschitz条件,由解的延拓定理可知, 解必能延拓到区域的边界上.设它在的边界上的点为和,这时必有.否则设,由引理有 利用的连续性,对,必有存在,使当时有,取,则当时就有 (3.18)于是对一切成立,特别地有 ,即点和均落在域的内部,这与假设矛盾

13、,故解在区间上有定义.第三步 证明.在不等式（3.18）中将区间换成，可知当时，就有 .根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解作为的函数在它的存在范围内是连续的.证明 对,方程(3.1)过的饱和解定义于上,令 下证在上连续.对,使解在上有定义,其中.对,使得当时, 又在上对连续,故,使得当时有 取,则只要就有 从而得知在上连续.§3.4 奇 解包络: 设方程的通解的积分曲线族为 ，如果有一条曲线，在这曲线上各个点与积分曲线族中各个不同的曲线相切，就称这曲线为该曲线族的包络 显然

14、这包络就是奇解的积分曲线另一方面，若一曲线是一奇解的积分曲线，则按照奇解的定义，在这曲线上的每一点至少与另一条积分曲线相切，所以这曲线是积分曲线的包络 包络的求法: 对于固定的任意常数 c, 对积分曲线 的两边求微分得积分曲线应满足微分方程,而在包络上 c 是 t 和 x 的函数 , 设包络方程为 对两边求微分得包络应满足的微分方程, 比较所得的两个微分方程得由于包络上 c 不是常数, , 所以应有 因此, 我们得到包络必须满足的联立方程组(称为 c 判别式),第四章 高阶微分方程§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言 阶线性微分方程 （4.1）其中及都是区间上的连续函数如果，

15、则方程（4.1）变为： （4.2）称它为阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐次线性方程。定理1 如果及都是区间上的连续函数，则对于任一 ，方程（4.1）存在唯一解，定义于区间上，且满足初始条件： （4.3）4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构定理2（叠加原理）如果是方程（4.2）的个解，则它们的线性组合也是（4.2）的解，这里是任意常数。特别地，当时，即方程（4.2）有解： （4.4）它含有个任意常数。设是定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式：对于所有都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数

16、在所给区间上线性无关,即当且仅当时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。 由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组中如果有一个函数为零，则在上线性相关.2)如果两个函数之比在有定义，则它们在上线性无关等价于比式在上不恒等于常数.定理3 若函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式。推论1 如果函数组的朗斯基行列式在区间上某一点处不等于零，即，则该函数组在上线性无关.但是，如果是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即 。推论2 设是方程（4.2）定义在上的个解，如果存在，使得它的

17、朗斯基行列式, 则该解组在上线性相关.推论3 方程（4.2）的个解在其定义区间上线性无关的充要条件是，存在，使得它的朗斯基行列式.定理5 阶齐线性方程（4.2）一定存在个线性无关的解。定理6（通解结构定理） 如果是方程（4.2）的个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为： （4.5）其中，是任意常数，且通解（4.5）包括了方程（4.2）的所有解。4.1.3 非齐线性方程与常数变易法性质1 如果是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，则也是方程（4.1）的解。性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。定理7 设为方程（4.2）的基本解组，而是方程（4.1）的某一解，

18、则方程（4.1）的通解可表为： （4.6）其中为任意常数。而且这个通解（4.6）包括了方程（4.1）的所有解。现在我们引进线性方程的复值解的定义。定义于区间上的实变量复值函数称为方程（4.1）的复值解，如果：对于恒成立。定理8 如果方程（4.2）中所有系数都是实值函数，而是方程的复值解，则的实部、虚部和共轭复值函数也都是方程（4.2）的解。定理9 若方程有复值解，这里及，都是实函数，那么这个解的实部和虚部分别是方程和 的解。§4.2 常系数线性方程的解法4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程设齐线性方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状 （4.7）其中为常数,称（4.7）为阶常系数

19、齐线性方程。其指数函数形式的解为： （4.8）（4.8）为方程（4.7）的解的充要条件是：是代数方程： （4.9）的根。1）特征根是单根的情形设是特征方程（4.9）的个彼此不相等的根，则相应地方程（4.7）有如下个解：，且这个解在区间上线性无关，从而组成方程的基本解组。2）特征根有重根的情形设特征方程有重根，先设，即特征方程有因子，于是：易见它有个解，而且它们是线性无关的（见4.1.2）。4.2.3 非齐线性方程·比较系数法与拉普拉斯变换法现在讨论常系数非齐线性方程： （4.10）的求解问题，这里是常数，而为连续函数。（一）比较系数法类型设，其中及为实常数，那么方程（4.10）有形如

20、：的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时，取），而是待定的常数。类型设，其中，为常数，而，是带实系数的的多项式，其中一个的次数为，而另一个的次数不超过，那么我们有如下结论：方程（4.10）有形如 的特解，这里为特征方程的根的重数，而，均为待定的带实系数的次数不高于的的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。附注：类型的特殊情形： 或可用另一更简便的方法所谓复数法求解。（二）拉普拉斯变换法常系数线性微分方程（组）还可以应用拉普拉斯变换法进行求解，由积分：所定义的确定与复平面（）上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式：，这里，为某两个正常数。 &#

21、167;4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法4.3.1 可降阶的一些方程类型阶微分方程一般地可写为： 共有三类特殊方程的降阶问题：1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含，即方程呈形状： （4.11）若令，即可求出方程（4.11）的通解。2）不显含自变量的方程： （4.12）只需令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。3）齐线性方程： （4.2）4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法考虑二阶齐线性方程： （4.13）及初始条件及的情况。定理10 若方程（4.13）中系数和都能展开成的幂级数，且收敛区间为，则方程（4.13）有形如：的特解，也以为级数的收敛区间。定理11若方

22、程（4.13）中系数，具有这样的性质，即和均能展成的幂级数，且收敛区间为，则方程（4.13）有形如：即：的特解，这里，是一个待定的常数。级数（4.14）也以为收敛区间。 第五章 线性微分方程组 §5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义 （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数和在区间上上是连续的。方程组（5.1）关于及是线性的. （5.2）这里是矩阵，它的元素是个函数. （5.3）这里，是矩阵或维列向量。方程组： （5.4） 在某区间（这里）的解就是向量，它的导数在区间上连续且满足，初值问题, （5.5）的解就是方程组（5.4）在包含的区间上的解，使得。5.1.2 存在唯一性

23、定理 ， （5.6）的解的存在唯一性定理。对于矩阵和维向量，我们定义它的范数为设是矩阵，是维向量，这时容易验证下面两个性质：）向量序列，称为收敛的，如果对每一个数列都是收敛的。判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果，而级数是收敛的，则在区间上是一致收敛的。积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列在区间上是一致收敛的，则定理（存在唯一性定理）如果是矩阵。是维列向量，它们都在区间上连续，则对于区间上的任何数及任一常数向量方程组 （5.7）存在唯一解，定义于整个区间上，且满足初始条件。类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.

24、命题设是方程组（.）的定义与区间上且满足初始条件的解，则是积分方程， （5.8）的定义于上的连续解，反之亦然。命题对于所有的正整数，向量函数在区间上有定义且连续。命题向量函数序列在区间上是一致收敛的。命题是积分方程（5.8）的定义在区间上的连续解。命题设是积分方程（5.8）的定义于上的一个连续解，则（）。 §5.线性微分方程组的一般理论现在讨论线性微分方程组 （5.9）的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。如果，则（5.9）称为非齐线性的。如果，则方程的形式为 （5.10）称（5.10）为齐线性方程组，通常（5.10）称为对应于（5.9）的齐线性方程组。.齐线性微分方程组定理（叠加

25、原理）如果和是（5.10）的解，则它们的线性组合也是（5.10）的解，这里，是任意常数。定理如果向量函数在区间上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式，。定理如果（5.10）的解线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式，。 定理（5.10）一定存在个线性无关的解.定理如果是（5.10）的个线性无关的解，则（5.10）的任一解均可表为这里是相应的确定常数。定理（5.15）一定存在一个基解矩阵。如果是（5.15）的任一解，那么 （5.22）这里是确定的维常数列向量。定理（5.15）的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是（）。而且，如果对某一个，则，。（表示矩阵的行列式）。要注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必

26、是线性相关的。推论如果是（5.10）在区间上的基解矩阵，是非奇异常数矩阵，那么，也是（5.10）在区间上的基解矩阵。推论 如果，在区间上是的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上。5.2.2 非齐线性微分方程组本段讨论非齐线性微分方程组 （5.11）性质1 如果是（5.11）的解，是（5.11）对应的齐线性方程组（5.10）的解，则是（5.11）的解。性质2 如果和是（5.11）的两个解，则是（5.10）的解。 定理7 设是（5.10）的基解矩阵，是（5.11）的某一解，则（5.14）的任一解都可表为 （5.12）这里是确定的常数列向量。常数变易法：由定理可知,如果是常数列向量，则是（5.11）的解，它不可能是（5.10）的解。因此，将变易为的向量函数，而试图寻求（5.10）的形如 （5.13）的解。这里是待定的向量函数。假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到因为是（5.15）的基解矩阵，所以，由此上式中含有的项消去了。因而必须满足关系式 （5.14）因为在区间上是非奇异的，所以存在。用左乘（5.14）两边，得到，其中。这样，（5