均值不等式常考题型

1、均值不等式及其应用.均值不等式2221 .(1)若a,bR,则a2b22ab(2)若a,bR,则aba-(当且仅当ab时取“二”)22 .(1)若a,bR*,则土上标(2)若a,bR*,则ab2Jab(当且仅当ab时取“=”)22(3)若a,bR*,则abab(当且仅当ab时取“=”)21时取“=”)113 .若x0,则x2(当且仅当x1时取=);若x0,则x2(当且仅当xxx若x0,则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=")xxx2(当且仅当ab时取"二”)-2 (当且仅当a b时取“=”)若ab0,则ab2即ab2或abbababa.2.24 .若a,bR,则

2、(_a_b)2a_b_(当且仅当ab时取"=”)22注：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值例1:求下列函数的值域11(1) y=3x2+双y=x+x=乖，值域为加5 + )x x =2；解：y=3x2+2x>2V3x2点(2)当x>0时，y=x+11>2j当x<0时，y=x+-=_(_x_)w_2、/x,一=_2xx

3、；x，值域为(一8,2U2,+8)解题技巧：技巧一：凑项一一，5例1:已知x,求函数v4x2的取大值。4y4x5解：因4x50,所以首先要“调整”符号，又(4x2)1不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项,Mx5115,._11x,54x0，y4x254x3231144x554x一,1_,.当且仅当54x一，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当Usxc4时，求yx(82x)的最大值。解析：由口u/44知，*-2m>口，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其

4、和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当8-2其，即x=2时取等号当x=2时，yx(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。3变式：设0x万，求函数y4x(32x)的最大值。解：: 032x32xx232x0y4x(32x)22x(32x)23 3当且仅当2x32x,即x0,-时等号成立。4 2技巧三：分离2,x27x10例3.求y2"_0(x1)的值域。x1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。当工,即工4口时，y2

5、J(x1)-59(当且仅当x=1时取“=”号)。,x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x+1,化简原式在分离求最值。当工nT,即t=|x+ln0时，y2，t459(当t=2即x=1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为ymg(x)B(A0,B0),g(x)恒正或恒负的形式,g(x)例:求函数yx2 5x 5的值域。x2然后运用均值不等式来求最值。f(x) x旦的单调性。x技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数解：令&_4t(t2),则vx25

6、Jx24-J=zt1(t2)y.x24.x24tE11.一.因t0,t-1,但t-解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt一、，1一5因为yt-在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。t2所以，所求函数的值域为52,练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.x2 3x 1(1) y (x 0) y 2x1 ,x 3 (3) y 2sin x x 3sin x,x (0,)2.已知0x1,求函数yJx(1x)的最大值.；3.0x2,求函数y,x(23x)的最大值.条件求最值1.若实数满足ab2,则3a3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而

7、且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a3b>2j3a3b23万6ab_ab一_ab当33时等号成立，由ab2及33得ab1即当ab1时，33的最小值是6.变式：若log 4 x11心log4y2,求一的取小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知x0,y0,且一一1,求xy的最小值。xy漏2历12故x 丫 min 12。错解：x0,y0,且121,xy错因：解法中两次连用均值不等式，在x y 2/xy等号成立条件是xy,在£ 2巴等号成立x y xy19条件是-即

8、y9x，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，歹咄xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。y 9x-10 6 10 16x y-F31919正斛：1*0,y0_1,xyxyxyxyy9x19.一当且仅当上时，上式等号成立，又一一1,可得x4,y12时，xy16。xyxym变式：(1)若x,yR且2xy1,求1。的最小值xy(2)已知a,b,x,yR且ab1,求xy的最小值xy技巧七、已知x,y为正实数，且x2+y2=1,求x-1+y2的最大值.八，一一一，“八,一一e,a2+b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故米用公式abw2。同时

9、还应化简1+y2中y2前面的系数为2,xj1_|_y2=x2,2-=J2x,'"J"2+'下面将x,、/1+，分别看成两个因式：1 y2 x2+ x , 2 +2 W工)2X2+1十2)x2十23=即 x< 1 + y2 =2 x、/2 +2 w技巧八：已知 a, b为正实数，2b+ab+a=30,求函数分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的途径进行。1，一，y=Tu的取小值.ab一是通过消元，转化为一元函数问题二是直接用基本 不

10、等式，对本题来说，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式,再用单调因已知条件302b法一：a= =丁，b+1302bab= , , . b =b+ 1-2 b2+30bb+ 124由a>0得，0vbv15法二:点评:令 t= b+1,ab< 18由已知得：令 u= ab1vtv16, ab =2t 2+ 34t311 y> W30-ab=a + 2b/. .ab- <32 ,本题考查不等式16162(t+1)+ 34 .- t + jT >当且仅当t=4,即b=3, a= 6时，等号成立。a + 2b>2/2abU2+2* u-30<0, 5也 WuW

11、3中1、ab< 18, y>T1830- abn 2M2 ab16t =8a b ab (a,b2R)的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式aba2b30(a,bR)出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等ab式vab(a,bR),这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.2变式：1.已知a>0,b>0,ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数W=V3x+a的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，号wa

12、詈，本题很简单保+V2y血'(V3)2+(两)2=啦hx+2y=2泗解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W>0,W2=3x+2y+2必炳=10+2而V2y<10+(3x)2-(2y)2=10+(3x+2y)=20WW遮=2近变式：求函数yV2T7后其(1x5)的最大值。2 2解析：注意到2x1与52x的和为定值。又y0,所以0y2723当且仅当2x1=52x,即x-时取等号。故ymax2&。max评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式

13、求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1,已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca1)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证：(1a)(1b)(1c)>8abc111例6：已知a、b、cR,且abc1。求证：一1一1一18abc分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又11L2b_c2_bc,可由此变形入手。aaaa解：a、b、c R , a b c 1。1 d 1 a b c 2 . bc1 a a a a-1同理一1 b2、. ac12, ab， 1 b c c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111滔abca2.ab8。当且仅当1,一一时取等号。3应用三：均值不等式与恒成立问题一一19例：已知x0,y0且1-xy1,求使不等式xy