【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐1.3.7正弦定理与余弦定理文

1、1 【师说系列】2014 届高考数学一轮练之乐 137 正弦定理与余弦定 一、选择题 1. 在 ABC 中，若 2cosBsinA = sinC，则 ABC 定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得 a2 + c2 - b2 a c 2， 2ac 2R= 2R 整理得 a2= b2a = b， ABC 一定是等腰三角形. 方法二：T sinC = sin n (A + B) = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB , 由已知得 sinAcosB cosAsinB = 0, 即 s

2、in(A B) = 0，又 A B ( n , n ), A B= 0,即 A= B. ABC 为等腰三角形. 答案：B 2. 满足 A= 45, c= .6, a= 2 的厶 ABC 的个数记为 m 则 am 的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D.不确定 / c a, C A= 45,. C= 60 或 120 , 满足条件的三角形有 2 个，即 m= 2. am= 4. 答案：A ,亠 a b c 3. 在 ABC 中，若 cosA=cosB= cosC,贝仏 ABC是（） A.等腰三角形 B 等边三角形 C.顶角为 120 的等腰三角形 D .以上均不正确 又 0v Av n

3、, 0 V Bv n , 0 V Cv n，故 A= B= C, 所以 ABC 为等边三角形，故答案为 B. 答案：B A5 B. 8 C. 3 D. 解析：由余弦定理得 BC2= AB2+ AC2- 2AB- AC- cosA，即 72= 52 + AC2- 10AC- cos120, 解析：由正弦定理 a sinA c si nC ，得 csi nA sinC = ,6X -2 2 解析：由已知条件及正弦定理，得 tanA = tanB = tanC, 4.在 ABC 中，A= 120, AB= 5, BC= 7,贝 U si nB si nC 的值为（ 2 AC= 3.由正弦定理得器 C

4、 = AC= 答案：D3 1 5.已知 ABC 的三边长分别为 a, b, c,且面积 SA ABO- (b2 + c2 a2)，贝 U A 等于( ) 4 A. 45 B . 30 C . 120 D . 15 1 1 解析：由 SA ABC= 4(b2 + c2 a2) = qbcsinA 答案：A 20，面积是 10 3, A= 60,则 BC 边的长是( 8 1 1 解析：依题意及面积公式 S= bcsinA，得 10 3 = qbcsin60 ，得 bc = 40.又周长为 20,故 a+ b + c= 20, b+ c = 20 a，由余弦定理得： a2= b2 + c2 2bcc

5、osA = b2 + c2 2bccos 60 =b2 + c2 bc = (b + c)2 3bc,故 a2 = (20 a)2 120,解得 a = 7.故答案为 C. 答案：C 二、填空题 7.在 ABC 中，a2 c2 + b2 = ab，则角 C= _ . 又 0 v Cv 180,. C= 60. 答案：60 &在 ABC 中，BC= 2, B=n，若 ABC 的面积为半，贝 U tanC 为 _ 3 2 解析：由 ABC= 1 BC- BAsinB= f 得 BA= 1 ,由余弦定理得 AC2= AB2+ BC2- 2ABX BCcosB AC= ,3,仏 ABC 为直角

6、三角形，其中 A 为直角， AB tanC=AC= 3 . 答案：-33 3 1 9. 在 ABC 中,角A B C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S=Qa2 + b2 c2), 则 C= _ . 1 1 1 解析：由 S= 4(a2 + b2 c2)得abs inC = 4 - 2abcosC. n tanC = 1. C= . 4 三、解答题 10. 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,并且 a2= b(b + c). (1)求证：A= 2B; 若 a = 3b,判断 ABC 的形状. 解析：(1)证明：因为 a2 = b(b + c)，即 a

7、2 = b2 + bc,sinA = b2 + c2 a2 2bc cosA，二 A= 45 6.若 ABC 的周长等于 A. 5 B . 6 C . 7 D . 解析: a2 c2 + b2= ab, cosC= a2+ b2 c2 2ab ab 2ab 4 所以在 ABC 中，由余弦定理可得， a2 + c2 b2 c2 + bc b + c a2 a si nA cosB = = = =- = 2ac 2ac 2a 2ab 2b 2sinB 所以 si nA = si n2B，故 A= 2B. (2)因为 a= 3b,所以 b= 3, 由 a2= b(b + c)可得 c= 2b, 3b

8、2 + 4b2 b2 = 3 4 3b2 = 2 所以 B= 30, A= 2B= 60, C= 90. 所以 ABC 为直角三角形. 11. 在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c, tanC = 3 7. (1)求 cosC; f f 5 (2)若 CB CA= 2 且 a+ b= 9，求 c. 解析：(1) tanC = 3 7,.黑 C = 3 7, 1 又 T sin2C + cos2C = 1 解得 cosC= ：. 8 又 a+ b = 9 , a2 + 2ab + b2 = 81. / a2 + b2= 41. c2 = a2 + b2 2abcosC=

9、36. - c = 6. C 12.在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,已知 sinC + cosC= 1 s“2. (1) 求 sinC 的值； (2) 若 a2 + b2= 4(a + b) 8，求边 c 的值. , C sin 22cos2+1 =2sin22. C C 1 si ng cos=亍 两边平方，得 1 sinC =右二 sinC = 4. 由 a2 + b2= 4(a + b) 8 得(a 2)2 + (b 2)2 = 0,则 a = 2, b= 2. 由余弦定理得 c2 = a2 + b2 2bccosC = 8 + 2 7, cosB = a2 + c2 b2 / tanC 0,. C 是锐角. 1 cosC=- 8 2)2) 5 5 - - 2 2 TCA 5 abcosC