高中数学三角形中的边角关系的题型总结—正余弦定理的应用

1、高中数学三角形中的边角关系正余弦定理的应用一、知识要点1、 三角形内角和定理：A+B+C= ， = -(+)三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin=cos(+)， cos=sin(+)， tan=cot(+) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B)3、 三角形面积公式 absinC=bcsinA=casinB=其

2、中p=（a+b+c）如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。4、 正弦定理=2RsinA sinB sinC a= b c sinA=，sinB=，sinC= a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC 适用类型：AASS，SSA A (2,1,0解) 务必注意有两解！4、三角形射影定理：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA,5、余弦定理 适用类型：SSSA，SASS，AASS(2,1,0解) 务必注意有两解！注：常选用余弦定理鉴定三角形的形状.5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c为三角形的最大边 <+ ABC是锐角三

3、角形=+ ABC是直角三角形>+ ABC是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tantan+tantan+tantan=1、若三角形三内角成等差数列，则B= 三边成等差数列，则0<d<a (a为最小边) 三边成等差数列，则B， 若ABC三边成等差数列C=，则abc=345 若ABC， C=三边成等比数列，则最小内角A= 7、 若sinA=sinB A=B，若cosA=cosBA=B，若tanA=tanB A=B 8、 若sin2A=sin2B，则A=B或A+B= cos2A=cos2B

4、，则A=B9、ABC中A>B sinA>sinB ，A>BcosA<cosB 10、（1）在锐角ABC中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦；即 sinA >cosB， 但sinA > cosA 不一定成立，sinA +sinB +sinC > cosA +cosB+cosC（2）反之，若任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，则ABC是锐角三角形；（3）若某一个角的正弦大于另一个角的余弦，不一定是锐角三角形；（4）若某一个角的余弦大于另一个角的正弦，cosA>sinB，则ABC是钝角三角形。11、在锐角三角形中，任意一个角的正切大于另一个角的余切，

5、tanA>cotB， tanA·tanB>1，tanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC12、 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在中，AB是成立的_条件（答：充要）；（3）在中， ，则_（答：）；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则_（答：）；（5）在中，若其面积，则=_（答：）；（6）在中，这个三角形的面积为

6、，则外接圆的直径是_（答：）；（7）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为（答：）；（8）在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（答：）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答：）二、典型题型分类解析题型1：正、余弦定理例1.（2009岳阳一中第四次月考）.已知中，则（ ） A B C D 或答案 C例2（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，（2）根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时， ，点评：应用

7、正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例3（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。例4（2009全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多

8、的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练例5.在ABC中,已知a =,b=,B=45°,求A、C及c.分析：这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定ABC是否有解，有几

9、解，亦可用余弦定理求解.解： B=45°<90°,且b<a,ABC有两解:由正弦定得:sinA=,A=60°或120°.当A=60°时,C=75°C=.当A=120°时,C=15°C=.故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.小结：因sinA=sin(-A),故在解三角形中要考虑多种情况，灵活使用正、余弦定理,关键是将“条件”对号.练习1. 在ABC中，BC=a,CA=b,AB=c,则 成立的充要条件是( ) A. a+b=2c B. b+

10、c=2b C. c+a=2b D. ca=b2解：1-cos A+1-cos B+1-cos C=1+cos Bcos A+2cos B+2cos C=2 因为 b¹a-c可得：2b=a+c题型2：三角形面积例6在中，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 , +得。 得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例7（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求

11、的面积； （II）若，求的值解 （1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦定理得，题型三-求取值范围，求最值例8（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 答案  2 解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，例9在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (1) 求角A;(2) 若 ,求角C的取值范围.解：(1) 因为而ABC为斜三角形,所以cos B0,所以sin 2A=1.因为A(0,),所以2A=,A=.(2) 由(1)知B+C=, 所以即tan C>1.因为0<C<,所以<C<.例10.在ABC中，角A,B

12、,C所对的边分别为a,b,c,且cosA=.(1)求的值;(2)若,求bc的最大值.分析：(1) 条件是明确的，但一时用不上，怎么办？，让目标式向条件式转化，也就是将转化成cosA的代数式然后求值；(2)由条件及()的结论，立即想到可用余弦定理破题.解：（1）ABC中，sin=cos.sin2+cos2A=cos2+cos2A=+2cos2A1=2cos2A+cosA=2×.(2)由余弦定理：=cosA=.,当且仅当b=c,即ABC为等腰三角形时，(bc)max=.小结：本题亦可用正弦定理解出。但解法不及用余弦定理简单：cosA=由正弦定理：,=cos(B+C)cos(BC)=cos

13、A+cos(BC)(+1)=.当且仅当B=C,即ABC为等腰三角形时，(bc)max=.题型4：三角形中求值问题例11的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例12（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解（）

14、又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力例13.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 题型5：三角形中的三角恒等变换问题例14在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可

15、求的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60°。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60°，=sin60°=。解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60°，bcsinA=b2sinB。=sinA=。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例15在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又ABC180°，所以AC120

16、°，从而60°，故tan.由两角和的正切公式，得。所以。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型6：正、余弦定理判断三角形形状例16在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例17在， 分别是角A，B，C所对的边

17、，且，向量和满足。（1）求的值；（2）求证：为等边三角形。分析按平面向量数量积的定义,把向量关系式转化成三角形中的边角关系,继而用三角函数知识求解.解答(1) 由m·n=,得cos(A-C)+cos B=,又B=-(A+C),得cos(A-C)-cos(A+C)= ,即cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-sin Asin C)= ,所以sin Asin C=.(2) 由b2=ac及正弦定理得sin2 B=sin Asin C,故sin2 B=.于是cos2 B=1-=,所以cos B=或-. 因为cos B=-cos(A-C)>0,所以cos B

18、=,故B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=a2+c2-ac,又b2=ac,所以ac=a2+c2-ac,得a=c.因为B=,所以ABC为等边三角形.北2010ABC题型7：正余弦定理的实际应用例18（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）解:在ABC中，DAC=30°, ADC=60&

19、#176;DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60°，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。例19（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N

20、间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解：方案一：需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . 第一步：计算AM . 由正弦定理；第二步：计算AN . 由正弦定理；第三步：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）. 第一步：计算BM . 由正弦定理；第

21、二步：计算BN . 由正弦定理；第三步：计算MN . 由余弦定理例20.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？三【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理

22、先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角形内切圆的半径：，特别地，；3三角学中的射影定理：在ABC 中，4两内角与其正弦值：在ABC 中，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。四、课堂检测：1在中，若=1,C=, =则A的值为（ ） 2（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为

23、 . 答案 ：2 解：设由正弦定理得由锐角得，又，故，3. 在ABC中，则的最大值是_ 4在ABC中，若则B的取值范围是_。5.在ABC中，如果不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）6.在ABC中，A为最小角，C为最大角， cos(2AC)，sin B，则cos 2(BC)_。解析：A为最小角，2ACAAC<ABC180°.cos(2AC)，sin(2AC).C为最大角，B为锐角又sin B，故cos B.即sin(AC)，cos(AC).cos(BC)cos Acos(2AC)(AC)，cos 2(BC)2cos2(BC)1.答案：7.已知ABC的周长为6，成等比数列，求（1）ABC的面积S的最大值；（2）的取值范围7. 解：设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac 在ABC中得,故有又从而（），即（） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 五、课