基于BlackScholes模型的欧式期权定价研究

1、. . . . 学号：05008基于Black-Scholes模型的欧式期权定价研究清华大学 高 皓 指导教师：束为（市商务局副局长）摘要：期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。期权定价是金融衍生工具理论研究和实际应用的核心问题。本文介绍了金融衍生品概况，利用随机过程的知识，系统研究了基于Black-Scholes模型的欧式期权定价问题。文章推导出了标的资产的价格过程，进而应用风险中性法详细解析了Black-Scholes模型。关键词：期权定价，伊藤过程，Black-Scholes模型，风险中性。1 金融衍生品概论1.1 金融衍生品与其市场期权是最基本的金融衍生品之一。金融衍

2、生工具（derivative instruments）又称金融衍生品（derivatives）或金融证券（derivative securities），是一种金融工具，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产（underlying asset）的价格。这就是说金融衍生品的价值是由其标的资产价值衍生（derived）而得到的。其中，用来作为标的资产的可以是债券、股票、货币等基础金融工具，也可以是其它实物资产，或者是金融衍生品本身。从金融工程学角度看，远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生品。市场上还存在的的其它衍生品，如掉期（swaps）、按揭抵押债券（mortgage-b

3、acked securities）、结构化债券（structured securities）等都可以看作上述三种基本衍生工具与债券、股票的基础金融工具不同组合的产物。金融衍生品市场是一个非常巨大的市场，表1和表2分别列出了5年前交易所外交易的金融衍生产品市值。目前全球每年的交易额超过100万亿美元，而全世界所有国家的当年GDP总和也不过30万亿美元。这个市场发展极其迅猛，也对全世界的经济走势产生了极其深远的影响。从原理上来讲，金融衍生品市场首先是规避风险的工具，通过交易使得风险从风险厌恶者手中转移到风险喜好者手中。但在实践中取得的效果往往适得其反，越是设计的复杂的产品，其破坏力往往就越大。19

4、94年墨西哥金融危机，1997年亚洲金融风暴都与金融衍生品市场息息相关。金融衍生品市场非常精妙复杂，充满了不确定性，每天都在发生着惊心动魄的财富故事，是对人类智力的挑战。目前在中国还未允许期权交易和金融期货交易，但是，中国的金融安全、中国的发展，需要一大批金融衍生品方面的顶尖专家。前一段时间发生的“国储铜”事件，让我们感到学习掌握金融衍生品交易的尖端技术迫在眉睫。表1 交易所交易的金融衍生产品市值（单位:10亿美元）期末名义余额名义交易额时间1997年12月1998年12月1999年6月1997年1998年1999年总计12,202.213,549.215,097.8356,752.8387,

5、699.292,818.0数据来源：国际清算银行1999年发布的国际银行业与金融市场发展季度报告表2 场外市场交易的金融衍生产品期末未结清余额（单位:10亿美元）工具1998年6月1998年12月名义本金额市场总价值名义本金额市场总价值总计72,1432,58080,3003,230数据来源：国际清算银行1999年关于衍生品OTC市场的统计报告1.2 期权的基本概念期权 (option)：是一种选择权，持有者有在约定时间以约定价格向其权提供者购买或售出某种资产的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。做多方（long position）：买方。做空方（short position）：卖方。标的资产

6、（underlying asset）：期权合同做多方行使权力时买入或卖出的资产。可供选择的表弟资产有股票、债券、货币、利率等金融资产，也可以是黄金和其他一些商品。敲定价格（strike price）：期权合同所规定的标的资产的买入或卖出价格。敲定价格在签订期权合同时就已经固定，不再随标的资产的市场价格变化而变化。看涨期权(call option)：是指期权的买方享有在规定的有效期限按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须买进的义务。看跌期权(put option)：是指期权的买方享有在规定的有效期限按某一具体的敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权

7、利，但不同时负有必须卖出的义务。到期日（expiration date）：期权合同所规定的有效期限或合同做多方行使权力的时间。根据做多方在期权有效期行使权力自由度的不同，期权有可以分为美式期权（American-style option），即做多方可以在到期日前任何一天行使权力；欧式期权（European-style option），即做多方只能在到期日行使权力，本文中仅研究欧式期权。可行市场：研究金融市场有一个基本的假定，就是无套利原则，也称套利原则，这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会（套利的粗略含义是，在开始时无资本，经过资本的市场运作后，变成有非负的（随机）资金，而且有正资金的概

8、率为正）。因为在出现套利机会时，大量的投机者就会涌向市场进行套利，于是经过一个相对短的时期的“混乱”后，市场就会重返“正常”，即回复到无套利状态。在金融衍生证券的定价理论中，并不讨论这段短混乱时期，因此，在研究中普遍地设置无套利假定，这样的市场也称为可行市场。套期：粗略地说，以持有某些有价证券组合来抵消某种金融衍生证券所带来的风险，称为套期，这种套期事实上是完全套期。如果只抵消了部分风险，则称为部分套期。1.3 期权交易过程以某种证券为标的变量的欧式看涨期权，是指在t0时甲方（一般为证券公司）与乙方的一个合约，按此合约规定乙方有一个权利，能在时刻T以价格X（敲定价格）从甲方买进一批这种证券，如

9、果时间T时的市场价格低于X，乙方可以不买，而只要时间T时的市场价格高于X，乙方就得利。综合起来，乙方在时刻T净得随机收益为。因为乙方只能在最终时刻T做出选择，所以这种期权是欧式期权。此外，乙方希望尽量大，以便有更多的获利。也就是有选择权的乙方盼望股票上涨，这就是看涨期权，或者买权。由于这个合约能给乙方带来的随机收益，就需要乙方在t0时刻用钱从甲方购买。这个合约在t0时刻的价格，称为它的贴水或保证金(premium)。问题关键是如何确定这个合约在时刻的价格。这正是本文研究的问题。 1.4 Black-Scholes期权定价模型的简述价格从来都是市场经济的核心容，价格是使市场上的交易双方达成交易的

10、最重要的因素，价格反映了市场上的供求关系。资产定价（asset valuation）是现代财务学的一个基本问题。1973年，芝加哥大学教授Black和MIT 教授Scholes在美国“政治经济学报”（Journal of Political Economy）上发表了一篇题为“期权定价和公司负债”（The pricing of Options and Corporate Liabilities）的论文；同年，哈佛大学教授Merton在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权的理性定价理论”（Theory of rational option pricing），奠定了期权定价的理论性基础，

11、为财务金融学开创了一个崭新的领域，也拉开了100万亿美元庞大市场的序幕。Scholes和Merton由于在期权定价方面的开拓性贡献，被授予1997年诺贝尔经济学奖（Black教授1995年逝世未能享此殊誉，但英名也永载史册）。现在，期权理论与应用研究已经成为财务金融学领域最为活跃的分支，本文的研究就是以著名的Black-Scholes 模型展开的。1.4.1概念与基本假定Black-Scholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为五个：标的资产市场价格、执行价格、无风险利率r、标的资产价格波动率和距离到期时间。除此之外，对于股票期权来说，影响其价值的参数还包括股利支付D。在具体分析上述参

12、数对期权价值的影响之前，我们先讨论一下期权价值的构成问题。期权的价值等于在价值和时间价值之和。其中，期权的在价值(intrinsic value)是指期权盈价的金额，即期权的做多方从执行期权合同中得到的现金收入额。买权的在价值表明，由于期权损益结构的不对称性，其在价值不会为负，至少等于0。内在价值时间价值期权价值0图1 欧式看涨期权的价格（） 对于一个欧式买权、且现在时刻t离到期日T尚有一段时间T-t，则不能简单地用现行市场价格，减去执行价格X作为其在价值，因为它们是发生在两个不同时刻的价值量，考虑到货币的时间价值，简单的算术加减是没有意义的，而应当将未来T时刻的价值量X按无风险利率r贴现到当

13、前时刻。因此，欧式买权在价值的计算公式应当调整为1.4.2 Black-Scholes期权定价的基本思路 期权定价的主要研究工具是随机过程的分支随机微分方程和鞅。随机微积分起源于马尔可夫过程结构的研究。日本数学家伊藤清在探讨马尔可夫过程的部结构时，认为布朗运动(又称维纳过程)是最基本的扩散过程，能够用它来构造出一般的扩散运动。Black-Scholes考察一类特殊的扩散过程 ：，这里表示股票价格，股票预期收益率与波动率均为常数，t代表时间，为标准布朗运动。在无交易成本、不分股利的假设下，得出欧式看涨期权价格应满足如下微分方程 (r为无风险利率 ) ：Black在1989年曾在一篇文章中介绍了得

14、到Black-Scholes模型的全部经过。他指出，期权定价的核心在于设计一个套期组合策略，使得期权市场投资风险为零，这是对期权定价建模思路的高度概括。我们下面将详细讨论。利用偏微分方程的理论求出的方程解析解 ，即著名的Black-Scholes期权定价公式。下面列出了欧式买权解的表达式。其中，2标的资产价格变动的概率分布模型从概率论的角度讲，标的资产价格的变化是一个随机过程。因此，了解和掌握这个随机过程的基本特征，是期权定价理论首先要回答的基本问题。例如，股票价格变动服从几何布朗运动或对数正态分布，是Black和Scholes在推导B-S期权定价模型时用到的最基本的假设。本节介绍与之相关的基

15、本概念，布朗运动、几何布朗运动、伊藤过程和伊藤定理等。在此基础上，以股票为例，讨论标的资产价格的概率模型。2.1 布朗运动与一般化维纳过程股票价格的变化行为常用著名的布朗运动来刻画。布朗运动是马尔柯夫过程的一种特殊形式。布朗运动最早起源于物理学，物理学中把某个粒子的运动是受到大量小分子碰撞的结果成为布朗运动。股票价格的变化也是受着很多种因素的影响，所以形象的说，股票价格运动的轨迹类似于布朗运动。关于这一点假设，文章中还会有比较详细的说明。定义 布朗运动（维纳过程）随机过程称为布朗运动（维纳过程），如果它满足：（1）过程具有独立增量；（2）正态增量，即；（3）是一个连续函数。从下图中布朗运动的轨

16、迹看，确实没有什么规律可言。图2 布朗运动的轨迹定义 一般维纳过程设为布朗运动，则称 为一般化的维纳过程（布朗运动）。称为瞬时期望漂移率（instantaneous expected draft rate ），为瞬时标准差，它们都是给定的参数，是连续的维纳过程。一般化维纳过程是最常用来刻画基础金融变量，特别是描述股票价格的变化的一种随机过程形式。影响股票价格变化的因素主要有以下两点：股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短；后者至取决于布朗运动造成的随机波动。所以，股票价格的变化可以看成是两个方向上的力共同决定的。具体地说，如果我们不计算 在，则

17、 ，即，这说明股票价格具有线性增长的性质。如果我们考虑，这种波动分为两个部分，（1），即所谓白噪声（white noise），（2）它被放大了倍，则有，这说明股票价格S 在线性增长的同时，还有随机波动的倾向，两部分的叠加就获得了如图的一般维纳过程。图3 一般维纳过程最上边那条随机波动的蓝色曲线代表股票价格，斜向上的红色直线代表不计随机波动影响的股票价格，下面那条随机波动的绿色曲线代表没有线性增长趋势的股票价格的变动。真实的股票价格是由线性增长和随机波动两种因素共同影响而成。2.2 几何布朗运动早在1900年巴舍利耶（Bachelier）就曾经假定股票价格运动服从维纳过程，但这引起了一个矛盾，即

18、股票价格也有可能为负数，这与现代公司有限负债前提相矛盾。而直接假设股票价格遵循一般维纳过程也忽略了一个事实，即投资者往往要求股票的期望收益率是一个常数，而不管股票价格的绝对水平是多少。因此，现在通用的描述股价的适当形式应为：或写成 定义 几何布朗运动如果随机过程是布朗运动，则称随机过程为几何布朗运动（geometric Brown motion），如果 。下面将证明，股票价格服从几何布朗运动。对于一般的金融资产，瞬时预期回报率和回报率标准差可能不是常数，而是金融资产价格和时间的某个函数，即和，因此该金融资产价格变化规律由下式表示显然此式是更一般形式。由下可知，这时的是一个伊藤过程。23 伊藤过

19、程和伊藤公式定义 伊藤过程如果过程可以表示为 ，其中是二元连续函数，为布朗运动，则称为伊藤随机过程（简称伊藤过程）。伊藤定理设是由给出的伊藤过程， 是二次可微连续函数，具有连续偏导数则 满足如下的伊藤微分方程2.4 股票价格变化的概率分布有了伊藤定理这个有力工具，我们就可以分析股票价格的概率分布性质了。若记，则对于有 这样，由伊藤定理，有亦即，对上式两边在上积分即可得到是布朗运动，因为，所以，而。布朗运动的每一连续瞬间都是独立同分布的随机变量，所以有因此， 或 这是一个非常重要的结论，它给出了在给定当前股价的条件下，未来t时刻股票价格服从的概率分布，即它是一个对数正态随机变量。由于这个结果是在

20、几何布朗运动基础上推导出来的，说明这是一个问题的两个不同表示形式。因此，在研究股票价格变动规律时，几何布朗运动和对数正态分布往往成为一个同义语，尽管在数学上它们本来是两个不同的概念。在下文中，我们不再加以区分。期望值概率密度图4 股票价格的概率密度分布：对数正态分布3Black-Scholes 模型建立与求解3.1 Black-Scholes期权定价模型概述3.1.1基本假设Black和Scholes在推导Black-Scholes模型时做了以下7条基本假设：（1） 无风险利率r已知，且为常数，不随时间变化；（2） 有两种长期存在的证券，一种是股票（标的资产），其价格的变化为一几何布朗运动，即

21、或者说，服从对数正态分布，另一种是无风险证券，它的价格过程为。（3） 在衍生证券的有效期，标的股票没有红利支付；（4） 期权为欧式期权；（5） 对于股票市场、期权市场和资金借贷市场来说，不存在交易费用，且没有印花税；（6） 投资者可以自由借入和贷出资金，借入利率和贷出利率相等，均为无风险利率。而且所有证券都是高度可分的，即投资者可以购买任意数量的标的股票；（7） 对卖空没有任何限制（如不设保证金），允许使用全部所得卖空衍生证券。3.1.2符号在上述假设下，记：标的资产（股票）的市场价格；X：买权合同的执行价格；r：按连续复利计算的无风险利率；：标的资产价格波动率；T：到期日；t：当前定价日；：

22、距离到期时间。3.1.3 结论（1） 在定价日，欧式买权的价值为其中，是标准正态变量的累积分布函数，即（2） 由买权-卖权平价公式：，又由，欧式卖权在定价日的价值3.2 Black-Scholes期权定价建模推导方法我们按照Black和Scholes在1973年那篇奠定诺贝尔经济学奖的经典论文的思路来推导Black-Scholes 微分方程。假设是期权（或者其他衍生证券）的当前价格，显然，一定是标的股票当前市场价格和当前定价日t的某种函数。注意到Black-Scholes模型的基本假设，股票价格遵循随机过程：因此，由伊藤定理，期权价值是标的股票价格的函数，应有：Black-Scholes期权定

23、价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析的技术。基本思路是套期保值，即交易者为减少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略。在上述假设下，采用一种动态交易策略，复制欧式买权到期末的现金流。这一复制技术是在期初时购买一个有标的股票和一种无风险证券构成的证券组合，然后不断地动态调整其头寸使之保持住无套利均衡关系，一直到到期日。这样，现在时刻欧式期权的价值就一定等于复制组合在时刻的价值。这一动态过程有以下三个特点：（1） 与复制一份欧式买权相对应，股票的头寸始终小于1股。（2） 所对应的股票头寸大小成为套头比或期权的delta()，定义为（3） 套头比不停地发生变化，所以为了复制1份期权，需要

24、随时调整复制组合中股票的头寸，但这种调整是无成本的（自融资的）。具体地说，这一动态复制过程就是用期权、标的股票和一种无风险证券来构筑一个无套利均衡的组合头寸。用份标的股票（股票价格为）的多头和无风险证券的空头来复制一份期权（价格为）。亦即构造如下的套期组合：在当前t时刻，以买入标的股票股，同时以卖空1份期权。无风险证券的空头价值记为。为使复制在全过程中成立，必须始终保证以下关系：移项整理有，经过一段微小时间，两边的价值变为而伊藤过程刻画了，伊藤定理刻画了，于是，将前面的关系带入上式，即可得到这是一个有趣的结果，在上面的表达式右边，随机项不再出现。这意味着1份期权的空头和份股票的多头能实现风险的

25、完全对冲，而的大小是动态地调整的。所以右边这二者的组合和与之等价的无风险证券是完全等价的。（对于期权和股票的证券组合来说，其瞬时收益率一定同其他短期无风险证券的收益率一样。如果该证券组合的收益率大些，套利者就会卖出无风险证券然后购入证券组合获取无风险收益；如果该证券组合的收益率小些，套利者就会通过卖出该证券组合购买无风险证券来获得无风险收益。）即两者组合的收益率应当等于无风险收益率r，因此即有令并在上述关系式中展开和就得到著名的Black-Scholes 随机微分方程：对于欧式看涨期权，其边界条件为：对于欧式看跌期权，其边界条件为：3.3 Black-Scholes模型的风险中性定价解法风险中

26、性定价解法方法利用了风险中性假设，解法中具有比较深刻的金融学含义，被现在的金融学研究者广泛采用。3.3.1风险中性假设首先简要介绍在金融学中极为重要的风险中性假设。现实世界中的人往往分为风险厌恶型、风险中性型、风险喜好型。18世纪著名数学家Daniel Bernoulli在研究赌博问题时发现，人们往往对赌博可能输掉的钱看得比可能赢到的钱重。例如，在一个掷硬币的赌博中，假设硬币完全对称，正面朝上可以赢得2000元，反面朝上1分钱也收不回，要下多少钱的赌注人们才会来参加？所谓公平的赌博，就是指赌博结果的预期只应当与入局前所持有的资金量相等，我们学过的鞅就描述了公平赌博。因此，花费元入局是一场公平的

27、赌局。但是，对于许多人来说，不愿意花1000元参加这场公平的赌局，他们可能只愿意花300元来入局，实际上，他们是要以700元的预期收益作为承受风险的补偿。这些人是风险厌恶型的，在没有风险补偿时，风险厌恶型的人拒绝公平的赌博。定义 风险中性（risk-neutrality）如果有人愿意无条件地参加公平的赌博，则这样的人被认为是风险中性的。风险中性者对风险采取无所谓的态度：他们对所有资产所要求的预期收益率都是一样的，而不管其风险如何，并不要求风险的补偿。因此，对所有资产所要求的预期收益率也就同无风险资产的收益率一样。这就是说，风险中性的投资者投资于任何资产所要求的收益率就是无风险收益率。在一个假想

28、的风险中性的世界里，所有的市场参与者都是风险中性的，那么，所有的资产不管其风险大小或是否有风险，预期收益率都一样，都等于无风险收益率。而且，所有资产现在的市场均衡价格都应当等于其未来收益的预期值，加上考虑到资金的时间价值，就都是未来预期值用无风险利率折现后的现值。风险中性假设是和无套利均衡分析紧密联系在一起的。当无风险套利机会出现时，所有的市场参与者就都会进行套利活动，而不管其对风险的厌恶程度如何。由此出发，可以得到这样一个推理结果：无套利均衡分析的过程和结果与市场参与者的风险偏好无关。风险中性假设如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界里进行分

29、析，所得的结果在真实的世界里也应当成立。利用风险中性假设可以大大简化问题的分析，因为在风险中性的世界里，对所有的资产都要求一样的收益率，而且，所有资产的均衡定价都可以按照风险中性概率算出未来收益的预期值，再以无风险利率折现得到。最后，将所得的结果放回真实的世界，就获得有意义的结果。3.3.2 风险中性定价解法下面应用风险中性假设来分析Black-Scholes 微分方程。在Black-Scholes 微分方程中，通过动态对冲的方法，使风险由于完全的对冲而消除掉，方程中不再含有随机项，除此之外，也不再含有，这一点同样是意味深长的，股票的预期收益率中含有风险补偿，因而会与投资者的风险偏好有关。不含

30、（是连续计算收益率的股票在单位时间收益的自然对数的期望值，即预期单位时间连续计息的复利收益率），说明问题与投资者的风险偏好无关。这样，风险中性假设就可以应用了。由定义，买权在到期日的价格满足，根据风险中性定价原则，只要先求出的期望值，然后再将这一发生在未来时刻的期望值按无风险利率贴现到当前时刻t，就可以得到该买权在定价日t的价值所以，确定的关键问题在于如何计算。设P为的概率，即。则由随机变量期望值的定义因此，最终归结为计算概率P和。下面分别来计算这两个量。（1） 求解由，有和，即因此，。另一方面，我们把求解Black-Scholes 微分方程的期权定价问题先放到一个“风险中性”的假设世界中去。

31、在这个假想的世界里，所有市场参与者都是风险中性的，他们对于有风险资产的收益，都是不需要风险的补偿。在这个假想的世界里，所有资产的预期收益率都相等，即都等于无风险收益率r，即。因此，由模型假设知，服从正态分布，其期望值和方差分别为其中，换元，令则可以化作标准正态分布形式，有因此，若记则上式为这样，我们求出了第一个值，即（2） 求解由于，服从对数正态分布，因此其密度函数其中，于是，作变量替换则有计算积分限，当时，；当时，因此，至此，和均已求出，则该期权价值即为所求，解毕。3.3.3 关于风险中性解法的进一步思考写出Black-Scholes 随机微分方程：可以看出，Black-Scholes 微分

32、方程中包含的参数有以与时间变量，但是，反映投资者风险偏好的瞬时期望收益率却在推导的过程中被消掉了。这一点再次说明了风险中性假设的合理性。一般来说，对于任何给定的金融资产，投资者厌恶风险的程度越高，其期望得到的收益就越大。如果该项资产不能提供足够高的期望收益率的话，投资者要么望而却步，要么不将其出售。这样，资产的价格又会有所下降，反过来又将提高收益率。资产价格与收益率之间的如此调整达到平衡后，所对应的收益率即为瞬时期望收益率。现在，既然Black-Scholes 微分方程不包含反映风险偏好的参数，风险偏好就不会对方程的解产生影响。因此，在衍生工具定价时，可以使用任何一种风险偏好假设，其中最简单的当然是假设投资者是风险中性的。风险中性假设大大简化了衍生工具的定价过程，因为在风险中性世界里，有以下两个重要结论成立：任何可交易的基础金融资产的瞬时期望收益率均为无风险利率，即恒有；任何一种衍生品当前t时刻的价值等于未来T时刻其价值的期望值按无风险利率贴现的现值。4 总结本文介绍了金融衍生品概况，利