2018年高考数学一轮复习专题27数系的扩充与复数的引入教学案文

1、3 复数的运算-1 -专题27数系的扩充与复数的引入1 理解复数的基本概念.2. 理解复数相等的充要条件.3. 了解复数的代数表示形式及其几何意义.4. 会进行复数代数形式的四则运算.5. 了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a+bi(a R,b R)的数叫复数，其中实部为a,虚部为b若b= 0,贝 Ua+bi 为实数；若a= 0 且0,则a+bi 为纯虚数复数相等a+bi =c+di?a=c且b=d- 共轭复数a+bi 与c+di 共轭?a=c且b=-d(a,b,c,d R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，x轴叫实轴，y

2、轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设0Z寸应的复数为z=a+bi，则向量 勺长度叫做复数z=a+bi 的模|z| =|a+bi| =pa2+b22.复数的几何意义复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是对应的，复数集C 与复平面内所有以原点0为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即一対审_复数z=a+bi r复平面内的点Z(a,b)(a, b R).考情解-2 -复数z=a+bi(a,bRr二-平面向量0Z复数的加、减、乘、除运算法则设zi=a+bi ,Z2=c+di(a,b,c,d R)，则1加法：乙 +Z2= (a+bi) +

3、 (c+di)= (a+c)+ (b+d)i ;2减法：zi-Z2= (a+bi) (c+di)= (ac) + (b-d)i ;3乘法：ziZ2= (a+bi) (c+di) = (acbd) + (ad+bc)i ；zia+bi(a+bi)(cdi)Z2c+di(c+di )(cdi )ac+bd+(bcad) i2.2c+d(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Zi,Z2,Z3C,有 乙+Z2=Z2+乙，(Zl+Z2) +Z3=Z1+ (Z2+Z3).(3)复数加、减法的几何意义Zi,Z2对应的向量OiZ,OiZ不共线，则复数Zi+Z2是以OiZ,OiZ若Zi=

4、(mi+i) + (mi+m 4)i(R) ,Z2= 3 2i，则m= i” 是zi=Z2”C.充要条件D.既不充分又不必要条件(c+di 工 0).复数加法的几何意义：若复数为两邻边的平行四边形的对角线OZO寸应的复数.复数减法的几何意义：复数乙一Z2是OZOZ=ZZi所对应的复数.高频考点高频考点一复数的概念例 i、(i)设 i 是虚数单位.若复数ioz=a (a R)是纯虚数，则a的值为(3 iA.已知 a R,复数ZiZi乙=2 +ai ,Z2= i 2i，若一为纯虚数，则复数 一的虚部为(Z2Z2A.i B . i C.A.充分不必要条件B.必要不充分条件-4 -答案(i)D (2)

5、A(3)Aio解析 (i)z=a=a (3 + i) = (a 3) i，由a R,3 i且z=a 为纯虚数知a= 3.3 iai2i 2 2a4 +a一zi一- -=-+ -i 是纯虚数，得a= 1，此时一=i，其虚555Z2部为 1.-2m+ m+1=3,由2解得 m= 2 或m= 1,m+ m- 4= 2,所以m= 1”是乙=乙2”的充分不必要条件.【感悟提升】解决复数概念问题的方法及注意事项(1) 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2) 解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR

6、)的形式，以确定实部和虚部.【变式探究】(1)若复数z= (x2 1) + (x 1)i 为纯虚数，则实数x的值为()A. 1 B . 0 C . 1 D . 1 或 1已知 i 是虚数单位，a,b R,则“a=b= 1”是“(a+bi)2= 2i ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案(1)A(2)A解得Jf-1?故选扎(2)当1时， +肪)2=(l+i二2i；当 9 +呵匚2i时得 解得。=*=1或ab= 1,所以是卞+呵匸2F的充分不必要条件高频考点二 复数的运算例 2、(1) i 为虚数单位，i607的共轭复数为()A. i B

7、 . i C . 1 D . 1复数 i(2 i)等于()丄Zi(2)由Z2=2+ai1 2i解析( (1)由复数Z为纯虚数，得*方一1=0-6 -C. 1+ 2iD. 1 2i答案(1)A(2)A解析 方法一 i607= i4X151+3= i3= i，其共轭复数为 i.故选 A.i608i4X1521方法二 i607=T = i，其共轭复数为 i.故选 A.ii i2(2)i(2 i) = 2i i = 1 + 2i. 2【变式探究】(1)已知i = 1 + i(i 为虚数单位)，则复数z等于()A. 1 + i B . 1 i C . 1 + i D . 1 i(2)(岁NN+，3i=_

8、.1i3 2i答案(1)D(2) 1 + i1 1 i解析C0由- -= l +知尸一 故选D-1+i 2原式二j石+=.0；解得 2a6,实数a的取值范围是(2,6).1.【2016 新课标理】设x(1 + i)=1+yi,其中x,y实数,则x+yi =()(A)1(B) 2(C)3(D)2【答案】B【解析】因为x(1 i)=1+yi,所以x xi=1+yi,x=1,y =x =1，X yi |=|1+i卜,2,故选 B.4i2.【2016 高考新课标 3 理数】若1 2i，贝 U()zz-1(A)1(B) -1(C)(D)-i【答案】C4i4i【解析】J岂i,故选C.zz 1(1+2i)(

9、1 _2i) _13.【2016 高考新课标 2 理数】已知(m 3) (m -1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()(A)(-3,1)(B)(T3)(C)(1,+:)(D)(-(-二二，-3)【答案】Am +30【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得-3：m：1，故选 A.真题感-11 -m -1 c04.【2016 年高考北京理数】设a R，若复数(1i)(a - i)在复平面内对应的点位于实轴上，贝y a =_.【答案】1【解析】(1 i)(a i) =a -1 (a 1)i R= a =1，故填：15.【2016 高考山东理数】若复数z满足 2zZ=3_

10、2i,其中 i 为虚数单位，则z=()(A) 1+2i(B) 12i(C) -12i(D)-1-2i【答案】B【解析】设卫=。+加，贝J2z + z=：3fl +bi = 3 -2i?ijfa =ltb = -2 ,贝z = l-2i选B.a6.【2016 高考天津理数】已知a,b R ,i是虚数单位，若(1 i)(1 -bi)二a，则一的值为b【答案】2(1hb=a(a=2 a【解析】由(1i)(bi) 1 b (b)a，可得，所以，2，故答1-b = 0lb = 1 b案为 2.7.【2016 高考江苏卷】复数 z=(12i)(3 其中 i 为虚数单位，则z的实部是_ _ .【答案】5【解

11、析】z=(1 2i)(3 -i) =5 5i，故z的实部是 51.【2015 高考新课标 2,理 2】若a为实数且(2 ai)(a -2i) - -4i，则a二()A .-1B .0C . D .2【答案】B【解析】由已知得4a (a2-4)i二-4i，所以4a = 0,a24 = -4，解得a = 0，故选B.322.【2015 高考四川，理 2】设 i 是虚数单位，则复数i3-2()i(A)-i(B)-3i(C)i.(D) 3i【答案】C-12 -【解析】.32. 2iii牙=-i2i = i，选 C.ii3.【2015 高考广东，理 2】若复数z = i 3_2i(是虚数单位)，则z二(

12、)A .3_2iB.3 2iC.2 3iD.2 _ 3i【答案】D.【解析】因为z=i3-2i)=2+3i,所以23匚故选D.1 + z4.【2015 高考新课标 1,理 1】设复数 z 满足 =则|z|=()1-Z(A) 1( B)2(C)、3( D) 2【答案】A【解析】由得,z=亠=(八)(1)=,故|z|=1 ,故选 A.1 -z1+i(1+i)(1_i)5.【2015 高考北京，理 1】复数 i 2_i=()A. 1 2iB.1 -2iC. -1 2iD. _12i【答案】A. 2【解析】根据复数乘法运算计算得：i(2-i) =2 i =1+2i,故选A.6.【2015 高考湖北，理

13、 1】为虚数单位，i607的共轭复数 为()A .B.-iC. 1D.-1【答案】A【解析】i607二i4151j3二i,所以 i607的共轭复数为，选 A .7.【2015 高考山东，理 2】若复数z满足一 J =i，其中为虚数为单位，则z=()1 -i(A)1 -i(B)1 i(C)-1 -i(D)-1 i【答案】Az【解析】因为 =i，所以，z=i1-i =1 i，所以，z=1-i故选：A.1i8.【2015 高考安徽，理 1】设 i 是虚数单位，则复数 -2在复平面内所对应的点位于()1 -i-13 -(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限-14 -【答案】B【解折】

14、由题意其对应的点坐标为(71)，位于第二象限故选B.1z (1X1+029. 【2015 高考重庆，理 11】设复数a+bi(a,bw R的模为J3，则(a+bi) (a-bi) =_ .【答案】3【解析】由a+bi =73得Ja2+b2= 73，即a2+b2= 3,所以(a bi)(a -bi)二a2b2=3.10. 【2015 高考天津，理 9】是虚数单位，若复数1 -2i a i是纯虚数，则实数a的值为_ ._【答案】-2【解【解析】1 -2i a K-a21 -2a i是纯虚数，所以a 2 =0,即卩a =-2.11.12015 江苏高考，3】设复数 z 满足z2=3 - 4i( i

15、是虚数单位)，则【答案】.5【解析】| z |=|3，4i| = 5 = |z| =5=|z|= 53(a bi) a -bi =1 i 4a =1 且 2b =1 z =-i42【2015 高考上海，理 15】设乙,z2C,则“乙、Z2中至少有一个数是虚数”是“乙-Z2是虚数”的( )z 的模为12.【2015 高考湖南，理 1】已知丄1 i(为虚数单位)，则复数z=()A.1 iB.1-i C.-1 iD.1i【答D.2(1i)-2i【解由题意z =1 +i=1 i，故选 D.13.【2015理 2】若复数z满足3z- i，其中为虚数单位,【解【解析】设 z =a bi(a,b R)，则-

16、15 -A.充分非必要条件.必要非充分条件-16 -.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若址、习皆是实数，则並-定不是虚数因此当勺-习是虚数时，则並、6 中至少有一个 数是虚数诫 N 即必要性成立；当习中至少有一个数是虚数Z21不一走是虚数，如21=1 =j 7即充分性不成立，选B（2014 浙江卷）已知 i 是虚数单位，a,b R,得“a=b= 1”是“（a+bi）2= 2i ”的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】AA. 1+ 3i B . 1 3iC. 1+ 3i D . 1 3i【答案】D10i10i (3 i )10 (1

17、 + 3i )【解析】z= 1 + 3i，根据共轭复数的定义，其共轭3+ i (3+ i )( 3 i )10复数是 1 3i.（2014 北京卷）复数【答案】1（2014 福建卷）复数z= （3 2i）i 的共轭复数z等于（）A. 2 3i B . 2+ 3iC. 2 3i D . 2+ 3i【答案】CC.充要条件【解析】由a,b R, (a+bi)2=a2b2+ 2abi = 2i,得a=0,所以a=1，或a=1，故2ab= 2,b= 1|b= 1.选 A.（2014 全国卷）设10iZ一 3+ i，贝 U z 的共轭复数为（【解1+ i21T(1 + i )(1 i )( 1 + i )

18、2=号21-17 -【解析】由复数z= （3 2i）i = 2+ 3i，得复数z的共轭复数z= 2 3i.（2014 广东卷）已知复数z满足（3 + 4i）z= 25,则z=（）-18 -A. 3+ 4i B3-4iC. 3 + 4i D . 3 4i【答案】D【解析】本题考查复数的除法运算，利用分母的共轭复数进行求解.因为(3 + 4i)z= 25,(2014 湖北卷)A. 1 B . 1 C . i D . i【答案】A11.i221.2i【答案】B10 . (2014 江西卷)是z的共轭复数，若z+= 2, (z)i = 2(i 为虚数单位)，贝 Uz=( )A. 1 + i B . 1

19、 iC. 1+ i D . 1 i【答案】D【解析】设z=a+bi(a,b R),则-=abi，所以 2a= 2, 2b= 2,得a= 1,b= 1,故z= 1 i.11. (2014 辽宁卷)设复数z满足(z 2i)(2 i) = 5，则z=()A. 2 + 3i B . 2 3i C . 3 + 2i D . 3 2i所以z=253 + 4i25 (3 4i )(3 4i )( 3+ 4i )34i.【解析】2j=迈尹=一1.故选A.（2014 湖南卷）满足= i（i 为虚数单位）的复数z=（）【解析】因为手=ii ( 1 i )，则+i=zi，所以=七=(i 1)( 1 i )=弓.i

20、为虚数单位,-19 -【答案】A-20 -5【解析】由(z 2i)(2 i) = 5,得z 2i = ，故z= 2+ 3i. 2 i(i | i )312.(2014 新课标全国卷I/彳I、2=()(1 i )A. 1 + i B . 1 iC. 1+ i D . 1 i【答案】D【解析】32(1+i)(1+i)(1+i)2i(1+i),:2- 2- - -1 - i13. (2014 新课标全国卷n设复数Z1,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z1= 2 + i ,贝UZ1Z2=()A . 5 B . 5 C . 4+ i D . 4 i【答案】A【解析】由题知Z2 2 + i，所以 乙Z

21、2 (2 + i)( 2 + i) i 4 5.14. (2014 山东卷、已知a,b R, i 是虚数单位，若a i 与 2+bi 互为共轭复数，则(a+bi)2=()A. 5 4i B . 5+ 4i C . 3 4i D . 3+ 4i【答案】D【解析】因为与2+用互为共辄复数所以尸乙所以+好=2 +评=3 + 4i.故选D一【答案】2iA. 1 i B . 1+ i15. (2014 四川卷)复数2 2i1 + i【解2 2i1 + i(1 + i )(1 i )=2i.16. (2014 天津卷)i 是虚数单位，复数7+ i3+ 4i =(171725【答案】A【解7+ i3+ 4i

22、(7+ i )( 3 4i )25 25i=22= 1 i(3+ 4i )( 3 4i )3 + 417. (2013 新课标全国卷I若复数Z满足(3 4A. 4 B . 一 C54 D.CN+37+戸-21 -【答案】D” ,|4 + 3i|55 (3+ 4i )3 4.丄，“口 4【解析】z=3-4i=厂不=25=5 + 5i，故Z的虚部疋 5.18.(2013 安徽卷)设 i 是虚数单位，z 是复数 z 的共轭复数，若 z zi + 2 = 2z,则 z =()A. 1 + i B . 1-iC. 1+ i D . - 1 i【答案】A【解折】设z=a+biafbfR),则z=a-bi,

23、所以z zi+2=2即24-(a:+b2)i=2a4-2biJ根据复数相尊的充要条件得=2a,说+枳=2b,解得a=h b=b故2=l + i219.(2013 北京卷)在复平面内，复数(2 -i)对应的点位于( )A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限【答案】D2 2【解析】(2 - i) = 4-4i + i = 3- 4i，对应的复平面内点的坐标为 (3 , - 4)，所以选 D.20.(2013 福建卷)已知复数 z 的共轭复数 z = 1 + 2i(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限【答案】D

24、【解析】z = 1 - 2i，对应的点为 P(1 , - 2)，故选 D.21.(2013 -广东卷)若复数 iz= 2+ 4i，则在复平面内，z 对应的点的坐标是()A. (2 , 4) B . (2 , - 4)C. (4 , - 2) D . (4 , 2)【答案】C【解析】设复数尸卄码4 bR,则iz=i(a+bi)=-b +ai=2 + 4i?解得匸一乙尸斗一故在真平面內w 对应的点的坐标是(4-2L选 U2i22.(2013 湖北卷)在复平面内，复数 z = (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()-22 -A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限【答案】D2i

25、2i （1 一 i ）【解析】z =_-= i（1 - i） = 1 + i , z = 1 - i , z 对应的点在第四象限，1 + i （1 + i ）（1 - i ）选 D.23.（2013 湖南卷）复数 z =i （1 + i）（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限【答案】B【解析】由题 z = i （1 + i） = i + i2= 1 + i，在复平面上对应的点坐标为（1, 1），即位于第二象限，选 B.24.（2013 江苏卷）设 z= （2 i）-（i 为虚数单位），则复数 z 的模为_.【答案】5【解析】因为 z

26、 = （2 i）2= 4 4i + i2= 3 4i，所以复数 z 的模为 5.25.（2013 -江西卷）已知集合M= 1 , 2, zi , i 为虚数单位，N= 3 , 4 , MA N= 4，则复数 z =（）A. 2i B . 2iC. 4i D . 4i【答案】C【解析】zi = 4 z = 4i，故选 C.126.（2013 辽宁卷）复数 z = 的模为（）i IA.1B. - C. 2 D . 22 2【答案】B11 + i1 + i yJ2【解析】复数 z = 丁，所以|z| =，故选 B.i 122227.（2013 全国卷）（1 + ,3i）3=（）-23 -A. 8 B

27、 . 8C. 8i D . 8i【答案】A【解析】（1 +3i）3=13+3x1（i）+3X1x（3i）2+3i）3=1+3i9亦 i=8.28 （ 2013 -山东卷）复数 z 满足（z 3）（2 i） = 5（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 z 为（ ）A. 2 + i B . 2 i C . 5+ i D . 5 i-i24 -【答案】D解之得二lb=b29. (2013 陕西卷)设 zi, Z2是复数，则下列命题中的假命题是()A. 若 |zi Z2| = 0,贝U乙=Z2B. 若 Zi= Z2，贝U乙=Z2C. 若|Z11 =|Z2|，则 Zizi= Z2z222D. 若 |z

28、i| = |z2|，则 zi= Z2【答案】D【解析】lzi=a+bi；b, c, dgR),若|zi-a|=07则zi-za=(3-c)+(b-d)i=0 a=c, b=b故A正确.若盅二盘，则a=c, b=-d,所以石故E正确.若|刎=曲|，贝U护+b2= Q3+ Pj所 以町=盂型，故 Q 正确.又A( (2? 2abi7z3=(c1 d1)+2cdif由 +bi=c1+i2不能推出AA咸立，故 D 错.30. (20i3 四川卷)如图 i i 所示，在复平面内，点 A 表示复数 Z，则图 i i 中表示 Z 的共轭复数的点是()A*占.*c图 i iA. AB. BC. CD. D【答

29、案】B【解析】复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x 轴对称.3i.(20i3 -天津卷)已知 a,b R, i 是虚数单位，若(a + i)(i + i) = bi，则 a + bi =_【答案】i + 2i【解【解析】(a + i)(i + i) = a i + (a + i)i = bi , 解得 a = i, b= 2.故 a+ bi = i + 2i.32. (20i3 -新课标全国卷 n 设复数 z 满足(i i)z = 2i，贝 U z=()【解析】设畫=呂十血，(a, bKb由题意得Q+bi3)(2=2a+b + 2b皐+旳1=5播2a + b-6=572b-a+3=0?a

30、 i = 0, + i = b,-25 -A. 1+ i B 1 iC. 1 + i D . 1 i【答案】A2i【解析】(1 i)z = 2i，则 z = i(1 + i) = 1 + i.故选 A.1 i33.(2013 -浙江卷已知 i 是虚数单位，则(1+ i)(2 i)=()A. 3+ i B . 1 + 3iC. 3+ 3i D . 1 + i【答案】B【解析】（1 + i）（2 i） = 2+ i + 2i + 1 = 1 + 3i，故选择 B.5i34.（2013 重庆卷）已知复数z=+2p（i 是虚数单位），则|z| =_【答案】，5【解析】 因为 z =( 1+，2,)(：

31、 2i)=2 + i，所以 |z| =2 + 12= 5.故选 B.押题专练1.设z-1+i+ i，则|z|等于（A.1B .返 C.-? D .2222答案B解析-z=11+ i+i=1i)i1 i 11厂+i =_+i=2+2i,1z|2若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是（A.EB .FC .GD .H答案 D-26 -3sin0 82 因为 sin0 1,1，所以 4sin20 3sin(nGN)，则集合f(n)中元素的个数为()A. 1 B . 2 C . 3 D .无数个答案 Cf(1) = 0,f(2) = 2,f(3) = 0,f(4) = 2,f(5) = 0,集合中共有 3 个元素.1 +x,x R,则ff(1 i) ix,x?R,答案 3解析 f (1 i) = (1 + i)(1 i) = 2,ff(1 i) =f(2) = 1 + 2 = 3.6.复数(3 + i) m- (2 + i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是答案mr| 解析z= (3m 2) + (m 1)i ,其对应点(3m 2,m 1)在第三象限内，