专题(一)二面角的求法

1、专题（一）二面角的求法命题人：罗军伟 审题人：李世延1. 引言二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一，在历年高考中几乎都要涉及.尤其是在数学新课改的大环境下，要求对二面角求法的掌握变得更加灵活.二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面位置关系的一个汇集点.研究二面角的求法，可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机.在求解二面角的问题中，通常首先要定位出二面角的平面角，而这也是学生在解题中感到最为陌生和棘手的问题.特别是若二面角的楞隐而不露其解题的

2、难度又会增大.本文从二面角的概念定义入手，通过分类求解二面角的题型类别，探寻二面角的解题思路，并对二面角求解方法加以总结归类.1.1 二面角的相关概念OABOABl新教材在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.图1定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.2. 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定

3、位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1 定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二

4、面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.2.1.1 直接法对于图形中已有二面角的平面角，只要加以证明认定，然后可直接计算求解.PBADCE图2例1 如图2，已知PA面ABC，ABBC,PC的垂直平分线DE交AC于D，交PC于E.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.2.1.2 定义法根据二面角平面角的定义，其解题步骤一般既是：定棱，找点，连线，解答。即：在二面角棱上选择恰当的点，过此点作出二面角的平面角，如抓住共底的等腰三角形的性质选择公共棱的中点连接得到二面角；在两个平面为共底且对应全等

5、的三角形，可以选择公共垂足连线得到二面角的平面角等。PBADC图3例2 在如图3所示的三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=,PA=.求二面角P-BC-A的大小. 2.1.3三垂线（逆）定理法根据三垂线定理及其逆定理，如图4所POA示在半平面内找一点P，作PO面于O,并从垂足O作棱的垂线OA交棱于A点，连接PA,则PAO就是二面角的平面角. 图4ADCBM图5例3 在正方体中，为面中心，求二面角的大小.2.1.4 垂面法如果空间中有与二面角的棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.上述结论可进一步引申：推论：空间中存在分别与二面角的两个半平面垂直的平

6、面，则该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.PAC图6B例4 如图6，二面角内一点到两个半平面、的距离分别为、.到棱的距离为,求二面角的大小.ACGEB图7例5 如图7,在正三棱柱中,截面侧面,若,求平面与平面所成二面角（锐角）的大小. 2.1.5 平移法由空间中平行直线、平行平面的性质，利用中位线平移，平行四边形平移，AOCBFDE图8定比分点平移等方法将所求二面角由难度较大的平面角定位转化为易知易求的平面角中进行求解.例6（本题关键在利用平移棱的垂线进行解题）在正三棱柱中,是的中点，,求二面角的大小.ADCBK图9EFO例7 在棱长为1的正方体中，E是BC的中点，试求面与平面

7、所成二面角的大小.2.1.6 补体法通过补全一个恰当的图形或延展平面使二面角更加容易定位或凸显，进而更方面求解，尤其在求解无棱二面角问题中更能现出其突出的优点.ACGMB图10P例8 如图10,正三棱柱的各棱长均为1,M是棱CC中点,求截面ABM与底面ABC所成二面角的大小.2.1.7 无棱找棱法PRQ图11如图11中只现出两个局部半平面的一个公共点P，图中没有给出二面角的棱.此时,若在二面角的两个半平面内各存在一条直线且相互平行,则过P分别作这两条直线的垂线PQ和PR,则QPR就是二面角的平面角.例9如图12,P-ABCD为正四棱锥，边长为,求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.2.2

8、不作平面角，直接求解二面角对于有些定位二面角平面角比较困难的题目，可以绕过定位二面角的平面角这一环节，利用一些等价的公式或结论进行求解可以方面解题. 射影面积法图13CBAOS设二面角的大小为，面内有一个面积给S的封闭图形,给图形在面内的射影面积为,则.例10 求正四面体任意两个面所成二面角的大小.ADCBE图14F例11 如图14,在正方体中,E为CC中点，F在BB上,且BF=BB,求平面AEF在底面ABCD所成二面角的余弦值.专题（二）立体几何大题中有关距离的求法1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 2、求点到平面的距离通常有四种方法 (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 例题分析：例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点 求 (1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离 BACDOGH例2、如图，在棱长为2的正方体中，G是