居余马线性代数第三章课后习题

1、第三章课后习题及解答将1,2题中的向量表示成1,2,3,4的线性组合:1.1,2,1,1T,11,1,1,1T,211,1,1T,31,1,1,1T,41,1,1,1T.2.0,0,0,1,11,1,0,1,22,1,3,1,31,1,0,0,40,1,1,1.解：设存在k1，k2,k3,k4使得k11k22k33k44,整理得k1k2k3k41k1k2k3k42k1k2k3k41k1k2k3k415111斛信k1,k2*3,k4.4444所以5211717273744444设存在k1，k2, k3, k4使得k1 1 k2 2 k3 3k4 4 ,整理得k12k2k30 , k1k2k3k4

2、0,3k2k40,k1k2k41.解得k11,k20,k31,k40.所以判断3,4题中的向量组的线性相关性:3.1,1,1T,20,2,5T,31,3,6T.4.(1,1,2,4)T,20,3,1,2T,33,0,7,14T.解:3.设存在ki,k2,k3使得kik22k330,即k1k1k1k32k25k24.设存在k1k12k14k13k36k33线性相关.k1,k2,k3使得k13k33k2k22k27k314k35.论述单个向量解：设存在k使得无关的充要条件是0.可解得0出但,k22°,解得k33%*2*3不全为零,0,即k1,k2,k3不全为零，故1,2,an)线性相关和

3、线性无关的条件3线性相关.0;相反，单个向量0,当且仅当k0,故，单个向量线性(a1，a2,an)线性相关的充要条件是6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关证：设向量组n线性无关，利用反证法,假设存在该向量组的某一部分组ir(irn)线性相关,则向量组1,2,n1,n线性相关，与向量组1,2,n1,n线性无关矛盾,所以该命题成立.7.证明：若1,2线性无关，则12,12也线性无关整理得，(k1 k2) 1 (k1因为1, 2线性无关，所以故12, 12线性无关方法二，因为(12, 111又因为2 0,且11故12, 12线性无关8.设有两个向量组12I , 2 ,a21a

4、221a31 ,2a32,ak1aks证：方法一，设存在k1,k2使得k1(1k2)20，kk?01 2,可解得k1k20,k1k20、,、112 )(1,2)，1 11, 2线性无关，所以向量组12,12的秩为2,s和1,2,s,其中五a2s,sa3s,akss是分别在1,2,s的k个分量后任意添加m个分量b1j,b2j,(j1,2,s)所组成的km维向量，证明:若1,2,s线性无关，则s线性无关;(2)若1,2,s线性相关，则s线性相关.证：证法1,(1)设As线性无关，所以齐次线性方程AX0只有零解,即r(A)s,且r(B)s,s线性无关.证法2,因为s线性无关，所以齐次线性方程AX0只

5、有零解，再增加方程的个数，得BX0,该方程也只有零解，所以s线性无关.(2)利用反证法可证得，即假设1,2,s线性无关，再由1)得1,2,s线性无关，与1,2,s线性相关矛盾9.证明:1线性无关的充分必要条件是3线性无关.证：方法1,12,2因为1,3线性无关，且3,31的秩为3所以方法2,充分性，设1线性无关.线性无关;反之也成立3线性无关，证明12,23,31线性无关.设存在月水2*3使得ki(12)k2(23)k3(30,整理得,(kik3)1(k1k2)2(k2k3)30因为3线性无关,所以k1k1k2k3k2k300，可解得k1k2k30，所以12,23,1线性无关.必要性，(方法1

6、)设12,3,31线性无关，证明3线性无关,假设3线性相关，则1,2,3中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨1可由2,3线性表示，则向量组12,23,31可由2,3线性表示，且12,23,1线性相关,23,31线性无关矛盾,3线性无关.方法2,令1k1,k2,k3使得k1k2k30,3,3),23),33),代入k1k2k30得,k17(123)k2i(k1 k2 k3)1( k1k2k3)2 (k1 k2 k3)30因为1,2,3线性无关，所以k1k2k3k1k2k3k1k2k3可解得k1k2k30，所以1,2,3线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：1

7、)1,2,m(m2)线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设1021，31,2,3两两线性无关，而1,2,3线性相关.2)1,2,m(m2)线性相关的充分必要条件是有m1个向量线性相关；解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设10，021，1,2,3线性相关，而俩1,2,3两两线性无关.(3)若1,2线性相关，1,2线性相关，则有不全为零的数k1,k2，使得解：不正确，因为k11k22故11，k1,k2，使得k110且k11k220，从而使得k(11)k(

8、222)0，1，k22线性相关.2线性相关和1，2线性相关，不一定存在同一组不全为零的数20和k11k220成立；或者说存在两组不全为零的数k1,k2nt1,t2使彳导k11k220和t11t220成立.（4） .若1,2,3线性无关，则12,23,31线性无关.解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得（12）（23）（31）0，所以12,23,31线性相关.（5） 若1,2,3,4线性无关，则12,23,34,41线性无关；解：不正确，因为12,23,34,41线性相关，由9题，n为奇数个时，线性无关，n为偶数时，线性相关.若1,2,3,n线性相关，则12,23,n1n,n1线性相关;解：

9、正确，因为1,2,3,n线性相关，所以1,2,3,n中至少有一向量可由剩余的n1个向量线性表示，则12,23,n1n,n1也可由那剩余的n1个向量线性表示，再因为nn1，所以12,23,n1n,n1线性相关.11. 如果1,2,3,4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数k1,k2,k3,k4，使得k11k22k33k440.证：因为1,2,3,4线性相关，所以存在不全为零的常数k1,k2,k3,k4，使得k11k22k33k440，假设k10，则k22k33k440，2，3，4 线性相关与题设矛盾. 故 k10 ；同样方法可证得k 2 , k3 , k4 都不为零

10、 .所以该命题成立12. 若1,2,r线性无关，证明：,1,2,r线性无关的充分必要条件是不能由1,2,r线性表示.证：必要性，假设能由1,2,，一则，1,2,线性相关与,1,2,r线性无关矛盾，故不能由1,2,r线性表示.充分性，设存在k0,k1,k2,kr使得k0k11k22k33krr0，若ko0,则能由1,2,3,r线性表出，矛盾，所以ko0,因此，k11k22k33krr0，又因为1,2,r线性无关，所以k1k2kr0,故，1,2,r线性无关.13. 求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：( 1 )1(6,4,1,9,2),(2) 1(1, 1

11、,2,4), 2(3) 1(1,1,1),2解：( 1)1T , 2T , 3T , 4T所以，向量组的秩为 3，12(1,0,2,3, 4),3 (1,(0,3,1,2),3 (3,0,7,14),(1,1,0),3(1,0,0),461174041=129 0936124 223, 2, 4 为一个极大线性无关组，4, 9, 6,22),4(7,1,0, 1,3) ;4(2,1,5,6), 5 (1, 1,2,0);(1,2, 3).10100150000100000000315 2.2）类似（ 1），可求得向量组的秩为 3，1 , 2 , 4 为一个极大线性无关组，且33 12，5412

12、.3）类似（ 1），可求得向量组的秩为3，1 , 2 , 3 为一个极大线性无关组，5 23 13.14. 设向量组：1(1, 1,2,4), 2(0,3,1,2),3(3,0,7,14), 5(2,1,5,6), 4(1, 1,2,0),5(2,1,5,6).1 ）证明 1，2线性无关；2）求向量组包含1，2 的极大线性无关组1 )证：设存在k1 , k2 , 使得 k11Tk12T0 ，求得k1k20 ，所以 1，2）解，TTTT T1 , 2, 3, 4, 510312130112172542 14061030110000002线性无关；0101,1100所以， 1 , 2 , 4 为包

13、含 1，2 的一个极大线性无关组15. 设 A, B 皆为 n 阶矩阵，r(A) n, r( B)n ，证明：A01)秩r(A)r(B);0BAC秩r(A)r(B),C为任意n阶矩阵.0B、一，.、r_'_'证：（1）设r（A）r1,r（B）r2，则存在n阶可逆矩阵P,Q,P',Q',Er0'Er.0使得PAQr1,PBQr2,从而0000Er000r1000000Er0【20000»P0A0Q00P0B0Qrir2r(A)r(B).一一一AC(2)因为秩ACr(A),所以秩r(A)r(B).0B16.证明r(AB)min(r(A),r(B).

14、证：设A,B分别为mn,ns矩阵，将A按列分块，则有ABbnbi2b21b22nbn1bn2b1sb2s的列向量组1,s可由A的列向量组bnsn线性表示，故r(AB)AB的列秩A的列秩=r(A),同样，将B按行分块,得r(AB)r(B),因此，该命题成立1.设A,B分别为mn,nm矩阵，且nm,证明：齐次线性方程组(AB)X0有非零解.证：由r(AB)min(r(A),r(B)nm,所以AB0,故齐次线性方程组(AB)X0有非零解.18.设A是一个sn矩阵，B是由A的前m行构成的mn矩阵.证明：若A的行向量组的则r(B)r证：设i (ai1，ai2,ain),i 1,2,s, A设 r(B)B

15、的行向量组的极大线性无关组含p个向量。因此,A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组s的一个子集，所以它所含向量个数p (s m),即 r (A) r p(sm)，从而，r(B)prms.求下列（1922题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式345123004121345123004121所以，矩阵的秩为 3。19.解:1 1 23452 0 01234 0 0 0023 0 0 00013501340为一个最高阶的非零子式。0041 12102 24203 0611030011 12102 24203 061103001,矩阵的秩为3。11013032132213134556132

16、1322131345561,矩阵的秩为3。111210403001300040200000120为一个最高阶的非零子式。1349307131790021322113140为一个最高阶的非零子式。5511002110021120.解：所以13021.解：所以32422.11001100211001100211001000210001解:所以，矩阵的秩为10为一个最高阶的非零子式。23.设A是个mn矩阵，证明：存在非零的ns矩阵B,使得AB0的充要条件是r(A)n.证：设齐次线性方程组AX0,B0,则由AB0,可得Aj0,j1,2,s,由于,s0,至少有一个j0,再由AX0有非零解的充要条件是r(

17、A)0,j1,2,s,至少有一个j0的充要条件是r(A)n.24.设A,B是同形矩阵，证明：A与B相抵的充要条件是r(A)r(B).证：设A,B是mn矩阵，r(A)r,r(B)p,则存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2，使得PAQ1Er0,P2BQ2Ep000充分性，因为r(A)r(B),所以,PAQ1Er00=P2BQ20Ep 000 '(P2)1RAQiQ21B,令(F2)1RP,QiQ21Q,故，PAQBA与B相抵.必要性，因为A与B相抵，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得PAQB,Er 00 0，r(A)r(B).25.设A是mn矩阵(mn),r(A)m,证明：存在nm矩阵B使得AB

18、m.证：因为r(A)m，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得PAQIm0，所以有AQP1Im0,AQP1Im0(P10),(1)1)右端乘 nPm阶矩阵T，得AQTIm,令QTB,0m故，ABIm.26.证明：若n阶方阵A的秩为r，则必有秩为nr的n阶方阵B，使得BA0.证：因为n阶方阵A的秩为r，所以AT的秩为r，则ATX0的基础解系含有nr个线,Xn r 为 BT 的列 向量 ， 则r 个秩为 1性无关的解向量，取这nr个线性无关的解向量X1,r(BT)nrr(B).因此，该命题得证.27.证明：任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和，的矩阵之和.证：设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵P,

19、Q使得PAQ11P 1BrQ 1 ,其中所以_1Er0_1_1_AP1rQ1P1(B100111Br)Q1P1B1Q1Bi,Br为秩为1的矩阵因此,任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和.后部的证明，（反证法）假设A为秩为r的矩阵，能表示为少于r个秩为1的矩阵之和，不妨设A能表示为p个秩为1的矩阵之和，其中,Bp）,其中Bi,Bp是秩为1的矩阵.r(A)r(Bi)r(Bp)pr,与r(A)r矛盾.28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解:X1X2(1)X13X1X2X1X23x25X32X38X39X3X403x4X47x4左1解：332720取X3,X4为自由未知量，令X337

20、tX1(3,2,1,0)；X21,X4X30,X4,得原方程组的一个基础解系为(1,2,0,1)T因此，一般解为XkX1k2X2=k132721卜2,其中k1,k2为任意常数.3x1x28x32x4x50(2).2x12x23x37x42x50x111x212x334x45x50x15x22x316x43x50解:32111822371112345216100100001932T8172518-82000000取x3, x4，x5为自由未知量，令*3 1,x419-8"381272518T-2k1 1k20k3 0 ，其中，k1,k2,k30100011，2，0，0，1)T因此，一般

21、解为X k,X1 k2X2 k3X3取*2?3为自由未知量，令 x2必 0 ,得方程组的一个特解:X。(8,0,0, 10)T,再令x21,0和x20, x3 1得其导 出组的一个基础解系0,x50,x30,x41,x50和x30,x40,x51,得原方程组的一个基础解系为X1(,T,1,0,0)T,X2(T,-,0,1,0)T,X38888为任意常数29.求下列非齐次线性方程组的一般解:2x17x23x3x46(1)3x15x22x32x449x14x2x37x422731619408解：3522401151109417200000Xi(9,1,0,11)T,X2(4,0,1,5)T.所以，

22、方程组的一般解为 XXokX1k2X2,其中k1，k2为任意常数X2X3X4X57(2)3x12x2X3X43x52x22x32x46x5235X14x23x33x4X512解:11113 2 110 12 25 4 3 36 231 121011012200 0000 005600162300取X3,X4,X5,为自由未知量，令X3X4X5 0 ,得方程组的一个特解：X。(16,23,0,0,0)T；再取 X31,X40, X50 , X30, X4 1, X50 和 X30, X40,X51得其导出组的一个基础解系：X1(1,2,1,0,0)T,X2(1,2,0,1,0)T,X3(5,6,

23、0,0,1)T所以，方程组的一般解为XX0k1X1k2X2k3X3,其中k1,k2,k3为任意常数30.讨论p,q取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解(p3)X1X22x3ppx1(p1)X2X32p3(p1)X1px2(p3)X33解:p 3p3( p 1)p 31 2p2 p 3 0 32p (p 1)00 p3pp2 3p 6一2 一 一3p 15p 9所以，p0或p1时，该方程组无解,p0且p1时,p312p2p 3032 .cc3p (p1)00Ppp2 3p 6=2，_-3p 15P 9p3 12p 9p2 (p-1)324p3 3p2 12 p 9p2(p 1)32p

24、3 3p2 15p 9一p2 ( p-1)一有唯一解是X1p3 3p2 15p 9p2(p 1)X23p 12P 9p2(p 1)X3324P 3P 12P 9P2(P 1)X1X2X3X4X51(2)3x1 2x2 X3 X4 3x5 pX2 2X3 2X4 6X53解:5X14x2 3x3 3x4 X5 q11113 2 110 12 25 4 3 33p1 1 10 1 20 0 00 0 00 0 p0 0q 2所以，当p0或q2时，方程组无解;当p0且q2时，方程组有无穷多解,1111112 2 630 0 000 0 001011012200 0000 0056002300取X3,

25、X4,X5为自由变量，令X3X4X50,得方程组的一个特解：X。(2,3,0,0,0)T；再取X31,X40,X50,x30,x41,x50和x30,x40,x51得其导出组的一个基础解系：X1(1,2,1,0,0)T,X2(1,2,0,1,0)T,X3(5,6,0,0,1)T所以,方程组的一般解为X211532260k11k20k3000100001,其中ki,k2,k3为任意常(3)解:所以,所以,常数。XiXiXiX2X2X2X22X32x3X47x4pX32X3qx4(qq32)X41时,方程组有唯一解。1时，方程组无解;2时,31.设A是m4时,证：因为任一个4时，方程组有无穷多解,

26、方程组无解。10,7,0,2Tk0,2,1,0T,其中k为任意n矩阵，证明：若任一个n维向量都是AX0的解，则A0.n维向量都是AX0的解，则n维向量i(0,0,1,0,0)T(第i个分量为1其余分量均为0的列向量)满足A(1,n)(A1,An)0即AI0,其中I是n阶单位方阵，因此，A0.32 .设A是一个ms矩阵，B是sn矩阵.X是n维列向量.证明：若(AB)X0与BX0是同解方程组，则r(AB)r(B).证：因为若(AB)X0与BX0是同解方程组，所以，(AB)X0的基础解系所含解向量的个数与BX0的基础解系所含解向量的个数相等.即nr(AB)nr(B),因此，r(AB)r(B).33

27、.设A是mn矩阵，B是ns矩阵，证明：若AB0,则r(A)r(B)n.证：设B(i，,s),其中i,s是一组列向量，由AB0得，Aj0,j1,s.若r(A)r,则AX0的基础解系含有nr个线性无关的解向量，而i,s为AX0的解向量，则1,s可由AX0的基础解系线性表示，所以，r(B)nrnr(A).故，r(A)r(B)n.34 .设A是n阶矩阵A的伴随矩阵，证明：n,r(A)n(1) r(A)1,r(A)n10,r(A)n1(2) AAn1.0,得 r(A ) n ；证：(1)由于AAAI,当r(A)n时，A0,所以当r(A)n1时，即至少有一个n1阶子式不等于零，所以A0,且A0,因为A0,

28、所以r(A)1.因为A0,所以AA0,即A的每一列均是齐次线性方程组Ax0的解，所以r(A)nr(A)n(n1)1。因此，r(A)1;当r(A)n1时，A的任一n1阶子式都等于零，所以A0,故r(A)0。.一n1当A0时，由AAAI,得AA。n1当A0时，即r(A)n1,由(1)知，r(A)1,从而A0,所以AA也成立，故，对任意n阶方阵A,都有：AAn1。An35 .设A是n阶可逆矩阵(n2),证明：AAn2A.证：因为A是n阶可逆矩阵，所以A是n阶可逆矩阵，且A因为AAAI,所以AA(A)又因为AAAI ,所以(A) 1因此，AA (A ) 1 |An 2ao36 .设A是n阶矩阵，证明：

29、非齐次线性方程组AXb对任何b都有解的充要条件是A0.证：充分性，因为A0,所以r(A)nr(A,b)。因此，对于任意b,r(A)nr(A,b),AXb有解.必要性，(反证法)假设A0,则r(A)2，则1,2,n线性相关,n可由1, 2,从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设>b(0,0,0,1)T,则(A,b)r(A)r(A,b),所以方程组无解,矛盾。37.设X1x2a1,X2X3a2,X3X4a3,X4X5a4,X5X1a5,证明：这个方程组有解的充要条件是5aii10,在有解的情形下，求出它的一般解。证：因为X1X2a1,X2X3a2,X3X4a3,X4X5a4，X5

30、x1a5,110011即00100010000X100X210X311X401X5a1a2a3a4a5a1a2a3a4a511000011000011000011100011100001100001100001100000a1a2a3a，aa2a3a，a51011010000001000100,增广矩阵（A,b）1100111000111000011000011000011a5a，a3，a?a5方程组有解的充要条件为r(A)r(A,b)即ai0。i1ai0i1110000 11 000 011 00001100000a1a2a3a，0100010 10 01001010001100000aa2

31、a3a，a2% a，a3a，a，0取 X5为自由变量，令 X5 0得方程组的一个特解X。（a1a2 a3a，a2 a3 a，a3a，a，,0)T ；再取X51得其导出组的一个基础解系：X1(1,1,1,1,1)T所以，方程组的一般解为XX0kX138.已知1,基础解系，(A)k11(C)k11解：可证得a1a2a3a4a2a3a4040k1，其中k为任意常数。12是方程组AXb的两个不同解，则AXk2(k2(1是AX239.1已知Q23(A)6时,(C)解:因为以r(P)40.设12是对应齐次线性方程组AX0的b一般解是：2)丁1,是线性无关的且是k1k1AXb的一个解，因此，选(B).4t,

32、P为非零矩阵69r(P)1;6时，r(P)1;1,当t6时,(斜岛自)、(B)(D)r(Q)2,1k2(21)1；20的解，因此是AX0的一个基础解系，0,则:6时，r(P)2;6时，r(P)2;,所以r(P)r(Q)因此，1r(P)1,3,又因为P为非零矩阵，所即r(P)1,故选(C).2(bi,b2,b3)T,3(G,C2,q)T,则三条直线aiX Ay 90, (ai2bi20), (i 1,2,3)交于一点的充要条件旦(A)1,2,3线性相关,(B)1,2,3线性无关；(C)r1,2,3r1,2；(D)1,2,3线性相关，1,2线性无关.a1x4yCia1bia1biC1解：因为a2x

33、b2yc2有唯一解的充要条件是ra2b2ra2b2C22,a3xb3yC3a3b3a3b3c3ai“C1ra2b2C22,即1,2,3线性相关。a3b3C3a1b1ra2b22,即1,2线性无关。所以，选(D)。a3b341.设A是mn矩阵，r(A)m(mn),B是n阶矩阵，下列哪个成立？(A)A中任一m阶子式0;(B)A中任意m列线性无关；(C) ATA0;(D)若AB0,则B0；(E)若r(B)n,则r(AB)m.解：选(E).r(B)n,所以B可逆，r(AB)r(A)m.42.设1,2,m(iRn,i1,m,m2)线性无关，下列哪个成立？(A)对任意常数k1，k2,k3,km,有k11k

34、22kmm0;(B)任意k(km)个向量h,ik线性相关；(C)对任意 Rn,线性相关;(D) 任意k(km)个向量i,i线性无关.1k解：选(D),因为整体线性无关，部分必线性无关。43.设,线性无关，,线性相关，下列哪个成立?(A)必可由,线性表示；(B)必可由,线性表示；(C)必可由,线性表示；(D)必不可由,线性表示.解：选(C)。因为，线性无关，所以，线性无关。因为，线性无关，线性相关，所以必可由,线性表示，从而必可由,线性表示。44.设A是43矩阵，r(A)1,1,2,3是非齐次线T方程组AXb的三个线性无关解，下列哪个是AX0的基础解系？(A)123(B)1223(C) 21,3

35、2(D)12,23解：因为r(A)1，所以AX0的基础解系含有2个线性无关的解，因此(A),(B)不正确。(D) 的两个解不是AX0的解，故选(C).45.设向量组1,2,3线性相关，2,3,4线性无关。回答下列问题，并证明之。1) 1能否由2,3线性表示？2) 4能否由1,2,3线性表示？解：(1)因为2,3,4线性无关，所以2,3也线性无关，又因为1,2,3线性相关，所以1可由2,3线性表示。（2）（反证法）假设4能由1,2,3线性表示，再由（1），1能由2,3线性表示，所以4能由2,3线性表示，即2,3,4线性相关，与2,3,4线性无关矛盾。所以，4不能由1,2,3线性表示。46 .设A

36、为n阶矩阵，若存在正整数k（k2）使得Ak0,但Ak10（其中为n维非零列向量），证明：,A,Ak1线性无关。证明：（定义法证）若t1t2AtkAk10，上式两边左乘Ak1得，t1Ak1t2AktkA2k20因为Ak0，所以Ak1A2k20因此，t1Ak10，又因为Ak10，得t10。利用同样方法，可求得t2t3tk03，因此，,A,Ak1线性无关。47 .设A,B分别为nm,mn矩阵（nm）,且ABI（n阶单位矩阵），证明：B的列向量组线性无关。证：因为ABI，且nm,所以r（AB）nmin（r（A）,r（B）n，因此，r（B）n,而B是mn矩阵,故，B的列向量组线性无关。48.已知秩1,2

37、,3二秩3,其中1(1,2,3)T,2(3,0,1)T,(9,6,7)T；1(0,1,1)T,2(a,2,1)T,3(b,1,0)T3可由3线性表示,求a,b的值。-1-1解:1,2,3,3因为3可由-3-7-5所以有0,因此,5。1,1391392060123170003)3线性表示,1,2,所以秩3=2。1,2,3)因为秩3二秩0-33a3=2,所以所以，a15。49.设A为n阶矩阵（n3)，aR，且r(A)n1,求a。解：因为r(A)n12(n3)所以a1因为r(A)(n50.设n阶矩阵A的每行解。解：因为r(A)因此51.II:(n1)a11)a0,因此,兀系之和均为零,又r(A)n1

38、,求齐次线性方程组Ax0的通1,所以齐次线性方程组Ax0的基础解系中含一个解向量。n,因为A的每行兀系之和均为零，所以1-，一，一是齐次线性方程组Ax0的一个基础解系。从而，Ax0的通解为:,其中k为任意常数。已知下列线性方程组I,II为同解线性方程组，求参数m,n,t之值。x1x22x44x1x2x3x43x1X2x1mx26,1,x33;nx2x3x32x4x3x42x45,11,1.1102610012解：因为4所以，(2,4,5,0)T是方程组I的一个解，因为方程组II同解,所以它也是方程组II的一个解,将它带入方程组II,可得:m2,n4,t6。52.设(1,"(1,2,0

39、)T,(0,0,8)T,AT,B求解方程2B2A2xA4xB4x。解：即求解非齐次线性方程组:(2B2A2A4B4)x840010112168000121841680000因为(2B2A2B4A4,)的一个特解为：所以(2B2A2A4B4)x(1,2,1)为其导出组的一个基础解系。因此，(2B2A2A4B4)x的一般解为：1T(2,1,0)k(1,2,1)T,其中,k为任意常数。53.设n阶矩阵a(1,2,n)的行列式A0,A的前n1列构成的n(n1)矩阵记为A1(1),问方程组A1xn有解否？为什么?解:无解，因为r(A)n1,r(A1,54.设，均为非零的n维列向量,T,证明：A中任意两行

40、(或两列)成比例。解:因为r(A)min(r(),r(T)1,所以A中任意两行(或两列)成比例。55.设n阶矩阵A分块为Aa11a12A2iA22,其中Ai为k阶可逆矩阵（kn），证明：存在主对角元为1的上三角矩阵U和下三角矩阵L,使得LAUA11解：由分块矩阵的初等变换，不难知道:IkA2iAiiAiiA2iAi2A22Ik0AiiAi2InAii00A2iAiiAi2所以，LIkA2iAiInIk0AiAAiiAi2Ink56.设A,B皆为n阶矩阵,证明:(1)(3)证:(2)IAB;(2)BA；det(AB)det(BA)为任意常数）。（1）因为所以因此,因为I0所以IABABBABAB

41、A(3)分两种情况来讨论。当因此,由(1)即得：IABIBA。0时，|AB(1)nAB|BA,成立。当0时，因为,IB0IABI-BIB0IAII-BA0AI所以，det(IAB)det(IBA)综上，结论成立。57.证明：若A是m n矩阵，r(A)r ,则存在m r矩阵B , r n矩阵C ,且r(B)r(C)r,使得ABC(提示：利用相抵标准形)。证明:因为,r(A) r ,所以存在可逆矩阵，人 -，人 一口IrP( m 阶)、Q( n 阶)，使得 PAQ r0因为P11rP 1 r0Mmr1,QMm011 IrQ 1 = P 1 r00M m (m r) , Q1为可逆矩阵,r M m

42、(m r)所以Ir0Ir mn 0Nrn'N(n r)的列向量组线性无关,Mmr 0 , CIr0Nrn的行向量组线性无关。Nrn'N (n r) nNr n0即满足条件，从而此题得证。58 .设A,B皆为n阶矩阵，r(A)r(B)n，证明存在可逆矩阵Q，使得AQB0。证明：结合相抵标准形，不难知道，存在可逆矩阵P1,Q1,P2,Q2，使得：P1 AQ1r (A)0, P2 BQ2 02200I r(B) 0r(A)r(B)n，所以P1AQ1P2BQ20，令QQ1P2，则此题得证。59 .证明：i,2,r(其中i0)线性相关的充要条件是存在一个i(1ir)使得i可由1,2,i1线性表示，且表示法唯一。证明：(充分性)因为存在一个i(1ir)使得i可由1,2,i1线性表示所以，1,2,i线性相关，从而1,2,r线性相关。(必要性)因为1,2,r线性相关，所以存在不全为零的一组常数kl,k2,kr使得k11k22krr0在使k11k22krr0成立的所有不为零的系数中，必有一个最小的下标i，使ki0，但kj0(ji)。下面说明1ir。如果i