巧用点差法公式解决中点弦问题

1、巧用点差法公式解决中点弦问题解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算往往是非常困难的。解题过程中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。“点差法”是一种常见的设而不求的方法，是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解，这就可以降低解题的运算量，优化解题过程。一、抛物线【规律探踪】在抛物线y2=2mx(m0)中，若直线l与抛物线相交于MN两点，点P(x0,y0)是弦MNW中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN则kMN?y0=m

2、注意：能用这个公式的条件：直线与抛物线有两个不同的交点；直线的斜率存在.例1设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线。当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论。当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程。解析：x2=12y,邛=14,F(0,18)。设线段AB的中点为P(x0，y0)，直线l的斜率为k，则x1+x2=2x0若直线l的斜率不存在，当且仅当x1+x2=0时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点F。若直线l的斜率存在，则其方程为y=k(x-x0)+y0，kAB=-1k。由1kAB?x0=p得：-kx0=14,x0

3、=-14ko若直线l经过焦点F,则彳导:18=-kx0+y0=14+y0,y0=-14,与y00相矛盾。当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点Fo综上所述，当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F。当x1=1，x2=-3时，A(1，2)，B(-3，18)，x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.由1kAB?x0=p得：k=14o所求的直线l的方程为y=14(x+1)+10,即x-4y+41=0二、椭圆【规律探踪】在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，若直线l与椭圆相交于MN两点P(x0,y0),点是弦MNW中点，弦MN所在的直线l的斜率为KMN

4、则KMN?y0x0=b2a2例2已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=22,右准线方程为x=2。求椭圆的标准方程；过点F1的直线l与该椭圆相交于MN两点，且|F2M+F2N|=2263,求直线l的方程。解：根据题意，得e=ca=22x=a2c=2 .a=2,b=1,c=1o所求的椭圆方程为x22+y2=1.椭圆的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0)。设直线l被椭圆所截的弦MN6勺中点为P(x,y)。由平行四边形法则知：F2M+F2N=2F2P由|F2M+F2N|=2263得：|F2P|=263。 .(x-1)2+y2=269.若直线l

5、的斜率不存在，则l±x轴，这时点P与F1(-1,0)重合，|F2M+F2N|=|2F2F1|=4,与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.由kMN?yx=-b2a2得：yx+1?yx=-12.y2=-12(x2+x)代入，得(x-1)2-12(x2+x)=269.整理，得：9x2-45x-17=0;解之得：x=173,或x=-23。由可知，x=173不合题意。 .x=-23,从而y=±13;.k=yx+1=±1.所求的直线l方程为y=x+1,或y=-x-1。三、双曲线例3设A、B是双曲线x2-y22=1上两点，点N(1,2)是线段AB的中点。求直线AB的方程；如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？解析：a2=1,b2=2,焦点在x上；由kAB?y0x0=b2a2得：kAB?2=2,.kAB，所求的直线AB方程为y-2=1?(x-1),即x-y+1=0。设直线CD的方程为x+y+m=Q点N(1,2)在直线CD上,1+2+m=0m=-3o/.直线CD的方程为x+y=0。又设弦CD的中点为Mx,y),由KCD?yx=b2a2得：-1?yx=2,即y=-2x。由x+y-3=0y=-2x得x=-3,y=6。.二点M的坐标为(-3,6)。又由x+y+3