幂函数与指数函数的区别

1、嘉函数与指数函数的区别幕函数的定义：一般地,我们把形如y=x”的函数称为“幕函数(power- function)>其中x是自变量,概念的理解：指出下列函数哪些是幕函数4"(l)r = .v'，' 1，C)T 二一Xy_2 9)y = x 彳(2)1-=.y°(3)y=xx(4)1=-v2(6)v=-(")1=l*2+lx(8)1'=(x+1)2X23(10)T=(11)V-幕函数与指数函数的区别:指数函数的概念：一般地、函数丁="(a>0,且aWlR叫做指数函数、其中工是自变量，函数的定义域是R。-结论:从它们的解析

2、式来看有如下区别：v季函数底数是自变量、指数是常数。指数函数指数是自变量、底数是常数。，1 .指数函数：自变量X在指数的位置上，y=aAx(a>0,a不等于1)性质比较单一，当&>1时，函数是递增函数，且y>0;当Ova<l时，函数是递减函数，且y>0.2 .幕函数：自变量x在底数的位置上，y=xAa(a不等于1).a不等于1,但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。高中数学里面，主要要掌握a=-l,2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。3.y二8八(-0.7

3、)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者哥函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y二8八x(a=8),当x-0.7时,y的值；或者将其看成：幕函数y二x八(-0.7)(a=-0.7),当x=8时，y的值。几种常见的幕函数图象：。嘉函数的性质：根据图象，幕函数性质归纳如下：（1）所有的事函数在（0,+8）都有定义，并且图象都过点（1,1）；（2）当a>0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间。+8）上是增函数,特别地，当a>l时，塞函数的图象下凸；当Ovavl时，塞函数的图象上凸；（3）当a<0时，嘉函数的图象在区间（0,+8）上是减函数.在第一象限内，当

4、x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。指出：此时y=xO=l；定义域为（-8,0）U（0,+°°）,特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1,图像是从点（0,1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0,1）要除外。思考讨论：（1）在塞函数丫=乂&中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在嘉函数丫=*&中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？讲评：（1）在幕函数y=xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。对数函数的性质y二】。舐kg>0,&#

5、171;=1)(1)当a>l时;x>0,即。和负数无对数；当x=l时，y=O；当x>l时，y>0；当OVxVl时，y<0；在(0,+8)上是增函数.(2)当OVaVl时，x>0,即。和负数没有对数；当x=l时，y=0；当x>1时，yV0；当OVxV1时，y>0；在(0,+8)上是减函数.函数V=叫做幕函数，其中x是自变量，a是常数(这里我们只讨论a是有理数n的情况).对数与对数函数学习目标1、理解对数概念；2、能进行对数式与指数式的互化；3、掌握对数的运算性质；4、培养应用意识、化归意识。5、掌握对数函数的概念；6、掌握对数函数的图像的性质；7、

6、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；8、培养图形结合、化归等思想。知识要点：我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时、我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算一一对数运算。1 .对数的定义：如果ab=N(a>0,且aW1),那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。注意：由于a>0,故N>0,即N为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题：2=3=工=log3通常将以io为底的对数叫做常用对数,log 1。R简记作lg以e为底的对数叫做自然对数，1空e嫡记作仙N。2 .对数式与指

7、数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。指数式对数式指数对数等具数II=NlogaN-b底数由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。3 .三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在(a>0,aWl)前提下有：(1) a°=I<=>logaI=0储=aOlogi=1(3)-="二产J"4 .三个运算法则：指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a>0,aW1的前提下有:(1)棺0蜿”必+她&丛=婉则令am

8、=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN,必从一.m+n=bga(MN),即脸做十脸心脸网M/+/=跋山财-10g严=I叫(2)N,M=aN用一改令am二M,an=N,则有m=logaM,n=logaN,logalogMTog2曾=log.不方，即-N)，尸产与园地射=1%"口哂,令am二M,贝1J有m=logaM,/.mn=nbg止*.*Mn=amn,/.mn=她国(n£R),n1%MJog15.两个换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0,aWl,M>0的前提下有：logaM-log，/耻R)令logaM二b,则有ab=M,(a

9、b)n=Mn,即I")二时,即'卜3J淡,即!%loglog。M=，.版(c>0,/1)(2) 年",令logaM=b,则有ab二M,则有1%J=1叫Mc>0,"1),log/.M,i11Zb=一log赴舷=-£(c>0,c=1)即炉脸a=log，即log",即log"当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结logqb=1'(a>0,ah1法>0,8m1)论：例题选讲：第一阶梯例1将下列对数式化为指数式，指数式

10、化为对数式：(l)log216=4；log】27=-3；(3)54=625；(1)24=16(3) V54=625,Alog5625=4.11-(4) V3-2=-,/Jog3-=-2.(5) 7(V=16/Jogl16-244例2解下列各式中的x：Q)log式也7=72(2)1。酊"一/(3)2x=3；(4)log3(x-l)=log9(x+5).解:172-1=正+工彳=4(3)x=log23.(4)将方程变形为x-l>010 ggsTy=10ggS + 5)= x + 5x-l > 0Qx = 4x + 5>0例3求下列函数的定义域:y=Jlog0J(4i-3

11、);(3)y=lg(x2+2x3)(4)广脸小-盯思路分析:求定义域即求使解析式有意义的X的范围，真数大于0、底大于。且不等于1是对数运算有意义的前提条件。解：(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+l)>0，故定义域为xlxv-1，或x>5(2)7log05(4x-3)>0=log051,4x-3>0,:0<4x-3Wlo解得八E4.1，定义域是xl1).X2-4>0,卜4-2或722,曲?+2x-3>0,得<x<-3或x>1.Ilg(x2+2x-3)h0,xh故所求定义域为收或-1-小M-3,Sx>2)167&g

12、t;0(4)由卜+10:兀+1H1x<2,得y>fI；tH0.所以所求定义域为xl-kO,或0vXv2vSPAN>第二阶梯例4比较下列各组数中两个值的大小(l)log23.4,(2)log0.31.8(3)loga5.1,思路分析：log28.5；,logO.32.7；loga5.9(a>0，aWl)。题中各组数可分别看作对数函数y=log2x>y=log0.3x>y=logax的两函数值,可由对数函数的单调性确定。解：因为底数2>1,所以对数函数y=log2x在(0,+8)上是增函数，于是log23.4<LOG28.5；(2)因为底数为0.3,

13、又0V0.3因,所以对数函数y=log0.3x在(0,+8)上是减函数,于是logO.3L8>bgO.32.7；(3)当a>l时，函数y=logax在(0,+8)上是增函数，所以loga5.l<LOGa5.9；当OvAax在(0,+8)上是减函数，所以Ioga5.1>loga5.9。说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。例5若a>0,aW1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数是()(l)logax

14、logay=loga(x+y)；(2)logax-logay=loga(x-y)；(3)%3%户脸了；y(4)logaxy=logaxlogay；A、0B、1C、2D、3思路分析：对数的运算实质是把积、商、塞的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logaxWlogax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。答案：A例6已知坨2。0,3010,lg3=0.4771,求1g745。思路分析：解本题的关键是设法将的常用对数分解为2, 3的常用对数代入计算。解：1g45-11g45=!获9+国10-电2)

15、u=*lg3+D乙=lg3+1一.lg2乙乙=04771+05-0.1505=08266.第三阶梯例7若方程lg(ax)lg(ax2)=4的所有解都大于1,求a的取值范围。思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于Igx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。解：原方程化为(lgx+lga)(lga+21gx)=4。21g2x+31galgx+lg2a-4=0,令t=lgx,则原方程等价于2t2+3tlga+lg2a-4=0,(*)若原方程的所有解都大于1,则方程(*)的所有解均大于0,则=(31ga尸一42(lg笃-4)>0,3<-lgd>0,21 5-0g2-4)&

16、gt;0.u,MlL解得0<a<_L.100说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。例8将y=2x的图像()A、先向左平行移动1个单位B、先向右平行移动1个单位C、先向上平行移动1个单位D、先向下平行移动1个单位再作关于直线y二x对称的图像，可得函数y=k)g2(x+l)的图像。思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。解法1：在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+l)的图像，直接观察，即可得D。解法2：与函数y=log2（x+l）的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-l的图像，为了得到它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位

17、。由尸gQ+D台 yr解法3：了:所以Q0）点在函勤工log式了+1）的图像上,0）点关于y=兀对称的点还是了=。本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过（0,0）点，因此排除A、B、C,即得D。说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。例9已知logl89=a,18b=5,求log3645的值；（用含有a、b的式子表示）思路分析：当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算（扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。解：由18b=5,得b=logl85,又log

18、l89=a,.Iogl89+logl85=log3645=a+b,则"l°gi&45logie361+log1822-log892-a说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会, 详细题解逐步达到灵活应用。1.求值：小2bg525 + 31og，4-81ogo1lg5-g20+lgJ2解:(2)21og525+31og264-8Iog101=2,logs5，3log?26-8x0=4+18-0=22.lg5lg20+lg32=lg5(lg4+lg5)+

19、lg32=21g2Ig5+lg25+lg22=(lg2+lg5)2=l注意：Ig2=logl02,此为常用对数，Ig22=(lg2)2,区别于lg2,=21g2。2 .求值:(1)(log43+log83)(log32+log92)log8940g并329”解：(i)(log43+log83)(log32+log92)=(!2+号2)Qog32+=1'loga3'iog32=|1591g3221g351g210(2)bgJbg灯兆lg8g2731g231g39o=3嘀总=25o不为1任意数为底均可，但具12(-lo©5)丁砥5w32法一：921,口彳小劣”92法二:9

20、产33,注意：运用换底公式时，理论上换成以大于体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。（3）的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。log 4”6 =3 .已知:log23=a，log37=b，求:log4256=?log356_1叫7+log38_logJ7+31og32_MM_log342log37+log36log37+l+log32b+3a_ab+J3-1+a+1a.a+81.«,、lg=-(lg3+lg)4 -已知：a2+b2=7ab,a>0,b>0o求证：32证明：:a2+b2=7ab,/.a2+2ab+b2=9ab

21、,即(a+b)2=9ab,lg(a+b)2=lg(9ab),*/a>0,b>0,21g(a+b)=lg9+lga+lgb,/.21g(a+b)-lg3=lga4-lgb,a+b1&-1g亍=2堰"屋)5 .已知：2”=3=求证：3ab-bc-2ac=0。证明:设2唯3=6'=佃°),则:6a=log2m,3b=log”2c=log6mlog 2 用M log 6 掰3ab="log2mlog3m6be+lac=+2a)c=(-log3m+-log2w)-log6m=(log3m+33261,1例2幽Oga冽L1,1=7(；"+

22、log2w)-log2wlog3wb-6log23log366log23、+1)丁log”log36=1，二3ab=bc+2ac，= gm即3ab-bc-2ac=0。7电26 .求值：27里i7堵2.(上户0=7必守1°.(2)迄7-1解：22产向,铲汇京吗嬴2.2.7总?(1)/另解：设2=m(m>0),./. Ig2=lgm, /. 2=m, R|J国2崛7+*.lg227+(Jg7-D(-lg2)=lg加产大 课后练习：卢上蚯)3-4$X2|log52'1og793.4.5.2.已知:x log34=l，求：2" + 2T的值。已知:lg2=a ,lg3

23、=b ，求:log512的值。1,W3+lg5参考答案:31.- 22.-3. 17t74. 32a +35. 1一 d对数函数的性质及应用概念与规律：1 .对数函数y=bgax是指数函数y=ax的反函数，在学习对数函数的概念，图象与性质时，要处处与指数函数相对照。2 .在同一坐标系内，当a>l时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴;当0vA<l<SPAN>时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴。(见图1)例1.求下列函数的定义域。蜿1(1)-1y="23 2)y=ln(ax-k2x)(a>0且aWl,keR)x>1二-1<13K工一解：(

24、1)因为2所以函数的定义域为(1,2)U3(2,2)。(2)因为ax-k2x>0,所以g)x>ko10,当kWO时，定义域为R；*20,当k>0时，若a>2,则函数定义域为(2k,+-)；(ii)若0vAv2vSPAN>,且aWl,则函数定义域为(-8,2k)；(111) 若a=2,则当OvKvlvSPAN,时，函数定义域为R；当kNl时，此时不能构成函数，否则定义域为。0例2,若Iogm3.5>k)gn3.5(m,n>0,且mWl,nWl),试比较m,n的大小。解：(1)当m>l,n>l时，:3.5>1,由对数函数性质：当底数和真数

25、都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，Jn>m>l。(2)当m>l,OvNvl<SPAN>时，Vlogm3.5>0,logn3.5<0,A0<N<l<M<SPAN>也是符合题意的解。(3)当O<M<1<SPAN>,O<N<1<SPAN,时，:3.5>1,由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故OvM<N<lvSPAN>。综上所述，m,n的大小关系有三种：l<M<NvSPAN或0<N<1<M<SPAN>或0<

26、M<N<l<SPAN>o例3.作出下列函数的图象：y=lgx,y=lg(-x),y=-lgx(2)y=lglxl(3)y=-l+lgx解：如图2；(2)如图3；(3)如图4o图4例4.函数y二f(2x)的定义域为-1,1,求产f(log2x)的定义域。11提示：由-1WxW1,可得y=f(x)的定义域为2,2,再由2<R)g2x<2得y=f(log2x)的定义域为也,4。呵例5.求函数y=，(-x2+2x+3)的值域和单调区间。logi解：设t=-x2+2x+3,则t=-(x-l)2+4,y=，t为减函数，且OvTvSPAN>W4,log4y22二-2

27、,即函数的值域为-2,+8)olog】再由：函数y=2(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1<X<3<SPAN。bgl工t=-x2+2x+3在(-1,1)上递增而在1,3)上递减，而y=，t为减函数。嘀J函数y=1(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为1,3)。例6.已知f(x)=ax-a-x(其中0<Avl)<SPAN。(1)求函数f(x)的反函数f-l(x)；(2)试判断函数f-l(x)的奇偶性，并证明你的结论。y+护+4解得ax=解：(1)设y=ax-a-x,贝lja2x-yax-l=0,ax>0,x=loga2

28、,x+x2+4(x eR)o2x+4所求函数的反函数f-l(x)=loga2-x+J/+4(2)x£R且f-l(-x)=loga2=logax+X2+4=loga(2)-l=-f-l(x)。J函数f-l(x)是奇函数。认/7)2例7,已知f(logax)二工避一L(a>0且aW1),试判断函数f(x)的单调性。解：设t=logax(x£R+,t£R)。当a>l时、t=logax为增函数，若tl<T2,贝U0<Xl<X2,以城-1)a(xl-1)0(百一麴)5万+D一af(ti)-f(t2)=T)%。2T)打勺，T),.<0<

29、;Xl<X2，a>l,；f(tl)<F(T2),，f(t)在R上为增函数,当OvAvlvSPAN>时，同理可得f(t)在R上为增函数。不论a>l或OvAvlvSPAN>,f(x)在R上总是增函数。例8.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+l)。(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围。分析：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax2+2x+l>0的解集于转化成常规问题。解：(l)f(x)的定义域为R, 当a=0时，此不等式变为

30、ax2+2x+l恒为正值是不等价的,一切实数，即要求u=ax2+2x+l数的图象的各种情况，如图5,卜)0当 aWO 时，有Q的取值范围为a>lo即：关于x的不等式ax2+2x+l>0的解集为R,2x+l>0,其解集不是R；(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+l能取遍一切正数a=O或Q>0=4-4a>0e0Wa01,Ja的取值范围为OWaWlo例9.已知函数h(x)=2x(x£R),它的反函数记作g(x),A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a,a+4,a+8(a>l),记ABC的面积为So求S二f(a)的表达式；(2

31、)求函数f(a)的值域;(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2,求a的取值范围。解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0),并且A、B、C三点的坐标分别为A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)，C(a+8,log2(a+8)(a>l),如图6。JA,C中点D的纵坐标为2(log2a+log2(a+8)2，S=2|BDI42=4IBDI=41og2(a+4)-21og2a-21og2(a+8)。(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=221og2(a+4)-log2a-log2(a+8)("4)216=21og2仪(4+8

32、)=21og2(l+J)。1625由于a>l时，a2+8a>9,/1<1+a+8<9,又函数y=log2x在(0，+°°)上是增函数，1625250v210g2(1+a23a)<21og29，即0<S<2LOG29。(3)S=f(a)在定义域(1,+°0)上是减函数，证明如下：任取al,a2,使l<Al<A2<4-0°,则:16(1+a2+a2)-(1+16113-)(为+“2+8)一J一-一一一,一+防)=16(W+眄才+防)=16(4+a32)(fl?+aal),由al>l,a2>

33、;l,且a2>al,/.al+a2+8>0,2+8a2>0,”1+8al>0,al-a2<0,16161<1+2曰的<1+al+孙，再由函数y=log2x在(0，)上是增函数，S=f(a)在(1,+8)上是减函数。(4)由S>2,即得3,2Q 4 & + 8)a >1解之可得：lvA-4 o课外练习：1 .已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是2x+b2 .已矢口函数f(x)=loga2x(a>0且aWl,bvO)。(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)指

34、出f(x)的单调区间；(4)求函数f(x)的反函数。3 .已知函数f(x)=lg(x+加/)_lg2,证明：(1)f(x)的图象关于原点对称；(2)f(x)为单调函数。4 .已知关于x的方程log2(x+3)-log4x2=a的解在区间(3,4)内，求实数的取值范围。参考答案：1) (1,2)bb2) (1)(-8,2)U(-2,+8)(2)奇函数bb3) )a>l时，f(x)在(-8,),2一，4-co)2h都是增函数，OvAvl<SPAN>时，f(x)在G8,2),(-2,+8)上都是减函数。咐+1)4) )f-1(x)=-1)(xW0,xeR)o3. (1)证明f(x)

35、为奇函数；(2)证明f(x)为R上的增函数。74. Iog24VA<1<SPAN。专题辅导对数与对数函数1 .本单元重、难点分析1)重点：对数的定义；对数的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。2)难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。2 .典型例题选讲例1.已知log23=a，3b=7,求log1256的值。讲解:先将3b=7转化为Iog37=b,然后设法将logl256化成关于log23和log37的表达式，即可求值。解法1:log23=a,：.2a=3o又3b=7,7=(2a)b=

36、2ab，故56=23+ab。又12=34=2a4=2a+2o12翳J+而3+就从而56= (2幅产=12忘故 Iogl256=logl2解法2:log23二a,/.Iog32=a,又3b=7,/.Iog37=b，S + 3,工 ,7 n31 + 2- a + 2 a从而log?56=10-37+log35=log?7+Rog32log312log33+logs4l+21og?2log1256=lg3解法3:log23二收2=/.Ig3=alg2,又3b=7,/.Ig7=blg3,/.Ig7=ablg2og56_31g2+1g7_31g2+abg2_3+ab从而k)gl256=31221g2+l

37、g321g2+alg22+“。说明：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例2.已知Ioga3>k)gb3>0,则a,b,1的大小关系是。讲解：由对数函数的性质可知，a>l,b>l,关键是判断a与b的大小，这可以利用对数函数的单调性来解决。解法1由bga3>bgb3>00惋3a惚代>0Iog3b>log3a>0OIog3b>log3a>log31。Vy=log3x是增函数，故b>a>

38、;lolg3lg3/""解法2由Ioga3>logb3>00收白电力>0。Vlg3>0,/.lga>0,lgb>0,J上式等价于gagb>0<=>lgb>lga>00lgb>lga>lgl。.y=lgx是增函数，故b>a>lo解法3分别作出y=logax与y=logbx的图象，然后根据图象特征进行推断。VIoga3>logb3>0,a>l,b>l,故y=logax与y=logbx均为增函数。XVIoga3>logb3>0,/.当x>l时，y=I

39、ogax的图象应在y=logbx图象的上方，如图所示。根据对数函数的图象分布规律，可知：b>a>lo说明：解法1利用了logab与logba互为倒数，转化为同底的对数，再利用单调性判断。解法2利用了换底公式。解法3利用了图象的特征。3.容易产生的错误1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且aW1,N>0,beR)容易记错。2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立。如：k)g2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5

40、)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的。二是不能将和、差、积、商、累的对数与对数的和、差、积、商、塞混淆起来，即下面的等式是错误的：Ioga(M±N)=logaM±logaN,Ioga(MN)=logaMlogaN,MlogaMloga=o3)解决对数函数y=logax(a>0且aW1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论。4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，学生应用时经常出错。下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考。以1为分界点,当a,N同侧时,logaN>0；当a,N异侧时,logaN&l

41、t;0o反馈练习一、选择题1 .设a,b,c为正数，且3a=4b=6c,则有()。1 112211222121a=«4MhJLA、cabb>cabc>cabd.cabA、B2第3第圉log 8 < 12.已知a 20<a<-20<a<-2 或 a>l,那么a的取值范围是()。B、-< a < 1C、2D、3 .图2中曲线是对数函数y=Iogax的图象，已知a值取啰篇，则3-591-10f4 - 33 - 5f(x)=log|x2-6x+5|4 .函数2的单调递增区间为()。A、(-8,3B、(-84)或3,5)C、3,+8)

42、D、(1,3)或(5,+8)5 .设偶函数f(x)=logalx-bl在(-8,0)上是增函数,则f(a+l)与f(b+2)的大小关系是()。A、f(a+l)=f(b+2)B、f(a+l)>f(b+2)C、f(a+l)<F(B+2)<SPAN>D、不能确定6 .设方程2x+x-3=0的根为a,方程k)g2x+x-3=0的根为B,则a+B的值是()。A、1B、2C、3D、6二、填空题：7 .已知函数y=bga(kx2+4kx+3),若函数的定义域为R,则k的取值范围是;若函数的值域为R,则k的取值范围是。8 .已知函数V+1：，仁&4),则f(bg23)的值为。9

43、 .已矢口&=0.331=30.3,<:=10830.3,(1二1080.33，则a,b,c,d的大小关系三、解答题:10.logac设logac,logbc是方程x2-3x+l=0的两根，求b的值。11.f(x)=+咱x+21+x1)解;M3第4题,善用图2)判断f(x)的单调性，并给出证明；若f(x)的反函数为f-1(x)，证明f-l(x)=0有唯一3)11解关于x的不等式22o12.光线通过一块玻璃板，其强度要损失10%,把几块这样的玻璃板重叠起来,为yo设光线原来的强度为a,通过x块玻璃板以后强度值1)试写出y关于x的函数关系式;1以下。2)通过多少块玻璃板以后，光线强度

44、减弱到原来的3答案：一、选择题1、B2、D3、A4、B5、B6、1.设3a=4b=6c=k,贝lja=log3k,b=log4k,c=log6k,1 10211-=:-r=*§-=logk4-=logk6小kg3k,同理b,cK-=i°Sk_=logk3+1%k2而2bc,loga>l2 .当a>l时，由2知2,故a>l；loga1<logaa0<a<-，故 2 o当OvAvlvSPAN时，由2知0<A<v:shapes="_x0000_il212”src=utgglsxO9.filesZimageO76.gif&#

45、39;0<a<:综上知：a的取值范围是2或a>lo0<-<14.因为2，所以只求出y=lx2-6x+5l的递减区间即可。f(x)的定义域为(-8J)U(l,5)U(5,+8)o作出y=lx2-6x+5l=l(x-3)2-4l的图象。如图3所示，由图象即可知。5 .由f(x)是偶函数，得b=0；又因为f(x)在(-8,o)上是增函数，得OvAvl.vXwSPAN>:所以OvA+kSPAN>,由f(x)在(0,+8)上是减it函数，得f(a+l)>f(b+2)图4第6留解尊用用6 .将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3,如图4所示，可知a

46、是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；8是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标。由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线产x对称，所以A,B两点也关于直线厂x对称，所以A(a,B),B(B,a)。注意到A(a,B)在直线y=-x+3上，所以有a+3,即a+B=3。二、填空题：要使函数的定义域为R,只需对一切实数x,kx2+4kx+3>0恒成立，其充要条件是k=O或16k -12k < 0,30<k<-解得k=O或4,故k的取值范围是4。要使函数的值域为R,只需kx2+4kx+3能取遍一切正数，则卜

47、>。，33A=16k2-12k>0解得7o故k的取值范围是7°18.24。V1<LOG23<2,3+log23>4,f(3+log23)=d)3+吟=d)%24又 丁 当 x<4 时，f(x+1 )=f(x),，f(log23)=f(l+log23)=f(2+k)g23)=f(3+k)g23)二24.9. b>a>d>c, ' V3>1, 0<0.3<l, 又: b=30.3>l,V0.3>0, 3>0,/.a=0.33>0, b=30.3>0.,/.c=log30.3<

48、;0, d=log0.33<0a=0.33<l,/ b>a三、10.1=log 3 0.3 < log3 - = _10 i d=log03 3 >log03- = -l .5, . .d>c.解答题:Jlogac + logbc = 3r 依题意得：l10gaC，l°SbC = 1,Jogc a4ogcblog c a + log c b = 3, logcatlogcb = l1.(logca-logcb)2 = Qogca + 脸旷 -4脸 a-logcb = 32-4 = 5o .logca-logcb = +5 YVof 1 1log a

49、 C =b logc- logca-bgcb故b11.U>0,1）由I'".。得_ivx<>所以f（x）的定义域为1设-1vX1vX2<1,则 f(xl)-f(x2)二 臼 乙+电*(一+1g1+ % 町 + 21-X21F叼一町（X + 2）肉 + 2）一卬（1+町）%（1+句）”叼）,又因为(l-xl)(l+x2)-(l-x2)(l+xl)=(1-xl+x2-xlx2)-(l+xl-x2-xlx2)=2(x2-xl)>0,(l-xl)(l+x2)>0,(l+xl)(l-x2)>0,（1.2）（1+彳2）所以（1+）（1-福）kEX

50、）0一0所以（1+AjXl-Zj），又易知（血+2炳+2）,/.f（xl）-f（x2）>0,即f（xl）>f（x2）.故f（x）在Gl,l）上是减函数。f（O）=l+lgl=l1心=0X2）因为,22,所以2,即f-1（x）=o有一个根2o1x。w一假设f-l（x）=O还有一个根2,则f-l（xO）=O,f（O）=MT即2，这与f（x）在（-1,1）内单调递减相矛盾。1X=-故2是方程f-i（x）=o的唯一解。f（o）4（-3<«0）3）因为2,所以2o0<x（z-）<1又f（x）在G1,1）上单调递臧，所以2。一1一而的“11+炳xe（；，O）UJ&#

51、39;）解得424。12.1经过1块玻璃板后光线强度为：（l-10%）a=0.9a；经过2块玻璃板后光线强度为：（1-10%）09a=0.92a；经过3块玻璃板后光线强度为：（1-10%）O92a=0.93a；经过x块玻璃板后光线强度为：O.9xa.所以，y=O.9xa（xeN+）.0.9,43o,9x<-2由题意可知：3,3,两边取常用对数得：xlg0.9又一11.10 421g 0.9故xmin=l1.答：需要11块以上玻璃板重叠起来，光线强度减弱到原来的I以检测题1、在b=bg(a-2)(5-a)中，实数a的范围是()A、a>5或a<2B、2<A<a<

52、3或3<a<a<4<FONT>的值是()B、D、23、logab=logba(aWb),则ab=(A、1 B 、2D、44、若 lg2=a , .2abA1 +。i方程2吗"lg3=b ，则 log512 等于(1 + a=1的解是() 41 -dr9D.xs96、己知log川Og«0g2X)卜0,那么X2等于A-BC-J3.2招.2,127、y=(0.2)-x+l的反函数是()A、y=log5x+1(x>0)B>y=log5x+l(x>0且xWl)Cy=log5(x+1)(x>-1)Dny=log5(x-l)(x>

53、;l)8、已知y=loga（2-ax）在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（）A、(0,1)B、(1,2)C、(0,2)D、2,+8)9、若OvAvl,则LOG3(log3a)是()A、正数B、负数C、零D、无意义10、已知a=log32,那么Iog38-21og36用a表示是()A.a-2B.5a-2C.3a-(l+a)2D.3a-a2-l11、若Iog2log0.5(log2x)=0,贝Ix=o12、计算Q)产+国；1+：庶0.36+：庶823收5420+做2广答案：15CAACADBDA610C11/212、(1)原式=1；(2)原式二1。指数函数指数函数的一般形式为y=a八x（a&

54、gt;0且不=1）,从上面我们对于事函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数y=aN中可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于。的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0一般也不考虑。(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。(3)函数图形都是下凹的。(4)a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递臧的。(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从。趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴

55、的正半轴的单调递臧函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线厂1是从递减到递增的一个过渡位置。(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。(7)函数总是通过(0,1)这点(8)显然指数函数无界。(9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。(10)当两个指数函数中的a互为倒数是，此函数图像是偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是臧函数？说明理由.(l)y=4Ax因为4>1,所以y=4N在R上是增函数；(2)y=(l/4)Ax因为Ovl/4<1,所以y=(l/4)Ax在R上是减函数对数的概念如果a(a>0,且a*l)的b次号等于

56、N,SPab=N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN二b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：负数和零没有对数；a>0且a*l,N>0;1a特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log 10N,简记为lgN ;以无理数e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数，记作logeN,简记为InN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幕值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>O,aWl,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM(n£R).自然对数到底有什么用？自然对数当x趋近于正无穷或负无穷时，l+(l/x)rx的极限就等于e,实际上e就是通过这个极限而发现的。它是个无限不循环小数。其值约等于2.718281828.它用e表示以e为底数的对数通常用于In而且e还是一个超越数e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子