《柯西不等式》学案一_第1页
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文档简介

1、变式 2.若a,b,c,d R，则.a2b2c2d2. (a -c)2(b -d)2；柯西不等式学案(一)【学习目标】1 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义；2 .会证明二维柯西不等式及向量形式【问题导学】阅读课本 31 页一 33 页，探究下列问题：1. 定理 1 如果a,b R,那么a2 b2_2ab.当且仅当a = b时,等号成立.当a 0,b 0时，由a2，b2_2ab=基本不等式： _2.柯西不等式： 若a,b,c,dR，则(a2b2)(c2d2)(ac bd)2.当且仅当_时，等号成立此即二维形式的柯西不等式证法一：(比较法)证法二.(综合法)(a2 b2)(c2 d

2、2) = a2c2 a2d2 b2c2 b2d2=(a2c2+_ +b2d2)+(a2d2_+b2c2)=()2+()2(ac + bd)2当且仅当_ 时，等号成立证法三.(向量法)设向量m=(a,b)，n =(c,d)，两向量的夹角是二则|m|二，|n|=耳片一 T “/mn=_ (坐标表示)，且 mn =| m| | n|o 日，而 coS_二 有|mn|_|m| | n|，即 _两边平方有 _ 得证.3. 二维柯西不等式的变式：变式 1.若a,b,C,d R，则.a2b2. c2d2| ac bd |变式 2.若a,b,c,d R，则.a2b2c2d2. (a -c)2(b -d)2；或.a2b2c2d2ac bd ；变式 3.若x1, y1, x2,y R，贝UJx：+此寸(儿一X2) +(%y?).几何意义：_【问题探究】上面几个变式的等号何时成立？【课堂训练】1. 证明：(x2y4)(a4b2) _ (a2x by2)22. 求函数 y =2 一 1-x .2x-1 的最大值，并求此时的 x 值。3. 设a,b R，且ab2=10，求3a b的最大值与最小值，并求此时的a,b值

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