平面向量与三角形四心问题

1、平面向量与三角形四心问题平面向量基本定理与三角形四心已知。是ABC内的一点，BOC,AOC,AOB的面积分别为Sa,Sb,Sc,求证：S?OASb?OBSc?OC0如图2延长OA与BC边相交于点BDDCSABDSBODSABDSACDSCODSaCDSbodScod*r)cpOD吆OBBCBDBCOC邑OBSbScSbScOCODOASbodSBOASCODSBODSCODSASCOASBOASCOASBSCODOASBSCOASBSCSBSbSCOBSBScSCOCSa?OASb?OBSc?OC0推论o是abc内的一点）且X?oAy?oBZ?oC0,贝JSboc:Scoa:Saobx:y:z

2、有此定理可得三角形四心向量式0是ABC的重心SB0C：Scoa:Saob1:1:10AOBOC00是ABC的内心?-KSboc:Scoa:Saoba:b:ca?0Ab?0Bc?0C00是ABC的外心SBOC：SCOA：Saobsin2A:sin2B:sin2csin2A?OAsin2B?OBsin2C?OC0O是ABC的垂心Sboc：Scoa：SaobtanA：tanB:tanCtanA?OAtanB?OBtanC?OC0如图。为CD ,tanB CD tan A: tanB AD tanADB角形的垂心,DB: ADS boc ：S COA DB : ADS BOC ： S COA tan

3、A:tan B同理得S coa ： S aob tan B :ta nCS BOC ： S AOB tan A: tanCSboc:Scoa:SaobtanA:tanB:tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向M问题?知识梳理:四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题1已知G是ABC所在平面上的一点，若GAGBGCo)则G是ABC的

4、(A.重点B.外心C.内心D.垂心O2已知o是平面上一定点, 的三个点，动点p满足。A B, C是平面上不共线uuuuuu uuurOA(AB AC),(0,)则P的轨迹一定通过ABC的（）.A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由题意AP（ABAC）,当（°,）时，由于（ABAC）表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图.3 .0是么ABC所在平面内一点，动点 P满足=AC: 止 | AB|ginB 丘（入？（0,+x）,则动点P的轨迹一定通过AABCB（）A.内心B.重心C.外心D.垂心解：作出如图的图形AD±BQ由于|!|SinB

5、=|正|sinC=AD,I*ACX*?OP二皿"（一4严牛一）=曲切八（扭+抗）|ab|sinb|ac|sinc1P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过AABC的重心故选：B.与“垂心”有关的向量问题3P是AABC所在平面上一点，PAPBPBPCPCPA，则P是AABC的（）A.重点B.外心C.内心D.垂心&刀，uuruuuuuuULWZttULUlULUULU口仃UUUULICI【解析】由PAPBPBPC，得PB（PAPC）0，即PBCA0，UUCuuruuiuuuuuuuuuu所以PB±CA?同理可证PC，AB)PA±BC.P是ABC.如图C图C是平

6、面上不共线uuuuurfABAC-AB cosB AC cosCP4已知。是平面上一定点，AB,的三个点，动点P满足opouu(0,),则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由题意APuuu-M-Ab-ABcosBLUUT-uuACACcosCuu由于BhuuuruutACcACcosCUUUTBC0,uuuuuu即冲2ABcosBUULTuuuACBCUUcosCuuuuBCuuiuCB。，所以AP表示垂直于器的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通ABC的垂心，如过图.H为ABCuuBC隅2|CA2UU2HC所在平面内一点，且U

7、UAB则点H是AABC的()A.重点B.外心C.内心D.垂心证明 :Q HA HB CA BC(HAHB)?BA(CACB)?BA得(HAHBCACB)?BA0即(HCHC)?BAoABHC同理ACHB,BCHA,故H是MBC勺垂心与“内心”有关的向量问题6已知I为ABC所在平面上的一点，且ABmuuurBCa.右alAbIBcIC0)NITHABC的().uuuuuuu?IBIAABuuuuuuuur',冬IA AC,则由题意得.uuu uuur uuuruuubAB cAC AC ABuuu uuur AB ACuu uu ur u AC ABuuu uuurAB AC I II

8、IT 1HULKJ IAB AC.uur? AIuuu uuurbe AB ACutuA i-uuuH a b e AB ACuuuuufAB与AC分别为AB和AC方向上的单位向量，？ ？ uu'与/BAC平分线共线，即AI平 分 BAC .同理可证：BI平分ABC , CI平分ACB .从而是 ABC的 内心，如图.7已知。是平面上一定点，A B, C是平面上不共线 的三个点，动点P满足OP OA AB AC(0,),则动点P的轨迹一AB AC ABC(abc)IAbABcAC0,A.重点B.外心C.内心D.垂心【解析】由题意得AP:AB AC uu UU u LTAB AC? ?当

9、(0,)时AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量,故动点P的轨迹一定通过ABC的内心,如图.8若O在ABC所在的平面内:ABC|CA| |CB|反赫0A*(|AC|1ABI>°£C|BC|IBAI的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心的模等于1,因而向MaTiBC -pi rllBC I丝一等都是单位向另bc n由向M肯、芒T为邻边构成的四边形是菱形,阪？（）二0|AC|AB|可得AO在/BAC的平分线上同理可得OB平分/ABCOA平分/ACB?0是AABC的内心.故选：C.与“外心”有关的向量问题8已知。是AABC所在平面上一点）若OA2OB2OC2,。是 A A

10、BC 的（）.uuuOA图【解析】若UOA2 UOBuu uuu urOB OCuuu2OAuuu2OBuuur2OC则O是A ABC的外心,如图9已知o是平面上的一定点,共线的三个点uuuuuuruuuOPOBOCABAC2-ut*utiturABposBACposCA B, C是平面上不 动点P满足(0,),则动点P的轨迹一定通过ABC的0A.重点B.外心C.内心D.垂心uuuuuur【解析】由于。B严过BC的中点，当(0,)时，uuuumr选-bACLc表示垂直于Buu的向量(注意：理由见二、4条解释o),所以P在BC垂直平分线上,动点P的轨迹一定通过ABC的外心，如图四心的相互关系1

11、.三角形外心与垂心的向量关系及应用设AABC的外心为0,则点H为AABC的垂心的充要uujnuuuuuuuuu条件是OHOAOBOCo2 .三角形外心与重心的向量关系及应用设AABC的外心为0,则点G为ABC的重心的充要条口uuir1uuuuuuuuirOG（OAI七OBOC）3 .三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设AABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H,则O、且OG-GHoH三点共线O、G、H三点连线称为欧拉线），相关题目10.设ABC外心为O,重心为G.取点H,使OA+OB+OC=OH.求证：（1）H是AABC的垂心；（2）O,GH三点共线，且OGGH=12.【解答】证明：（1）v八ABC外心为O,/.|O