中考复习-多种函数交叉综合问题(答案)

1、学习必备欢迎下载【例 1】将直线 y=4x 沿 y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点 A9,0，与双曲线I4丿ky (x ? 0)父于点、Bx求直线AB的解析式；若点B的纵标为 m，求k的值(用含有 m 的式子表示).【思路分析】 这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套 题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立 即可。比较简单，看看就行【解析】将直线y =4x沿y轴向下平移后经过 x 轴上点 A (-,0),49设直线 AB 的解析式为y =4x b.则4 b=0解得b-9.4直线 AB 的解析式为y =4x -9

2、.(2)设点B的坐标为 xB,m , 直线AB经过点B,k点B在双曲线yx 0 上，mx., m2+9mk =4【例 2】如图，一次函数 ykx b 的图象与反比例函数 y-的图象相交于 A、B 两点. x(1) 求出这两个函数的解析式；m +9m =4xB- 9.XB=4B点的坐标为图 3学习必备欢迎下载(2)结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时,yi:：学习必备欢迎下载【思路分析】 第一问直接看图写出 A , B 点的坐标(-6,-2) (4,3)，直接代入反比例函数中求m,建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实

3、上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求：y2的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用 这方面的意识去解题。【解析】y2=的图象经过点 B(4, 3), 3 =.x4yi=kxF 的图象经过点 A(-6, - 2) ,B(4, 3),1k i解得 一 2 二一次函数解析式为 yi =丄x 1 .2b “(2 )当 0 x4 或 x 6 时，：丫2 .【例 3】已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数 y的图象交于点 A 3,2 .x(1) 试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象回答，在第一象限内，当 x

4、 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3) Mm, n 是反比例函数图象上的一动点，其中 0 :m ：3，过点M作直线MBIIx轴，交y轴于点B;解：(1)由图象知反比例函数/ m=12.反比例函数解析式为12y2 x由图象知一次函数-6kb -2,4k b =3.学习必备欢迎下载过点A作直线 ACIIy 轴交 x 轴于点C，交直线MB于点D.当四边形OADM的面 积为 6 时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由.【思路分析】 第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图 像去分析两个函数的大小关系， 考生需要对坐标系有直观的认识。 第三问略有难度，

5、 一方面需 要分析给出四边形 OAD的面积是何用意，另一方面也要去看 BM,DM 和图中图形面积有何关系.视 野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分，直接求出矩形面积即可.部学习必备欢迎下载分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看，从而没有想到思路，失分可惜.【解析】k解：(1 )将 3,2 分别代入y=ax中、=，得2=3a, 2反比例函数的表达式为： y；正比例函数的表达式为x0：x：3时，反比例函数的值大于正比例函数的值.1-mn = 3，即 SABMO 3. -AC I OC,2 -1二 SAAOC=丄 3 2 =3. SOCDB=3 36 =12 .(很巧

6、妙的利用了和的关系求出矩形面积)2126 33- BO4. BM. DM=3 BMBM3BO 22【例 4】已知：y =ax与 y两个函数图象交点为 P m,n，且 m：n , m、n 是关于 x 的一x元二次方程 kx22k -7 x k3=0 的两个不等实根，其中k为非负整数.(1)求k的值；(2)求a、b的值;(3) 如果 y=cc= 0与函数y二ax和 y =山 交于AB两点(点A在点B的左侧)，线段x3AB ，求 c 的值.2【思路分析】 本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出 k 的范围，加上非负整数这一条件得出k 的具体取值。代

7、入方程即可求出 m, n,继而求得解析式。注意题中已经给定mn,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方3程代入以后将 A,B 表示出来，然后利用 AB=3构建方程即可。2【解析】(1) 二(2k7 2 4k(k+3)A0, kc49I k 为非负整数， k=0,1402 kx 2k-7x k 3=0 为一元二次方程，.k =1把 k=1代入方程得 x 5x 4 = 0,解得为=1, X2=4 ,Tm : n , /. m =1, n = 4 把 m =1 n 二 4 代入y=ax与 y 二一 -，可得 a 二 4, b 二 1x把 y 二 C 代入 y =4x 与 y,可得AC,c , B4,c

8、，由 AB 崇，可得 4 一二卫x丿丿2c 423 a ,k= 6 .3(2)观察图象得，在第一象限内，当(3)BM =DM.理由：Inm学习必备欢迎下载解得 G =2,C2-8，经检验 q =2,q - -8 为方程的根。 q=2, c - -833【例 5】已知：如图，一次函数 y 二x 5 与反比例函数 y 二的图象在第一象限的交点为3xA(1, n).(1) 求 m 与 n 的值；(2) 设一次函数的图像与 x 轴交于点B，连接OA，求.BAO的度数.【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其 他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特

9、定角的三角函数方面，需要考生思 维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B 具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而/ BAO= / ABO,然后求出/ BAO即可。13一/3解：(1)点A(1,n)在双曲线 y=上，n = . 3 ,又 A(1, 3)在直线 y - x-m 上，x32罷.m3(2)过点 A 作 AM 丄 x 轴于点 M.直线 y 二乜与 x 轴交于点B解得X2.3333点B的坐标为(-2,0) OB=2点A的坐标为(1,J3) , . AM =J3,OM =1.在 RtAOM中， AMO =90,tanZAOM 二

10、如=.3 . . AOM =60.-OM1由勾股定理，得OA=2.OA=OB.OBA/BAO. BAO 二丄AOM =30 .学习必备欢迎下载2【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几 个考点：1给交点求解析式；2, y 的比较，3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问 题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y 的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这 类问题不难，做好细节就可以取得全分。学习必备欢迎下载第二部分发散思考【思考 1】如图，A、B 两点在函数y=mx

11、.0的图象上.X(1) 求m的值及直线 AB 的解析式；(2) 如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点 接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数。【思路分析】 由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的 边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用1-6 的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。【思考 2】如图，一次函数y = kx b的图象与反比例函数于两点，直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点.(1) 求上述反比例函数和一次函数的解析式；AD(2) 求的值.CD【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例

12、关系, 考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形， 所以需要从 A 引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。【思考 3】已知：关于 x 的一元二次方程 kx2+ (2k 3)x+k 3 = 0 有两个不相等实数根(k0).(I) 用含 k 的式子表示方程的两实数根；(II)设方程的两实数根分别是x1,x2(其中x1x2)， 若一次函数 y=(3k1)x+b 与反比例 函数 y =-的图像都经过点(，kx?)，求一次函数与反比例函数的解析式.x【思路分析】 本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解 析式。第一问求根，直接求根

13、公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方 程组，认真计算就可以。请直的图象交A -3,1、B(2,n)x学习必备欢迎下载8【思考 4】如图，反比例函数y的图象过矩形 OABC 勺顶点 B, OA 0C 分别在 x 轴、y 轴的x正半轴上，OA 0C=2: 1.学习必备欢迎下载. 1 k二21解得2,. 一次函数的解析式为丄x_ |.122b二L2(1) 设矩形 OABC 的对角线交于点 E,求出 E 点的坐标；(2) 若直线y =2x平分矩形 OAB(面积，求m的值【思路分析】 本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图， 通过比例可以很轻易发现 B

14、 点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题, 平分面积意味着一定过 B 点，代入即可。第三部分思考题解析【思考 1 解析】(1)由图象可知，函数y=m(x 0)的图象经过点xA(1,6)，设直线AB的解析式为y二kx bA(1,6)k b=6,6k b =1.解得k=1,b=7.直线AB的解析式为y - -x 7(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是【思考 2 解析】(1)把x-3,y=1代入y =m，得：m = -3.x3把x = 2,y = n代入y得n = -x反比例函数的解析式为把x -3,y = 1；x = 2,y323分别代入2-3k b =1y =kx b得3,2k b =I. 23y二一一学习必备欢迎下载1 1由一次函数的解析式为y x得C点的坐标为2 2(2)过点A作AE _ x轴于点E. ：A点的纵坐标为1,AE=1.0,-2,OC学习必备欢迎下载在RtOCD和RtAEAD中，.COD二.AED二Rt.,. CDO二.ADE,ADAERtAOCDsRtAEAD.2.CD CO【思考 3 解析】 解：(I) kx2+(2k 3)x+k 3 = 0 是关于 x 的一元二次方程. ；. =(2k -3)2-4k(k-3) = 9由求根公式，得，x=1