陈文登考研数学辅导书(附带详细答案,word版本).doc

1、函数 极限 连续一. 填空题1设 , 则a = _.解. 可得 = , 所以 a = 2.2. =_.解.   < < 所以  < < , (n®¥), (n®¥)所以  = 3. 已知函数     , 则ff(x) _.解. ff(x) = 1.4. =_.解.         = 5. =_.解. 6. 已知 (¹ 0 ¹ ¥), 则A = _, k = _.解. 所以

2、  k1=1990,   k = 1991;  二. 单项选择题1. 设f(x)和j(x)在(¥, +¥)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ¹ 0, j(x)有间断点, 则(a) jf(x)必有间断点 (b) j(x)2必有间断点 (c) f j(x)必有间断点 (d) 必有间断点解. (a) 反例      ,  f(x) = 1, 则jf(x)=1(b) 反例      , j(x)2 = 1(c) 反例  &

3、#160;   ,  f(x) = 1, 则f j(x)=1(d) 反设  g(x) = 在(¥, +¥)内连续, 则j(x) = g(x)f(x) 在(¥, +¥)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数 , 则f(x)是(a) 偶函数   (b) 无界函数   (c) 周期函数   (d) 单调函数解. (b)是答案.3. 极限 的值是(a) 0     (b) 1    (

4、c) 2    (d) 不存在解. = , 所以(b)为答案.4. 设 , 则a的值为(a) 1    (b) 2    (c)     (d) 均不对解. 8 = =      = ,   , 所以(c)为答案.5. 设 , 则a, b的数值为(a) a = 1, b =    (b) a = 5, b =    (c) a = 5, b = &

5、#160;  (d) 均不对解. (c)为答案.6. 设 , 则当x®0时(a) f(x)是x的等价无穷小        (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x较低价无穷小        (d) f(x)比x较高价无穷小解. = , 所以(b)为答案.7. 设 , 则a的值为(a) 1    (b) 1    (c) 2  &

6、#160; (d) 3解. , 1 + a = 0, a = 1, 所以(a)为答案.8. 设 , 则必有(a) b = 4d    (b) b =4d    (c) a = 4c    (d) a =4c解. 2 = = , 所以a =4c, 所以(d)为答案.1. 求下列极限(1) 解. (2) 解. 令 = (3) 解.     =     = = .2. 求下列极限(1) 解. 当x®1时, , . 按照等价无穷小代换 

7、;   (2) 解. 方法1：= =      = =      =      =      =      = 方法2：     = =      = =      =      =    

8、  = 3. 求下列极限(1) 解.     (2) 解.      (3) , 其中a > 0, b > 0解.             = 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. ,  所以x = 0为第一类间断点.(2) 解.    显然 , 所以x = 1为第一类间断点;, 所以x = 1为第一类间断点.(3)     解. f(+0) =sin1,

9、 f(0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;   不存在. 所以x = 1为第二类间断点;   不存在, 而 ,所以x = 0为第一类可去间断点;   , (k = 1, 2, ) 所以x = 为第二类无穷间断点.5. 设 , 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求a, b.解.  x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求    存在. 所以    . 所以    0 =     = &#

10、160;   所以a = 1.       = 上式极限存在, 必须 . 6. 设 , b ¹ 0, 求a, b的值.解. 上式极限存在, 必须a = (否则极限一定为无穷). 所以       = .  所以 .7. 讨论函数    在x = 0处的连续性.解. 当 时不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当 时, 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.8. 设f(x)在a, b上连续, 且a <

11、 x1 < x2 < < xn < b, ci (i = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使  .证明: 令M = , m = . 不妨假定 所以  m £ £ M所以存在x( a < x1 £ x £ xn < b), 使得 9. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)x, 则F(a) = f(a)a < 0,

12、F(b) = f(b)b > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 £ f(x) £ 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设 . 所以 恒大于0或恒小于0. 不妨设 . 令 , 则 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明

13、: 假设F(x) = f(x)g(x), 则F(a) = f(a)g(a) < 0, F(b) = f(b)g(b) > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.12. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x53x2, 则F(1) =4 < 0, F(2) = 24 > 0所以  在(1, 2)内至少有一个x, 满足F(x) = 0.13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 .解. . 所以    . f(x)在x = 0的某领域

14、内二阶可导, 所以 在x = 0连续. 所以f(0) = 3. 因为    , 所以 , 所以            =     由 , 将f(x)泰勒展开, 得    , 所以 , 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)倒数与微分一. 填空题(理工类)1. , 则 = _.解. , 假设 , 则    ,

15、所以 2. 设 , 则 _.解. ,  3. 设函数y = y(x)由方程 确定, 则 _.解. , 所以    4. 已知f(x) =f(x), 且 , 则 _.解. 由f(x) =f(x)得 , 所以 所以  5. 设f(x)可导, 则 _.解.      = + = 6. 设 , 则k = _.解. , 所以 所以 7. 已知 , 则 _.解. , 所以 . 令x2 = 2, 所以 8. 设f为可导函数, , 则 _.解. 9. 设y = f(x)由方程 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0,

16、1)处的法线方程为_.解. 上式二边求导 . 所以切线斜率      . 法线斜率为 , 法线方程为            ,  即  x2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件   (b) 充分但非必要条件   (c) 必要但非充

17、分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以 = , 于是=        = = =        = = 所以  ,  2f(0) = 0,  f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以=        = = = =        = = = 所以 存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有

18、任意阶导数, 且 , 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a)    (b)    (c)    (d) 解. , 假设 = , 所以    = , 按数学归纳法    = 对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导      (b) f(x)在x = 1处

19、可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b  (d) f(x)在x = 1处可导, 且 ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入 = , 所以. (d)是答案注: 因为没有假设 可导, 不能对于 二边求导.4. 设 , 则使 存在的最高阶导数n为(a) 0    (b) 1    (c) 2    (d) 3解.    .             所以n = 2

20、, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) 1    (b) 0    (c) 1    (d) ¥解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以 . (b)是答案.6. 设    在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0   (b) a = 0, b为任意常数   (c) a = 0, b

21、 = 0   (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以     , 所以b = 0.     , , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在.     (b) 存在.(c) h)存在.      (d) 存在.解. 由 存在可推出(a)中的极限值为 , (b)中的极限值为 - ,

22、(d)中的极限值为 , 而(c)中的极限为:     ;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定 存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在 排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定 存在, 举反例如下:    , 排除(d). 所以(b)是答案. 由(b)推出 存在证明如下:                   

23、0;  = = 所以 存在.8. 设函数f(x)在(¥, +¥)上可导, 则(a) 当 时, 必有 (b) 当 时, 必有 (c) 当 时, 必有 (d) 当 时, 必有 解. (a)不正确. 反例如下: y = x;  (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为 , 所以对于充分大的x, 单增. 如果 , 则证明结束, 否则 单增有上界, 则 存在(k为有限数). 任取x, 在区间x, x + 1上用拉格朗日定理       &#

24、160;    (x < x < x + 1)令x ® +¥, 于是0 = +¥, 矛盾. 所以 .9. 设函数f(x)在x = a处可导, 则函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是(a) f(a) = 0且 .       (b) f(a) = 0且 .(c) f(a) > 0且 .       (d) f(a) < 0且 .解. (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排

25、除(a);  (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0, , |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c);  (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明 不存在. 不妨假设 . . 所以存在d, 当x Î (ad, a + d)时 . 所以当x > a时, f(x) > 0. 于是 . 当x < a时f(x) < 0. 于是 . 所以 不存在.三. 计算题(理工类)1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解.  

26、0;    = 3. 设y为x的函数是由方程 确定的, 求 .解.     , 所以 4. 已知 , 求 .解. ,      5. 设 , 求 解. ,         6. 设函数f(x)二阶可导, , 且 , 求 , .解. , 所以 =3.    所以   7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组 确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以   所以&#

27、160; .    所以  . 在t = 1的曲率为     四. 已知    , 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求 .解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以     , 所以    , 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以       &#

28、160;      = (2) 方法1:         = =          =     (0 < x < x)         = 所以       方法2:    &#

29、160;    = =          = = 五. 已知当x £ 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时         二阶可导.解. F(x)连续, 所以 , 所以c = f(0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以 连续, 所以b = , 且      存在, 所以 , 所以   , 所以 

30、0; 六. 已知 .解.         ,   k = 0, 1, 2,     ,   k = 0, 1, 2, 七. 设 , 求 .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式               = 所以  一元函数积分学一. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 3. 解. 方法一: 令 ,   

31、60;                     = 方法二:               = = 二. 求下列不定积分:1. 解.           = 2. 解. 令x = tan t, 

32、;              = 3. 解. 令           = 4.   (a > 0)解. 令                  = 5. 解. 令       

33、          =             =             =             = 6. 解. 令       &#

34、160;           = 三. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 令 ,                   = 四. 求下列不定积分:1. 解.      =      =       2. 解

35、. 五. 求下列不定积分:1. 解.                               2. 解.       =     3. 解.       4. 解.   

36、60; 六. 求下列不定积分:1. 解.     =            =     =     =     = 2. 解.     = 3. 解.      七. 设   , 求 .解.              

37、考虑连续性, 所以         c =1+ c1,  c1 = 1 + c       八. 设 , (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令 , , 所以           = 九. 设当x ¹ 0时, 连续, 求 .解.       =     

38、  = + = +c.十. 设 , 求f(x).解.令   , 所以    所以   十一. 求下列不定积分:1. 解. 令          = 2. 解. 令         = 3. 解. +       = = 4.   (a > 0)解.           =

39、  =   =   =   =   = 十二. 求下列不定积分:1. 解.           = 2. 解.    =    =    = 一若f(x)在a，b上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数F(x), 均有 , 则f(x) º 0.证明: 假设f(x)¹ 0, a < x < b, 不妨假设f(x) > 0. 因为f(x)在a，b上连续, 所以存在d > 0,

40、使得在xd, x + d上f(x) > 0. 令m = . 按以下方法定义a，b上F(x): 在xd, x + d上F(x) = , 其它地方F(x) = 0. 所以       .和 矛盾. 所以f(x) º 0.二. 设l为任意实数, 证明: = .证明: 先证: = 令 t = , 所以              = 于是= 所以   = .所以  

41、60; 同理    .三已知f(x)在0，1上连续, 对任意x, y都有|f(x)f(y)| < M|xy|, 证明              证明: ,      四. 设 , n为大于1的正整数, 证明: .证明: 令t = , 则 因为  > 0, (0 < t < 1). 所以 于是   立即得到   &#

42、160;  五. 设f(x)在0, 1连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < a < b < 1的任何 a, b, 有             证明: 令 (x ³ a), ., (这是因为t £ a, x ³ a, 且f(x)单减).所以  , 立即得到 六. 设f(x)在a, b上二阶可导, 且 < 0, 证明:     

43、60;       证明: "x, tÎa, b, £ 令 , 所以 二边积分                          = .七. 设f(x)在0, 1上连续, 且单调不增, 证明: 任给a Î (0, 1), 有   

44、          证明: 方法一: 令 (或令 )        , 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) ³ F(0) = 0. 即       , 即        方法二: 由积分中值定理, 存在xÎ0, a, 使 ;由积分中值定理, 存在hÎa,

45、1, 使 因为 .所以                    八. 设f(x)在a, b上具有二阶连续导数, 且 , 证明: 在(a, b)内存在一点x, 使     证明: 对于函数 ，用泰勒公式展开：       "t, x Î a, b      

46、60;                    =    (1)(1)中令x = a, t = b, 得到                 (2)(1)中令x = b, t = a, 得到    

47、60;               (3)(3)(2)得到  于是                        = 注: 因为需要证明的等式中包含 , 其中二阶导数相应于(ba)的三次幂, 所以将 泰勒展开; 若导数的

48、阶数和幂指数相同, 一般直接将f(x)泰勒展开.九. 设f连续, 证明:   证明:      = 所以  2   即    十. 设f(x)在a, b上连续, 在a, b内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证:               ,  (a < x < b)证明: , 所以  

49、  , 即  ;即  所以 即    ,  (a < x < b)十一. 设f(x)在0, 1上具有二阶连续导数 , 且 , 试证:           证明: 因为（0，1）上f(x) ¹ 0, 可设 f(x) > 0因为f(0) = f(1) = 0$x0 Î (0,1)使  f(x0) = (f(x)所以 >      

50、;     （1）在（0，x0）上用拉格朗日定理      在（x0, 1）上用拉格朗日定理    所以（因为 ）所以 由（1）得十二设f(x)在a, b上连续, 且f(x) > 0,则       证明: 将lnx在x0用台劳公式展开     （1）令      x = f（t）   代入（1）将上式两边取 ，

51、最后一项为0，得十三. 设f(x)在0, 1上有一阶连续导数, 且f(1)f(0) = 1, 试证:                 证明: 十四. 设函数f(x)在0, 2上连续, 且 = 0, = a > 0. 证明: $ x Î 0, 2, 使|f(x)| ³ a.解. 因为f(x)在0, 2上连续, 所以|f(x)|在0, 2上连续, 所以$ x Î 0, 2, 取x使|f(x)| = max

52、 |f(x)| (0 £ x £ 2)使|f(x)| ³ |f(x)|. 所以        一. 计算下列广义积分:(1)    (2)    (3) (4)       (5)          (6) 解. (1) (2) (3) 因为 , 所以 积分收敛.所以=2 (4) (5)

53、(6) 微分中值定理与泰勒公式一. 设函数f(x)在闭区间0, 1上可微, 对于0, 1上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且 , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在x Î (0, 1), 使F(x) = 0. 假设存在x1, x2 Î (0, 1), 不妨假设x2 < x1, 满足f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是   x1x2

54、= f(x1)f(x2) = . (x2 < h < x1). 所以 , 矛盾.二. 设函数f(x)在0, 1上连续, (0, 1)内可导, 且 . 证明: 在(0, 1)内存在一个x, 使 .证明: , 其中x1满足 .由罗尔定理, 存在x, 满足0 < x < x1, 且 .三设函数f(x)在1, 2上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使  .证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 < x1 < 2, 满足 . 所以 .所以存

55、在x, 满足1 < x < x1, 且 .四. 设f(x)在0, x(x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使   .证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在0, x上使用柯西定理      ,  x Î (0, x)所以  , 即 五. 设f(x)在a, b上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个x Î (a, b), 使   &

56、#160;      证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令 . 在a, b上使用拉格朗日定理      六. 设函数f(x), g(x), h(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个x Î (a, b), 使            证明: 令 , 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个x Î (a, b), 使&

57、#160;           七. 设函数f(x)在0, 1上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个x Î (0, 1), 使             证明: ( , 二边积分可得 , 所以 )令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在h Î (0, 1), . 所以F(h) = F(1) = 0, 所以存在 x 

58、6; (h, 1), . 立即可得 八. 设f(x)在x1, x2上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个x, 使             证明: 令 , 在x1, x2上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满足              九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个

59、x Î (x1, x2)或(x2, x1), 使             证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令 , 在x1, x2上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满足            立即可得    .十. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f(

60、a) = f(b) = 0, g(x) ¹ 0, 试证: 至少存在一个x Î (a, b), 使      证明: 令 , 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个x Î (a, b), 使        , 于是    .十一. 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个x Î (a, b), 使    

61、         证明: "x, t Î a, b, 有 取 t = , 分别取x = b, x = a, 得到二式相加, 得 所以存在x Î (a, b), 使得      十二. 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在x、h Î (a, b), 使得         &#

62、160;     证明: 对于 在a, b上使用拉格朗日定理, 在(a, b)内存在h, 使得          所以在(a, b)内存在x, 使得    即是         常微分方程一. 求解下列微分方程：1. 解. .令 .(将y看成自变量),  所以  ,   ,   , 

63、60; ,    .2. 解. 令 .,  所以  ,   . 由 所以  c = 0. ,   得到 ,  ,  即 .二. 求解下列微分方程：1. 解. 令 . 得到,      为一阶线性方程解得 .  即 .2. 解. 原方程可化为  . 即  , 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量).解得:   .3. 解. 令 , 则 . 原方程化为, 为贝奴利方程.令 ,

64、则 . 方程化为  , 为一阶线性方程. 解得  . 即 ,  .三. 求解下列微分方程：1. 解. . 于是 . 所以方程解为 .2. 解. 设函数 满足 = .所以 ,  所以 . 于是 所以原方程的解为 3. 解. 由原方程可得 得到  . 于是原方程解为  .四. 求解下列微分方程:1. 解. 令 ,  得到 为一阶线性方程. 解得.即  2. 解. 该方程为贝奴利方程.令    ,   . 解得  于是  五. 设 在实轴上连续, 存在, 且具有

65、性质 , 试求出 .解. ,  ,  ,  .i) . 对于任何x有 所以 .所以  .ii) 上式令 , 得到解得  .六. 求解下列方程:1. 解. 可得 . 这是以y为自变量的一阶线性方程.解得 . ,  . 所以得解  .2. 解. 令 . 可得 ,   ,  .,   ,  .解为  .七. 求解下列方程:1. 解. 令 . 所以  ,  所以  ,  ,  于是  解为 &#

66、160; .2. 解. 令 ,  ,  令 于是得到  ,    为u对于x的一阶线性方程解得  ,  ,  得c = 0. ,  ,  ,  所以 3. 解. 令 得到  令 , 得到 为关于y的一阶线性方程. 且 解得  所以 ,  .于是  ,  ,  ,  ,  得到 ,  得解  八. 求解下列微分方程:1. 解. 特征方程 于是得解  2. 解. 特征方程

67、 ,           ,    ,   得通解为  由  得到  ,   ,   ,   得特解  九. 求解下列微分方程:1. 解. 特征方程 ,    齐次方程通解  非齐次方程特解:            &#

68、160;                  考察                     =              

69、     = 所以           所以通解为   2. 解. 特征方程  ,  齐次方程特解  非齐次方程通解                     =      

70、;           (计算方法同上题, 取 的虚部)所以   由   可得 得解   3. 解. 特征方程 ,   i) ii) 所以       一元微积分的应用一. 选择题1. 设f(x)在(¥, +¥)内可导, 且对任意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(x1) > f(x2), 则(a) 对任意x,  &#

71、160;   (b) 对任意x, (c) 函数f(x)单调增加      (d) 函数f(x)单调增加解. (a) 反例: , 有 ; (b) 显然错误. 因为 , 函数单减; (c) 反例: , 单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 具体证明如下:令F(x) = f(x), x1 > x2, x1 < x2. 所以F(x1) =f(x1) > f(x2) = F(x2).2. 设f(x)在p, +p上连续, 当a为何值时, 的值为极小值.(a)   

72、        (b) (c)         (d) 解.                     为a的二次式.所以当a = , F(a)有极小值.3. 函数y = f(x)具有下列特征:f(0) = 1; , 当x ¹ 0时, ;  

73、   , 则其图形(a)                  (b)                    (c)         

74、       (d)      1                 1                      1 &

75、#160;                1解. (b)为答案.4. 设三次函数 , 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于y轴对称   (b) 关于原点对称   (c) 关于直线y = x轴对称  (d) 以上均错解. 假设两个极值点为x = t及 x = t (t ¹ 0), 于是f(t) =f(t). 所以   &#

76、160;  ,    所以b + d = 0的根为 x = ± t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以       为奇函数, 原点对称. (b)为答案.5. 曲线 与x轴所围图形面积可表示为(a)      (b) (c)    (d) 解.              

77、0;   0        1       2 由图知(c)为答案.二. 填空题1. 函数 (x > 0)的单调减少区间_.解. , 所以0 < x < .2. 曲线 与其在 处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积之比是_.解. , 所以切线的斜率为k = 切线方程: , 曲线和切线的交点为 . (解曲线和切线的联立方程得 , 为其解, 所以可得 , 解得 .)比值为    

78、 3. 二椭圆 , ( a > b > 0)之间的图形的面积_.解. 二椭圆的第一象限交点的x坐标为 . 所以所求面积为  = =   = 4paba= 4. x2 + y2 = a2绕x =b(b > a > 0)旋转所成旋转体体积_.解.                 b           

79、60;      a由图知  =   = (5) 求心脏线r = 4(1+cosq)和直线q = 0, q = 围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_.解. 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式     所以            = 三. 计算题1. 在直线xy + 1=0与抛物线 的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.解. 由联立方程 解得交点坐标

80、, 由 求得二条法线的斜率分别为 , . 相应的法线为, . 解得法线的交点为 . 已知三点求面积公式为           所以    .2. 在抛物线y = x2上一点P(a, a2)作切线, 问a为何值时所作切线与抛物线y =x2 + 4x1所围图形面积最小解. 切线和抛物线的交点为    3. 求通过点(1, 1)的直线y = f(x)中, 使得 为最小的直线方程.解. 过点(1, 1)的直线为   

81、0;           y = kx + 1k所以F(k) =     =     =     =     k = 2所求直线方程为    y = 2x14. 求函数 的最大值与最小值.解. , 解得    x = 0,   x = ,   ,  =1所以, 最大值

82、, 最小值 .(5) 求曲线y = x32x与y = x2所围阴影部分面积S, 并将此面积绕y轴旋转, 求此旋转体体积.无穷级数一. 选择题1. 设a为常数, 则级数 (A) 绝对收敛.   (B) 发散.  (C) 条件收敛.  (D) 敛散性与a取值有关.  解. 绝对收敛, 发散, 所以 发散. (B)是答案2. 设 , 则(A) 与 都收敛.      (B) 与 都发散.(C) 收敛, 而 发散.   (D) 发散, 收敛.解. 由莱布尼兹判别法 收敛, . 因为

83、, 发散, 所以 发散. (      C)是答案.3. 设函数 , 而 . 其中 , 则 等于(A) ,    (B) ,    (C) ,       (D) 解. 是 进行奇展拓后展成的富氏级数. 所以 = . (B)是答案.4. 设 条件收敛, 则(A) 收敛,     (B) 发散,   (C) 收敛,(D) 和 都收敛.解. 因为 条件收敛, 所以 . 对

84、于(C),      所以 . (C)是答案.5. 设级数 收敛, 则必定收敛的级数为(A)    (B)   (C)   (D) 解. 收敛, 所以 收敛. 收敛级数的和收敛. 所以(D)是答案. 对于(C)有以下反例:  ,   ,   . 所以发散.6. 若 在 处收敛, 则此级数在 处 (A) 条件收敛,    (B) 绝对收敛,    (C) 发散, 

85、60; (D) 收敛性不确定.  解. 因为在 收敛, 所以收敛半径大于2. 幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛. (B)是答案.7. 设幂级数 的收敛半径为3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 (A) (2, 4)      (B) 2, 4     (C) (3, 3)     (D) (4, 2)解. 和 有相同收敛半径. 所以          , 

86、  在(2, 4)中级数一定收敛, 在端点级数不一定收敛. 所以答案为(A).二. 判断下列级数的敛散性:1. 解. 因为 , 所以 和 有相同的敛散性. 又因为 发散, 由积分判别法知 发散. 所以原级数发散.2. 解. 因为, 所以 和 有相同的敛散性. 收敛, 所以原级数收敛.3. 解. , 所以级数发散.4. 解. , 所以级数收敛.5. 解. ， 所以级数收敛.6. 解. 拉阿伯判别法: , . > 1, 所以级数收敛.7. 解. , 级数收敛.8. 解. , 级数收敛.9. 解. 考察极限 令 ,      

87、;    = 所以 , 即原极限为1. 原级数和 有相同的敛散性. 原级数发散.10. 解. , 级数发散.三. 判断下列级数的敛散性1.       解. 因为 , 级数发散.2. 解. ,  令 当x > 0时, , 所以数列 单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛.因为 , 而 发散, 所以 发散. 原级数条件收敛.3. 解. 因为 , 所以 收敛, 原级数绝对收敛.4. 解. 因为 所以 收敛, 原级数绝对收敛.5. 解. =1, 收敛, 原级数绝对收敛.6. 解. .因为 , 又因为 , 条件

88、收敛, 所以原级数条件收敛.四. 1.设正项数列 单调下降, 且 发散, 证明: 级数 收敛.2. 设正项数列 , 满足 为常数), 证明: 级数 收敛.证明: 1. 因为正项数列 单调下降, 且 发散, 由莱布尼兹判别法, 存在, 且 . 容易证明: .(反设存在N, 使得 . 则, 令 , 得到 , 矛盾). 所以. 因为 收敛, 所以 收敛.2. 考察数列 ,因为 为常数), 所以 , 即该数列递减有下界, 于是 存在. 由此推出 收敛. , 所以级数 收敛.五. 求下列级数的收敛域:1. 解. 第一个级数的收敛半径为 , 第二个级数的收敛半径为1. 所以它们的共同收敛区域为 . 考察端点:当 时, 得 第一个级数发散, 第二个级数收敛. 所以该级数发散. 原级数的收敛区域为 .2. 解. , 于是 . 当 时, 得 , 收敛;当 时, 得 , 收敛. 于是原级数的收敛区域为1, 1.3. 解. . 当 时, 得数项级数 及 , 通项都不趋于