第一节多元函数的概念二元函数的极限和连续性ppt课件

1、一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、二元函数的极限二、二元函数的极限三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性第九章第九章 多元函数微分学多元函数微分学第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的极限和连续性二元函数的极限和连续性一、多元函数的概念一、多元函数的概念1. 二元函数的定义二元函数的定义设有三个变量设有三个变量 x , y 和和 z , 如果当变量如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时在一定范围内任意取定一对数值时. 变量变量 z 按按照一定的规律照一定的规律 f , 总有确定的数值与它们对应，总有确定的数值与它们对应， 则则称称 z 是是 x , y

2、的二元函数，的二元函数，记为记为 定义定义 1, ),(yxfz 自变量自变量 x、 y 的取值范围称为函数的定义域的取值范围称为函数的定义域 . 其中其中 x, y 称为自变量，称为自变量， z 称为因变量称为因变量二元函数在点二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记所取得的函数值记为为).,( ,00),(0000yxfzzyxyyxx或或 例例 4,1)sin(2yxyz 设设)1 ,2( z求求 以及以及 n 元函数元函数 u = f (x1 , x2 , , xn)，类似地，类似地， 可以定义三元函数可以定义三元函数 u = f ( x , y , z ) 多于一个自变量

3、的函多于一个自变量的函数统称为多元函数数统称为多元函数.,2111)12sin( 21 ,2( ）z解解二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用所围成的区域，用 D 表示表示.2. 二元函数的定义域二元函数的定义域围成区域的曲线称为围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域区域的边界，不包括边界的区域称为开区域. 连连同边界在内的区域称闭区域，同边界在内的区域称闭区域， 如果一个区域可以如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域则称此区域为有界区域

4、.求下列函数的定义域求下列函数的定义域 D， 并画出并画出 D 的图形：的图形：;3arcsin2arcsin)1(yxz .114)2(2222 yxyxz应有应有 , 3arcsin 2arcsin (1)有有意意义义因因为为要要使使函函数数yxz 解解例例 5 5所以函数的定义域所以函数的定义域 D 是以是以 x = 2 , y = 3 为边界的矩为边界的矩形闭区域形闭区域. ,22 x即即,33y ,13y ,12xxyO32 3 3 2 2 (2) 因为要使函数因为要使函数1142222 yxyxz应有应有是有界区域是有界区域.所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域，所以函数定义域是

5、以原点为圆心的环形区域，,0122 yx ,0422yx即即 1 x2 + y2 4xy21O有意义，有意义， 设设D 由由 y = 1 , x = 2 , y = x 围成围成.例例 6 6的不等式组来表示平面区域的不等式组来表示平面区域 D : 求形如求形如)()(21xyyxy , dyc或或)()(21yxyxx ,bxay = xy = 1x = 2 xyO1 2 12 先做出区域先做出区域 D 的图形，的图形， 直线直线 y = x , y = 1 交于点交于点 (1 , 1). y = x, y = 2 的交点为的交点为(2 , 2).解解再将再将 D 投影到投影到 x 轴上，轴

6、上，得到区间得到区间 1 , 2， 则区域则区域 D 内任一点的横坐标内任一点的横坐标 x ，在在 1 , 2 内任取一点内任取一点 x ，作平行于作平行于 y 轴的直线，轴的直线，由图可知，由图可知， 对于所给的对于所给的 x , D 内对应的纵坐标内对应的纵坐标 y 满足：满足：满足不等式满足不等式 ,21x,1xyy = xy = 1x = 2 xyO1 2 12.1xy ,21x因此区域因此区域 D 用形如用形如 的不等式组表示为的不等式组表示为若想把若想把 D 用形如用形如 的不等式组表示，的不等式组表示， 则将则将 D 投影投影到到 y 轴上，轴上，所以在所以在 y 轴上得到区间轴

7、上得到区间 1 , 2. 因为直线因为直线 x = 2 与与 y = x 的交点为的交点为 (2 , 2)， 在区间在区间 1, 2 内任意取内任意取一点一点 y , 作平行于作平行于 x 轴的直线，轴的直线， 由图可知对于所给的由图可知对于所给的 y ，D 内对应点的横坐标内对应点的横坐标 x 满足满足,2xy故故 D 用形如用形如 的不等式组的不等式组表示为表示为 ,21y.2xyy = xy = 1x = 2 xyO1 2 12 则称则称 A 为函数为函数 z = f (x , y) 当当 时的极时的极限，限，) )( () )( (00,yxyx二、二元函数的极限二、二元函数的极限 设

8、函数设函数 z = f (x , y)在点在点 P0(x0 , y0) 的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义(点点 P0 可以除外可以除外)， 如果当如果当点点 P(x , y)无限地接近于点无限地接近于点 P0(x0 , y0)时，时，任任意意地地小小的的正正数数) ), ,是是( (指指,lim00Ayxfyyxx ) )( (记为记为.lim 0Apfpp ) )( (或或定义定义 2 2 APf) )( (恒有恒有P0的邻域的邻域 是指：满足不等式是指：满足不等式的一切点的一切点P(x , y)的集合的集合. 2020)()(yyxx .)sin(lim 222200yxyxyx 求求

9、 例例 8 8,00,0 uyx时时因因为为当当令令 u = x2 + y2 ，.1sinlim)sin(lim0222200 uuyxyxuyx所所以以 有时可以转化成一元函数的有时可以转化成一元函数的极限问题极限问题.二元函数的极限问题二元函数的极限问题解解 ,0,),(2222yxyxxyyxg例例 9 90,022 yx.)0,0(),(时时极极限限是是否否存存在在当当yx,00时时而而即即当当 xy当当 ( x, y ) 沿沿 y 轴趋向于原点，轴趋向于原点，,00lim)0 ,(lim),(lim0000 xxyxxgyxg有有解解考察函数考察函数,1lim),(lim),(lim

10、222220000kkxkxkxkxxgyxgxxkxyx 即当即当 y = k x ，,0时时而而x但是，当点但是，当点( x , y )沿着直线沿着直线 y = k x ( k 0 )趋向于趋向于点点(0, 0) 时，时， .00lim), 0(lim),(lim0000 yyyxygyxg而当点而当点 (x, y) 沿沿 y 轴趋向于原点，轴趋向于原点，有有. ),(lim 00不不存存在在故故极极限限yxgyx,12的值也不同的值也不同kk 随着随着 k 的取值不同，的取值不同，0,0 yx而而即即时，时， 且等且等于它在点于它在点 P0 处的函数值，处的函数值， 设函数设函数 z =

11、 f(x , y) z = f(x , y) 在点在点 P0(x0 , P0(x0 , y0) y0) 的一个邻域内有定义，的一个邻域内有定义， 如果当点如果当点 P(x , y) 趋向于点趋向于点P0(x0 , y0) 时，时， 函数函数 z = f(x , y) 的极限存在，的极限存在，, ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 即即1. 1. 二元函数的连续定义二元函数的连续定义三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性 定义定义 3,)()(lim 00PfPfpp 或或则称函数则称函数 z = f(x, y) 在点在点 P0(x0, y0) 处连续处连续.,0 xxx 若若令令

12、,0yyy ;0 x,0时时yy .0 y因而，因而， 可以改写成可以改写成 ,0),(),(lim000000 yxfyyxxfyx时时分别有增量分别有增量量量称为当自变称为当自变yxyx , ),(),(0000yxfyyxxf 其其中中 函数函数 z = f ( x , y ) 的全的全增量，增量，, z 记为记为,0时时则当则当xx ).,(),(0000yxfyyxxfz 即即 设函数设函数 z = f(x , y) 在点在点 P0(x0 , y0) 的的一个邻域内有定义，一个邻域内有定义， 若当自变量若当自变量 x , y 的增量的增量 x , y 趋向于零时，趋向于零时，,0lim00 zyx则称函数则称函数 z = f(x , y)在点在点(x0 , y0)处连续处连续.定义定义 4对应的函数的全增量对应的函数的全增量 z 也趋向于零，也趋向于零，即即,0,0时时因因为为当当 yx,0)()()()(222020 yxyyxx 所以所以 又可改写成：又可改写成：,0lim0 z 如果函数如果函数 z = f (x , y) 在区域在区域 D 内各点都连续，内各点都连续，则称函数则称函数 z = f (x , y) 在区域在区域 D 内连续内连续.2