随机信号分析_第3章_随机信号通过线性系统分析

1、随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-21第三章第三章随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析 随机信号分析随机信号分析随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-223.1 3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论3.2 3.2 连续时间系统的线性系统分析连续时间系统的线性系统分析3.3 3.3 离散时间系统的线性系统分析离散时间系统的线性系统分析3.4 3dB3.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽3.5 3.5 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程3.6 3.6 窄带随机过程表示窄带随机过程表示3.7 3.7 窄带随机过程包络和相位的特性窄带随

2、机过程包络和相位的特性3.8 3.8 正弦信号与窄带正弦信号与窄带SPSP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-233.2 3.2 连续时间系统的线性系统分析连续时间系统的线性系统分析3.3 3.3 离散时间系统的线性系统分析离散时间系统的线性系统分析3.4 3dB3.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽3.5 3.5 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程3.6 3.6 窄带随机过程表示窄带随机过程表示3.7 3.7 窄带随机过程包络和相位的特性窄带随机过程包络和相位的特性3.8 3.8 正弦信号与窄带正弦信号与窄带SP

3、SP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性3.1 3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-24系统可分为：系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器）非线性系统：限幅器、平方律检波器对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输 出信号的统计特性出信号的统计特性随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-25下面的分析限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变下面的

4、分析限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。的、线性的和物理可实现的稳定系统。连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。连续与离散系统：连续与离散系统：（1）线性性：线性性：（2）时不变：）时不变： 线性时不变系统：线性时不变系统：1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t称作算子L00() ()y ttL x tt随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2

5、6 什么是线性系统？什么是线性系统？时不变线性系统时不变线性系统连续时不变线性系统连续时不变线性系统离散时不变线性系统离散时不变线性系统随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-27时不变时不变线性线性系统系统若任意常数若任意常数a, b, 输入信号输入信号x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)若输入信号若输入信号x(t)时移时间时移时间C,输出输出y(t)也只引起一个相同也只引起一个相同的时移，即的时移，即y(t-C) = Lx(t-C)L.x(t)y(t) = Lx(t) 什么是线性系统？什么是线性系统？随机信号分析随机

6、信号分析教学教学组组2022-2-28连续连续时不变时不变线性线性系统系统若任意常数若任意常数a, b, 输入信号输入信号x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)h(t)x(t)y(t) = x(t)*h(t) 什么是线性系统？什么是线性系统？)()()()()()()(thtxdthxdhtxty随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-293.1.2 连续时不变线性系统的分析方法连续时不变线性系统的分析方法1. 时域分析2频域分析3. 物理可实现的稳定系统)()()()()()()(thtxdthxdhtxtyy( )(

7、)X( )Hx( )( )j tx t edtdtethHtj)()( )( )( )Y sH s X sjs0t0)(th如果当时，所有实际的物理可实现系统都是因果的。，那么该系统称为因果系统。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2103.1.3 离散时不变线性系统的分析方法离散时不变线性系统的分析方法1. 时域分析2频域分析3. 物理可实现的稳定系统如果当时，那么该系统称为因果系统。)()()()()()()(nhnxknhkxkhknxnykky()x()()jjjeeH ex()( )jjnnex n enjnjenheH)()(y( )x( )( )zz H zjez

8、0)(nh0n物理可实现稳定系统的极点都位于z平面的单位圆内。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2113.2 3.2 连续时间系统的线性系统分析连续时间系统的线性系统分析3.3 3.3 离散时间系统的线性系统分析离散时间系统的线性系统分析3.4 3dB3.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽3.5 3.5 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程3.6 3.6 窄带随机过程表示窄带随机过程表示3.7 3.7 窄带随机过程包络和相位的特性窄带随机过程包络和相位的特性3.8 3.8 正弦信号与窄带正弦信号与窄带SPSP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性3.

9、1 3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-212 在给定系统的条件下，输出信号的某个在给定系统的条件下，输出信号的某个统统计特性计特性只取决于输入信号的只取决于输入信号的相应的相应的统计特统计特性性。 根据输入随机信号的根据输入随机信号的、相关函数相关函数和和功功率谱密度率谱密度，再加上已知线性系统，再加上已知线性系统单位冲激单位冲激响应响应或或传递函数传递函数，就可以求出输出随机信，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度号相应的均值、相关函数和功率谱密度 分析方法：卷积积分法；频域法。分析方法：卷积积分法；频域法。3.2 随

10、机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-213 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-214 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果

11、系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 输入为随机信号X(t)的某个的，则为：)(tx0)()()(dtxhty系统的单位冲激响应一个确定性函数一个确定性函数随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-215 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输

12、出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析X( ) t0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t对于随机信号对于随机信号任意一个样本函数均成立。任意一个样本函数均成立。： 那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-216 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响

13、应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t证明证明 X( ) tYX0( )mmhd若若为平稳为平稳SP，则，则随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-217 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出

14、表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( ,)( ,)* ( )Rt tRt th t结论：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统结论：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为输入输出之间是相关的，系统输入输出相

15、关函数为随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2183.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( ,)( ,)* ( )Rt tRt th t证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为XY1212120( , )X( )Y( )X( )( )X()Rt tEttEth utu du120( ) X( )()h u Et X

16、tu duX120( )( ,)h u Rt tu duX122( , )* ( )Rt th t YX12X121( ,)( ,)* ( )Rt tRt th tXY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru du X( )()Rh若输入为平稳随机过程若输入为平稳随机过程随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-219 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出

17、的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论：结论：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数输出端的自相关函数 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2203.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析证明：证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统已知系统输入随机信号的自相关函数

18、，可以求出系统输出端的自相关函数输出端的自相关函数 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt tY1212( , ) ( ) ( )Rt tE Y t Y t1200( )X()( )X()Eh utu duh vtv dv1200( ) ( ) X()X()h u h v Etutv dudv X1200( ) ( )(,)h u h v Rtu tv dudv 12X12( )( )( , )h th tR t tY121XY12( , )( )( , )Rt th tRt t2YX12( )( ,)h tRt tYXX00( )(

19、 ) ( )()( )( )()Rh u h v Ruv dudvRhh XYYX( )()( )( )RhRh 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2213.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析证明：证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数输出端的自相关函数 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt t 2121),(tYtYEttRY dvduvtutRvhuhX 0210, 0210,dudvvtutRvhuhX

20、dvduvtutRuhvhX0210, 021,dututRuhXY 021,dvvttRvhYX 211,*ttRthXY 212,*ttRthYX 2121,*ttRththX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-222 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析系

21、统输出的系统输出的n阶矩的一般表达式为阶矩的一般表达式为 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX th th th t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-223 3.2.1 时域分析法时域分析法 系统输出的平稳性和遍历性系统输出的平稳性和遍历性 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析前提: 系统处于稳定状态时。在这种情况下，t=0系统输出响应在已处于稳态 结论1：若输入是 宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) t结论2：若输入 是严平

22、稳的，则输出 也是严平稳的。 X( ) tY( ) t结论3：若输入 是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性的，且 联合遍历 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2243.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论1：若输入是 宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) tX( ) tXX( )mtm常数X12X( , )( )Rt tR12tt 2X(0)( )RE Xt YX0( )mmhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY(

23、 )RYX12( , )Rt tX0( )()h u Ru du X( )()RhYX( )R若输入若输入为宽平稳随机过程，则有：为宽平稳随机过程，则有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2253.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论1：若输入是 宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) t 22X00Y ( )( )( ) ( )()EtE Yth u h v Ruv dudv X00( )

24、( )()h uh vRuv dudv X00(0)( )( )Rh uh v dudv X00(0)( )( )Rh v dvh u du0)(dtth2( )E Yt 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2263.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论2：若输入 是严平稳的，则输出 也是严平稳的。 X( ) tY( ) t因为0Y( )( )()thX td 对于时不变系统，若时移常数T，有0Y()( )()tThX tTd输出 和 分别是输入 和 与 的卷积，即可以表示成级数和的形式。由于随机信号 是严平稳的，所以 与 具有相同的n维概率密度函

25、数，这样 与 也应该具有相同的n维概率密度函数，即是严平稳的。Y()tTY( ) tX()tTX( ) t)(thX( ) tX()tTX( ) tY()tTY( ) t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2273.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析由 的宽遍历的定义得 结论3：若输入 是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性的，且 联合遍历 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t则输出 的时间平均XX( ) tmXX( )()( )t X tRX( ) tY( ) t1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TTTlimh

26、u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2283.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论3：若输入 是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性的，且 联合遍历 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t1Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1

27、X( ) ()X( )Y()2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTTlimX tut dt h u duTX0() ( )Ru h u duXY( )R 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2293.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例3.1 如图3.1所示的低通电路，已知输入信号是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为，假设是相关函数为的白噪声，求：求输出均值；输出的自相关函数；输出平均功率；输入与输出间互相关函数

28、：随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2303.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 例例3.2 应用举例：设某线性系统输入为相关函数0X( )( )2NR 的白噪声，如果测得系统输入和输出的互相关函数，求这个线性系统的单位冲激响应。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-231 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉

29、氏变换与付氏变换关系 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-232 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-233 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出

30、的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSHjsYX( )( )( )()SsSs H s Hs 由，两边取付氏变换得： 表示，有： 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-234 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间

31、互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 XYX( )( )( )SSHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-235 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关

32、系 dteetfdtetfsFtjtst)()()(js)(tftetf)(当不可积时，可积。因此对于随机信号，通常情况下其拉氏变换存在。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2363.2 3.2 连续时间系统的线性系统分析连续时间系统的线性系统分析3.3 3.3 离散时间系统的线性系统分析离散时间系统的线性系统分析3.4 3dB3.4 3dB带宽和等效噪声带宽带宽和等效噪声带宽3.5 3.5 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程3.6 3.6 窄带随机过程表示窄带随机过程表示3.7 3.7 窄带随机过程包络和相位的特性窄带随机过程包络和相位的特性3.8 3.8 正弦信号

33、与窄带正弦信号与窄带SPSP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性3.1 3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-237 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数3.2 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-238 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3

34、、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数3.2 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析0)()()(dtxhty0Y( )( )X()knh knk系统的输出等于输入信号与单位冲激响应的卷积和 可以证明，在假定系统是稳定的、输入有界的条件下，上式在均方收敛的意义下是存在的。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-239 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的

35、自相关函数、系统输出的自相关函数 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析证明证明 若若为平稳为平稳 SP，则，则Y0( ) ( )( ) ()kmnE Y nh k E X nkYX0( )kmmh kX( )n随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-240 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 XY( ,)( ) ()R

36、n nmE X n Y nm0( )( )()kE X nh k X nmk0( ) ( )()kh k E X n X nmkX0( )( ,)kh k Rn nmkX0( ,)( )(,)YXkRn nmh k Rnk nmXYXX0( )( )()( )*( )kRmh k Rmkh mRmYXXX0( )( )()()*( )kRmh k RmkhmRm随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-241 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关

37、函数、系统输出的自相关函数3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析Y( ,) ( ) ()Rn nmE Y n Y nm00( )()( )()kjEh k X nkh j X nmj00( ) ( )()()kjh k h j E X nk X nmjX00( ) ( )(,)kjh k h j Rnk nmj 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-242 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相

38、关函数3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 YX00( ) ( )()kjRmh k h j RmkjXXY( )* ( )* ()( )* ()Rmh mhmRmhmYX( )* ( )Rmh m 2X00( )( ) ( )()kjE Ynh k h j Rkj 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-243 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-24

39、4 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 若系统输入随机信号是宽平稳的，则系统的输出也是宽平稳的，那么有YX10( )(1)kzXkmmh k zHmXYX( )( )( )SzH z Sz1YXX( )()( )SzH zSz1YX( )( )()( )SzH z H zSz1XYYX()( )( )( )H zSzH z SzjzeX( )()( )jXYSH eSX( )()( )jYXSH eS2YXX( )()()( )()( )jjj

40、SH eH eSH eS随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-245 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 系统输出的自相关函数为 11( )( )2mYYlRmSz zdzj 2YX1( )()( )2jjmRmH eSed随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-246 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平

41、均功率的计算、输出平均功率的计算 2111( )( )()( )2XlE YnH z H zSz z dzj 22X1( )()( )2jE YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的单位圆 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2473.4.1 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析)(H)(sHX( )S20N设连续线性系统的传递函数为设连续线性系统的传递函数为或或，其输入白噪声功率谱密度为，其输入白噪声功率谱密度为，那么系统输出的功率谱密度为，那么系统输出的功率谱密度为 20Y( )( )2NSH或物理谱密度为或物理谱密度为2Y0( )( )GHN0随机信号分析随机信

42、号分析教学教学组组2022-2-2483.4.1 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析20Y( )( )4jNRHedduuhuhN00)()(2输出自相关函数为输出自相关函数为 输出平均功率为输出平均功率为2200( )( )2NE YtHd 注意注意：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定，不再保端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定，不再保持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量

43、通过的原因。许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2493.4.2 3dB带宽带宽随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2503.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个非常重要的概念在等效时要用到一个非常重要的概念等效噪等效噪声带宽声带宽，它被定义为理想系统的带宽

44、。，它被定义为理想系统的带宽。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2513.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-252 等效的原则等效的原则 理想系统与实际系统在同一白噪声激励下理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两两个系统的输出平均功率相等个系统的输出平均功率相等理想系统的增益等于实际系统的最大增益理想系统的增益等于实际系统的最大增益3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-253计算实际系统的等效噪声带宽计算实际系统的等效噪声带宽e H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|H

45、I(w)|0w功率谱密度为功率谱密度为20N白噪声激励白噪声激励 消耗在消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为电阻上的系统输出端总平均功率为 dwwHNtYE02022理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为 22200202ewwKNdwKNtYEe3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-254 实际系统的等效噪声带宽为实际系统的等效噪声带宽为 dwwHwHwe022max1对于一般的低通滤波器对于一般的低通滤波器)( H的最大值出现在的最大值出现在 0处，即处，即)0()(maxHH 对于中

46、心频率为对于中心频率为0 带通系统带通系统(如单调谐回路如单调谐回路) )( H的最大值出现在的最大值出现在处，即处，即0 )()(0maxHH3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-255 实际系统的等效噪声带宽为实际系统的等效噪声带宽为 dwwHwHwe022max1 dssHsHwHjwjje2max21拉氏变换拉氏变换 代入代入 2max02wHwNPe dwwHNtYE02022系统输出平均功率系统输出平均功率 3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-256小结：小结：由系统的等效噪声带宽

47、由系统的等效噪声带宽e 可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数e 和和max)( H就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。 3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-257wA02w2w设白噪声的物理谱设白噪声的物理谱输出的物理谱输出的物理谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 3.4.4 白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 0)(AH/

48、2 其它0( )XGN随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-258wA02w2w设白噪声的物理谱设白噪声的物理谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 3.4.4 白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 0)(AH/2 其它0( )XGN220( )( )( )0YXN AGHG其它2/0随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-259wA02w2w设白噪声的物理谱设白噪声的物理谱 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 3.4.4 白噪声通过理想低

49、通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 0)(AH/2 其它0( )XGN01( )( )cos2YYRGd 2/020cos21dAN2sin220AN22sin420AN 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-260wA02w2w设白噪声的物理谱设白噪声的物理谱 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 3.4.4 白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 0)(AH/2 其它0( )XGN 220( )4N AE Yt随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-261wA02w2w设白噪声的物理谱设白噪声的物理谱 输出相关时间输出相关时间 3.4.4

50、 白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 0)(AH/2 其它0( )XGN sin( )( )2( )(0)(0)2YYYYYKRrKR随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-262wA02w2w设白噪声的物理谱设白噪声的物理谱 3.4.4 白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 0)(AH/2 其它0( )XGN 0Y00sin12( )22rddf02)sin(dxxax0a该式表明：输出随机信号的相关时间与该式表明：输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。这就是说，系统带系统的带宽成反比。这就是说，系统带宽越宽，相关时间宽越宽，相关时间 越小，输

51、出随机信越小，输出随机信号随时间变化号随时间变化(起伏起伏)越剧烈；反之，系越剧烈；反之，系统带宽越窄，则越大，输出随机信号随统带宽越窄，则越大，输出随机信号随时间变化就越缓慢。时间变化就越缓慢。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-263wA|H (w)|00w0ww系统的中心频率远大于系统的带宽，系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。则称这样的系统为窄带系统。0 3.4.4 白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 0)(AH其它2/0随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2643.4.4 白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带

52、通线性系统 0)(AH其它2/00( )XGN220X( )( )( )0YN AGHG其它2/0若输入白噪声的物理若输入白噪声的物理，则输出的物理谱为，则输出的物理谱为 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2653.4.4 白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 YY01( )( )cos2RGd dNAcos2102/2/2002000sin(/2)cos( )cos2/2A Na 输出相关函数为输出相关函数为 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-266输出自相关函数输出自相关函数)( YR等于等于)( a与与 0cos的乘积，其中的乘积，其中)(

53、 a只包含只包含)( 的成分。当满足的成分。当满足0 时，时，)( a与与 0cos相比，相比，)( a是是的慢变化函数，而的慢变化函数，而 0cos是是的快变化函数。可见的快变化函数。可见)( a是是RY()的慢变化部分是的慢变化部分是RY()的包络。而的包络。而 0cos是是RY()的快变化部分的快变化部分 理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统输出的相关函数与理想带通系统输出的相关函数等于其相应的低通系统输出的相关函数与 0cos的乘积的乘积。2/)2/sin(2)(02NAa3.4.4 白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2

54、022-2-2673.4.4 白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2683.4.4 白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 输出的相关系数为输出的相关系数为0sin( )( )2( )cos(0)(0)2YYYYYKRrKR 带通系统输出的平均功率为带通系统输出的平均功率为 220( )2N AE Yt 带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，fd2122sin00因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致：因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致

55、：随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2693.4.4 白噪声通过理想高斯线性系统白噪声通过理想高斯线性系统 220202)(exp2)()()(ANSHSXY高斯带通系统的频率响应为：高斯带通系统的频率响应为：2202)(exp)(AH设输入白噪声的功率谱设输入白噪声的功率谱2)(0NSX系统输出功率谱为系统输出功率谱为 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2703.4.4 白噪声通过理想高斯线性系统白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为：高斯带通系统的频率响应为：2202)(exp)(AH设输入白噪声的功率谱设输入白噪声的功率谱2)(0NSX输出相

56、关函数 deANRjY22020)(exp221)(deANj)(22200exp4deeANjj2220exp400224024jeeNA0)(jea 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2713.4.4 白噪声通过理想高斯线性系统白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为：高斯带通系统的频率响应为：2202)(exp)(AH设输入白噪声的功率谱设输入白噪声的功率谱2)(0NSX输出相关函数 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2723.4.4 白噪声通过理想高斯线性系统白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为：高斯带通系统的频率响应为：22

57、02)(exp)(AH设输入白噪声的功率谱设输入白噪声的功率谱2)(0NSX输出平均功率 20(0)4RA N相关系数 2 204( )jYree 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2733.4.4 白噪声通过理想高斯线性系统白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为：高斯带通系统的频率响应为：2202)(exp)(AH设输入白噪声的功率谱设输入白噪声的功率谱2)(0NSX 等效噪声带宽 2022()0200( )()eHdedH 相关时间 de04022随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-2743.4.5 线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布

58、随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-275 线性系统输出端随机信号的概率分布线性系统输出端随机信号的概率分布难难输入随机信号为高斯过程输入随机信号为高斯过程 系统输入为非高斯过程，其带宽远大于线性系统的通频带的情况系统输入为非高斯过程，其带宽远大于线性系统的通频带的情况 3.4.5 线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-276线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为高斯过程线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为高斯过程若系统输入端的平稳随机过程为非高斯分布，若系统输入端的平稳随机过程为非高斯分布，只要输入过程的等效噪声带

59、宽远大于系统的通频带时，只要输入过程的等效噪声带宽远大于系统的通频带时，则系统输出端便能得到接近于高斯分布的随机过程。则系统输出端便能得到接近于高斯分布的随机过程。3.4.5 线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 为什么上述两种情为什么上述两种情况下成立况下成立?随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-277线性系统线性系统输入输入为高斯过程，则该系统为高斯过程，则该系统输出输出仍为高斯过程仍为高斯过程级数表示若我们将若我们将X(t)和和Y(t)两个随机过程都用相应的多维随机变量来代替。两个随机过程都用相应的多维随机变量来代替。于是，随机过程的线性变换实际上可以看成是由一组线

60、性方程组表于是，随机过程的线性变换实际上可以看成是由一组线性方程组表示的多维随机变量的线性变换。这样，根据第一章的有关结论可知：示的多维随机变量的线性变换。这样，根据第一章的有关结论可知：当当X(t)为高斯过程时，多维高斯变量经线性变换以后，得到的多维为高斯过程时，多维高斯变量经线性变换以后，得到的多维随机变量仍是高斯型的。因此随机变量仍是高斯型的。因此Y(t)是高斯过程。是高斯过程。 3.4.5 线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-2-278若系统输入端的平稳随机过程为非高斯分布，若系统输入端的平稳随机过程为非高斯分布，只要输入过程的等