线性代数绪论

1、Linear Algebra Exordium线性代数线性代数 绪论绪论上上页页下页下页 如果不熟悉线性代数的概念，像线性性如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。可能学习社会科学也是如此。瑞典数学家瑞典数学家Lars GardingLars Garding（L.L.戈丁）戈丁）Encounter with MathematicsEncounter with Mathematics（数学概观）（数学概观）上上页页下页下页一、

2、线性一、线性线性线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，指量与量之间按比例、成直线的关系线性就是一次，只有线性就是一次，只有数乘和加减数乘和加减线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线线性性”函数，显然，过原点的直线是最简单的线函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。性函数。baxyaxy 上上页页下页下页对于线性问题，将含变量的项放在等式的一端，不对于线性问题，将含变量的项放在等

3、式的一端，不含变量的项放在另一端；若不含变量的项为零，则含变量的项放在另一端；若不含变量的项为零，则称为齐次线性问题，否则，称为非齐次线性问题。称为齐次线性问题，否则，称为非齐次线性问题。齐次线性齐次线性0 axy非齐次线性非齐次线性)0( bbaxy)0(2 bbaxy2baxyy 非齐次线性非齐次线性非线性非线性 662322121xxxx非齐次线性非齐次线性 062022121xxxx齐次线性齐次线性 6623221211xxxxx非线性非线性线性代数研究的都是线性问题（线性代数研究的都是线性问题（加法和数乘加法和数乘）上上页页下页下页 花拉子米花拉子米 （约公元（约公元783-8507

4、83-850）代数学代数学（大约写于公元（大约写于公元820820年）年）ilm al-jabr wailm al-jabr wal muqabalahl muqabalah 直译直译还原与对消的科学还原与对消的科学 Algebra 由由 al-jabr 演变而来演变而来 清代传入中国，当时被译成清代传入中国，当时被译成“阿尔热巴拉阿尔热巴拉”18591859年，翻译成年，翻译成“代数学代数学”李善兰（李善兰（1811-18821811-1882）“函数函数” “方程式方程式” “微分微分” “积分积分” “级数级数” “植物植物”“细胞细胞” 等等等等二、代数二、代数上上页页下页下页3 3、

5、已知一个变化着的圆的直径，试写出它的、已知一个变化着的圆的直径，试写出它的 面积面积 。请大家尝试做如下三件事：请大家尝试做如下三件事：1、试用等式一般地表示加法交律、试用等式一般地表示加法交律2 2、试用算式直接表示：、试用算式直接表示：5 5 加上什么数等于加上什么数等于3 3； 要表示任意的数、未知（待求）的数、变化要表示任意的数、未知（待求）的数、变化的数，数字就无能为力了。因为它们只能表示单的数，数字就无能为力了。因为它们只能表示单个的数、已知的数、固定的数。个的数、已知的数、固定的数。上上页页下页下页先是须研究代数式（从而导致代数学）先是须研究代数式（从而导致代数学） 进而有代换、

6、迭代（字母代式），有变化、进而有代换、迭代（字母代式），有变化、联系（函数的研究），联系（函数的研究）， 进一步是整个数学的符号化、抽象化、形式化进一步是整个数学的符号化、抽象化、形式化 最后，再拓展字母所代表的事物：最后，再拓展字母所代表的事物：图形、集合、法则图形、集合、法则 直到抽象的元素，使数学高速发展。直到抽象的元素，使数学高速发展。 由小小的由小小的“字母代数字母代数”这个举措，及由它的发展这个举措，及由它的发展形成的形成的“代数思想代数思想”，实在是太重要了。，实在是太重要了。 上上页页下页下页 人类记数的高级阶段是用字母表示数。人类记数的高级阶段是用字母表示数。 用文字代表数，

7、即设某量为用文字代表数，即设某量为x这样的做法这样的做法, , 只只是运用代数方法的第一步。它后面进一步的是是运用代数方法的第一步。它后面进一步的是“式式”的运算，有的运算，有“式式”参与运算就是参与运算就是代数代数。 代数是用抽象的字母代替具体的数字进行运算代数是用抽象的字母代替具体的数字进行运算分析，因此，分析，因此，抽象是代数的特点抽象是代数的特点，学好代数可以发，学好代数可以发展抽象化形式化的思想和运用数学符号运算推理的展抽象化形式化的思想和运用数学符号运算推理的能力。能力。上上页页下页下页 历史上历史上线性代数线性代数的第一个问题是关于解线的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性

8、方程组理论的发展又促成性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。 另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了要求也促使了线性代数线性代数的进一步发展。的进一步发展。 上上页页下页下页三、线性方程组

9、：三、线性方程组： 超过超过75 %75 %的科学研究和工程的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段应用中的数学问题，在某个阶段都涉及线性方程组的求解。都涉及线性方程组的求解。 早在公元早在公元2 2世纪之前，我国的世纪之前，我国的九章算术九章算术一一书中就有介绍线性方程组的章节书中就有介绍线性方程组的章节“方程章方程章”。书中。书中的的方程组是用算筹布列的，可以看作最古老的方程组是用算筹布列的，可以看作最古老的矩阵矩阵。书中的解法与现在的加减消元法相仿。这是人类历书中的解法与现在的加减消元法相仿。这是人类历史上最早出现的线性方程组。史上最早出现的线性方程组。 近代线性方程组的研究是在近代

10、线性方程组的研究是在16781678年由莱布尼茨开创的；年由莱布尼茨开创的； 莱布尼茨莱布尼茨（1646164617161716） 上上页页下页下页例例1 1：求解线性方程组：求解线性方程组 66232yxyx（1）利用消去法来求解：利用消去法来求解：第二个方程减去第一个方程乘以第二个方程减去第一个方程乘以2 2后，后，原方程组变为：原方程组变为： 0232yyx由第二个方程可直接得到：由第二个方程可直接得到： 0 y将其代入第一个方程可得：将其代入第一个方程可得： 3 x上上页页下页下页将方程组将方程组(1)中第二个方程中的第二个未知量中第二个方程中的第二个未知量的系数改为的系数改为4，可得

11、到下述方程组：，可得到下述方程组： 64232yxyx（2） 用相同的处理方法可得到：用相同的处理方法可得到： 0032yx则该方程组的解可取作：则该方程组的解可取作： 30 xy 11xy 51xy cxcy23该方程组有无穷多的解；该方程组有无穷多的解；上上页页下页下页再将方程组再将方程组（2）的第二个方程右端项的的第二个方程右端项的6改为改为4，即：即： 44232yxyx（3） 还用相同的处理方法可得：还用相同的处理方法可得： 2032yx无解无解将方程组将方程组（3）的第二个方程右端项的的第二个方程右端项的4改为改为不等于不等于6的任意常数的任意常数a （代数化）（代数化） , 即：

12、即： ayxyx4232（4） 上上页页下页下页还用相同的处理方法可得：还用相同的处理方法可得： 6032ayx无解无解 这就迫使我们研究方程组在什么情况下有解，这就迫使我们研究方程组在什么情况下有解，什么情况下无解，有解的话在什么情况下有唯一什么情况下无解，有解的话在什么情况下有唯一解什么情况下有无穷多解？解什么情况下有无穷多解？ 要进行一般的讨论，就需要将方程组进一步要进行一般的讨论，就需要将方程组进一步“代数化代数化” 即系数和等式右端项用一般的字母代替后，即系数和等式右端项用一般的字母代替后，即为求解下面的问题：即为求解下面的问题： 上上页页下页下页, 首先首先, ,将第二个方程里将第

13、二个方程里x的系数化为零，的系数化为零，此时原方程组变为：此时原方程组变为： ceafybcdaebyax)( 假设假设第二个方程里未知量的系数不为零，第二个方程里未知量的系数不为零，则从第二个方程可得：则从第二个方程可得： bcadceafy 例例2：求解线性方程组：求解线性方程组 fdycxebyax上上页页下页下页利用相同的原理，可将第一个方程中利用相同的原理，可将第一个方程中2x的的系数化为零，从而可得：系数化为零，从而可得：bcadbfdex 我们把上述两个解称作我们把上述两个解称作代数解代数解。 在这个问题的求解过程中，我们做了假设，在这个问题的求解过程中，我们做了假设，得到了方程

14、组的解。那么如果假设不成立呢？得到了方程组的解。那么如果假设不成立呢？是不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？是不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？ （回过头来分析一下刚才的四个方程组）（回过头来分析一下刚才的四个方程组）上上页页下页下页 对于线性方程组我们主要研究三个问题对于线性方程组我们主要研究三个问题: : 例子中方程组有两个未知量，那如果有五个，例子中方程组有两个未知量，那如果有五个，十个，一百个十个，一百个把未知量的个数再把未知量的个数再代数代数一下，一下，n个个未知量呢？未知量呢？1 1、是否有解、是否有解? ?2 2、有唯一解还是有无穷多解、有唯一解还是有无穷多解? ?3 3、

15、有无穷多解的话通解怎么表示、有无穷多解的话通解怎么表示? ?( (通解是指线性方程组所有解的通解是指线性方程组所有解的代数表示代数表示) )上上页页下页下页四、行列式：四、行列式： 关孝和关孝和（约（约1642164217081708） 16831683年关孝和最早提出来年关孝和最早提出来行列式的行列式的概念概念 克莱姆克莱姆 （1704-17521704-1752） 16931693年，莱布尼茨使用指年，莱布尼茨使用指标数的系统集合来表示方标数的系统集合来表示方程组的系数，得到现在称程组的系数，得到现在称为结式的行列式为结式的行列式 17501750年，克莱姆年，克莱姆线性代线性代数分析导引

16、数分析导引中，对行列中，对行列式的定义和展开法则给出式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述了比较完整、明确的阐述，并给出，并给出克莱姆法则克莱姆法则。 上上页页下页下页 凯莱（凯莱（1821-18951821-1895） 柯西（柯西（1789-18571789-1857） 1815 1815 年，法国数学家柯西年，法国数学家柯西首先提出首先提出行列式行列式这个名称，这个名称，第一个把行列式的元素排成第一个把行列式的元素排成方方阵，采用双重足标标记法阵，采用双重足标标记法 22221211212111bxaxabxaxa212111bbaa212212bbaa22122111aaaa184

17、1 1841 年，英国数学家凯莱首年，英国数学家凯莱首先创用了行列式记号先创用了行列式记号 221111baba22211211aaaa222121abab上上页页下页下页 第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，把行列式理论与线性方程组求解相分离的述，把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙人，是法国数学家范德蒙 ，17721772年，他给出了年，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身进行研究这一点而言，他则。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是行列式理论的奠基人。是行

18、列式理论的奠基人。 同年，法国数学家拉普拉斯在同年，法国数学家拉普拉斯在对积分和世对积分和世界体系的探讨界体系的探讨中，证明了范德蒙的一些规则，中，证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用并推广了他的展开行列式的方法，用r阶子式及阶子式及其余子式来展开行列式，这个方法现在仍然以他其余子式来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。的名字命名。 18411841年，雅可比给出了当行列式的元素是年，雅可比给出了当行列式的元素是t t的的函数时，它的导数公式，引出了函数行列式，即函数时，它的导数公式，引出了函数行列式，即“雅可比行列式。雅可比行列式。 上上页页下页下页五、矩阵：五、

19、矩阵： 18501850年西尔威斯特首先提出矩阵的概念，年西尔威斯特首先提出矩阵的概念，18581858年凯莱建立了矩阵的运算法则。利用矩阵来研究线年凯莱建立了矩阵的运算法则。利用矩阵来研究线性方程组的解得到了很大的发展。性方程组的解得到了很大的发展。 在此基础上，矩阵的相关理论也得到了长足的在此基础上，矩阵的相关理论也得到了长足的发展。矩阵论也逐渐成为数学的一个重要分支。哈发展。矩阵论也逐渐成为数学的一个重要分支。哈密尔顿、夫罗贝纽斯、约当、梅茨勒等人对矩阵论密尔顿、夫罗贝纽斯、约当、梅茨勒等人对矩阵论都作出了出色的工作。都作出了出色的工作。 23232221211313212111bxax

20、axabxaxaxa 22221211212111bxaxabxaxa232221131211aaaaaa 上上页页下页下页 矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着越来越重要的作用：越来越重要的作用：用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用；矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用； 数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度图像就对应着一个矩阵；图像就对应着一个矩阵； 著名的搜索引擎著名的搜索引擎GoogleGoogl

21、e则应用了矩阵的特征值和特则应用了矩阵的特征值和特征向量理论；征向量理论； 矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分析及自动控制理论中不可缺少的工具。析及自动控制理论中不可缺少的工具。 上上页页下页下页 1990 1990 年美国在合理利用与滥用太平洋的西北部年美国在合理利用与滥用太平洋的西北部大面积森林问题上，北方的斑点猫头鹰成为一个争大面积森林问题上，北方的斑点猫头鹰成为一个争论的焦点。论的焦点。 环境保护学家试图说服联邦政府如果采伐原始环境保护学家试图说服联邦政府如果采伐原始森林的行为得不到制止的话，猫头鹰将濒临灭绝的森林的行为得不到制止的

22、话，猫头鹰将濒临灭绝的危险，因为猫头鹰喜好在那里居住；危险，因为猫头鹰喜好在那里居住； 而木材行业却说，如果政府出台制止伐木政策而木材行业却说，如果政府出台制止伐木政策的话，的话， 预计将失去预计将失去3 3 万到万到10 10 万个工作岗位。万个工作岗位。 最终由数学家进行调研，采用了矩阵的特征值最终由数学家进行调研，采用了矩阵的特征值特征向量的方法给予解决。特征向量的方法给予解决。 上上页页下页下页六、向量、向量组、向量空间：六、向量、向量组、向量空间： 对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念理论，有了向量，向

23、量组，向量空间的相关概念知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。 进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰的认识。的认识。 综上所述，我们可以得到这样的结论：综上所述，我们可以得到这样的结论：线性代数线性代数，不仅仅是用来研究线性方程组，不仅仅是用来研究线性方程组的求解的，而且还是其他很多研究工作的研究工具。的求解的，而且还是其他很多研究工作的研究工具。上上页页下页下页 “线性代数课程，无论你从行列式入手还是直线性代数课程，无论你从

24、行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者前无古人，后无来者”的古怪的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题题把这行乘一个系数加到另一行上，再把那把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列

25、减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。看不出这个东西有嘛用。 大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太始钻火圈表演了，这未免太“无厘头无厘头”了吧！了吧！ 上上页页下页下页 于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是路转来形容，紧跟

26、着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是一个同样无厘头但是伟大的无以复加伟大的无以复加的家伙的出的家伙的出场场矩阵矩阵来了！来了！ 多年之后，我才明白，当老师用括号把一堆多年之后，我才明白，当老师用括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个这个东西叫做东西叫做“矩阵矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！ 上上页页下页下页 对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，说，矩阵老大的不请自来每

27、每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿如同阿Q Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。” -摘自某论坛摘自某论坛 自那以后，在几乎所有跟自那以后，在几乎所有跟“学问学问”二字稍微沾点二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。 上上页页下页下页七、学好七、学好线性代数线性代数要注意的几点问题：要注意的几点问题： 1 1、 线性代数是大学几门数学里相对来说最容易的线性代数是大学几门数学里相对来说最容易的，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学，每，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学，每个人都可以学好，它与中