解析几何第四版 第二章

1、第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程本章主要内容本章主要内容： 1) 平面曲线的方程 2) 曲面的方程 3) 空间曲线的方程本章本章基本要求基本要求： 1) 理解轨迹与方程的关系 2) 熟悉曲面、曲线的一般式和参数式 3) 熟练掌握球面、特殊柱面、圆柱螺旋线的方程2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程1、曲线方程曲线方程曲线上点的特征性质：1）曲线上的点都具有这些性质；2）具有这些性质的点都在曲线上。曲线上点的特征性质曲线上点的两个坐标x与y之间的约束关系 F(x, y)=0建立坐标系定义定义：当平面上取定了坐标系后，如果一个方程与一曲线 有以下关系： 1）满足方程的(x, y)必是曲线上某点的坐

2、标； 2）曲线上任何点的坐标(x, y)都满足这个方程。 则这个方程称为这条曲线的方程曲线的方程， 这条曲线叫做这个方程的图形方程的图形。例 1 求圆心在原点，半径为R的圆的方程。例 2的轨迹方程。的动点，求满足条件和已知两点MMBMABA4)2 , 2()2, 2(2、参数方程参数方程btat ),(建立坐标系O；e1，e2)()()(btatyytxxor （坐标式参数方程）。普通方程 0),(yxF(消去参数 t)()()(21btaetyetxt ( （向量式参数方程）例 3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点的轨迹。)()cos1 ()sin( ayax或（旋轮线或摆线）A

3、OPCaxy)()cos1 ()sin( ，jaia例 4 已知大圆的半径为a，小圆的半径为b，设大圆不动，而小圆 在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点P的轨迹的方程。（内旋轮线或内摆线）)(sinsin)(coscos)( bbabbaybbabbax时，为四尖点星形线。当ba4yxOPABC例 5 把线绕在一个圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线 从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，求线头 的轨迹。（渐伸线或切展线）)()cos(sin)sin(cos RyRxxyOPABR)(sincos162222 byaxbyax的参数方程为椭圆例或222 222 222 22,(

4、)()a btxba ttb ba tyba t yxOby = tx+b(x,y)或22 222 2222 2(),().2a ab txaab ttbab tyab t 例6 双曲线 的参数方程为22221xyabsec ,tanxayb(令 x = ty + a )xyOMPa- a23 7 (2) yaxx例化方程为参数方程。232222,()11atatxyttt 2 8 2+1 yx例化方程为参数方程。曲线的参数方程与普通方程互化时，必须注意： 两种不同形式的方程应该等价两种不同形式的方程应该等价。cos ,2cos2 ,(02 )xy若化成就不妥,因为它只表示原曲线的一部分。2

5、,21,()xt ytt 可化为例9将参数方程化为普通方程。2,(,0)2xattayat (1)(2)cos ,(,0)cos2xaaya(3)(sin )(,0)(1cos )xa aya （旋轮线）作业作业：P77 1、5、7(3)、8(1,2)、9思考思考：P77 42.2 曲面的方程曲面的方程1、曲面方程曲面方程曲面上点的特征性质：1）曲面上的点都具有这些性质；2）具有这些性质的点都在曲面上。曲面上点的特征性质曲面上点的三个坐标x，y与z之间的约束关系 F(x, y, z)=0 或z = f (x, y)建立空间坐标系定义定义：当空间上取定了坐标系后，如果一个方程与一曲面 有以下关系

6、： 1）满足方程的(x, y,z)必是曲面上某点的坐标； 2）曲面上任何点的坐标(x, y,z)都满足这个方程。 则这个方程称为这条曲面的方程曲面的方程， 这个曲面叫做这个方程的图形图形。1. (1,2,3)(2, 1,4)AB例求连接两点和的线段的垂直平分面的方程。2. xOzyOz例求两坐标面和所成二面角的平分面的方程。3. yOz例求坐标面的方程。4. xOzyxOzk例一平面平行于坐标面，且在 轴的正向一侧与平面相隔 距离为 ，求它的方程。00005. (,)P xy zR例求中心为，半径为 的球面方程。2、参数方程参数方程Dvuvu),(),( 建立坐标系O；e1，e2 ， e3),

7、(),(),(),(),(321Dvuevuzevuyevuxvu( （向量式参数方程向量式参数方程）Dvuvuzzvuyyvuxxor),(),(),(),( （坐标式参数方程坐标式参数方程）。普通方程 0),(zyxF(消去参数 )例 6 求球心在原点，半径为r的球面的参数方程。)22,sinsincoscoscos ( rzryrx。普通方程 2222rzyx(消去参数)sincos sinsin (, 0)cosorxryrzrPrxyzOQ例7 求以 z 轴为对称轴，半径为 R 的柱面的参数方程。cossin,xRyR uzu 。普通方程 222Ryx(消去参数)QxyzooPu3、

8、球坐标系与柱面坐标系球坐标系与柱面坐标系cos coscos sinsin0,)22xy z (, )(球面常数 （半平面）常数 )(锥面常数 ),() 1 (球坐标系 ( , , )z 空间中的点除了 轴上的点，其余的点均与有序数组一一对应，这种一一对应的关系叫做空间点的，或球坐标系空间极坐标系。PxyzOQcossin(0,)xy zu, u )(柱面常数 （半平面）常数 ),()2(u柱面坐标系 ( , , )zu 空间中的点除了 轴上的点，其余的点均与有序数组一一对应，这种一一对应的关系叫做空间点的柱面坐标系空间半极，或坐标系。QxyzooPu例8 在同一个直角标架所决定的直角坐标系，

9、球坐标系与柱坐标系中： (1) 直角坐标为(1,1,1)的点，求它的球坐标与柱坐标； (2) 球坐标为(1, , )的点，求它的直角坐标与柱坐标.23 4 解 (1)球坐标 , 柱坐标 ; (2)直角坐标 , 柱坐标 .3343(, arcsin) 214(,) 262442(,)222232(,) 作业作业：P87 1、3(4)、4(1)、6(1)、82.3 空间曲线的方程空间曲线的方程1、一般方程一般方程0),(0),(21zyxFzyxF例 1 写出OZ轴的方程.例 2 求在xOy坐标面上,半径等于R,圆心为原点的圆的方程.2、参数方程参数方程btat ),()( )()()( btat

10、zztyytxxor（坐标式参数方程）建立坐标系O；e1，e2 ，e3 ) ( )()()()(321btaetzetyetxt（向量式参数方程）例例 3 3 一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动, 另一方面作平行于轴线的等速直线运动,其速度与角 速度成正比,求这个质点运动的轨迹方程.)( sincosbzayax参数方程(圆柱螺线)( sincosbzayax参数方程一般方程 sincosbzaybzax一般方程例4. 维维安尼曲线例5. 双柱面曲线例6. 有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的转动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，试建立圆锥螺线的方程。cossin,(0)xayazb 例7 有两条互相直交的直