管理经济学电子教案第4章

1、投入产出的最投入产出的最优组合优组合第第四四章章本章知识点本章知识点: :1.单一可变要素的最优利用单一可变要素的最优利用2.总产量、平均产量、边际产量总产量、平均产量、边际产量3.边际收益递减规律边际收益递减规律4.生产的三个阶段生产的三个阶段5.单一可变投入要素最优投入量的确单一可变投入要素最优投入量的确定定企业在生产经营中必然遇到的两个问题：企业在生产经营中必然遇到的两个问题：1 1、投入要素怎样组合达到最优？、投入要素怎样组合达到最优？2 2、产品产量怎样组合才是最优？、产品产量怎样组合才是最优？4.1 4.1 单一可变要素的最优利用单一可变要素的最优利用4.1.1 生产函数生产函数

2、生产函数表明了一定数量的投入要素所能获生产函数表明了一定数量的投入要素所能获得的最大产量，其一般形式为：得的最大产量，其一般形式为：),(21nxxxfq x1,x2xn代表各种投入要素的数量，代表各种投入要素的数量，q表表示生产要素投入后能获得的最大产量。研究两种示生产要素投入后能获得的最大产量。研究两种投入要素产出一种产品的情况可由下式表示：投入要素产出一种产品的情况可由下式表示： ),(klfq 其中其中l为劳力，为劳力，k为资本。为资本。 最著名的生产函数是柯布最著名的生产函数是柯布道格拉斯函数，道格拉斯函数，其形式为：其形式为： 其中其中a、b、c都是常数。该函数具有如下特征：都是常

3、数。该函数具有如下特征： 1、对数形式、对数形式 是一个线性函数。是一个线性函数。 2、属于齐次生产函数。即如果、属于齐次生产函数。即如果k与与l分别乘分别乘以以t，t可作为公因子提出。可作为公因子提出。clglblgklgalgqcbcbcblkattl)(tk)(ahqcblkaq 3、参数、参数b和和c正好是正好是k和和l的产出弹性。的产出弹性。可以验证：可以验证： 因此，只要把参数因此，只要把参数b和和c估计出来，就能根据估计出来，就能根据k 和和l的变化算出的变化算出q的相应变化。的相应变化。cqldldqebqldkdqelk)(*yyxfqtp4.1.2 总产量、平均产量、边际产

4、量总产量、平均产量、边际产量 总产量反映生产体系中一种投入要素耗用量总产量反映生产体系中一种投入要素耗用量的变化和产出量之间的关系。用公式表示是：的变化和产出量之间的关系。用公式表示是： 式中式中y是固定要素投入量，是固定要素投入量，y*表示常量，表示常量，x为变为变动要素投入量。总产量曲线如下图所示：动要素投入量。总产量曲线如下图所示：xqtp 从总产量可以导出边际产量和平均产量。平从总产量可以导出边际产量和平均产量。平均产量的计算公式为：均产量的计算公式为：xqapx边际产量的计算公式为：边际产量的计算公式为：dxdqmpx当生产要素的投入量为非连续变化时：当生产要素的投入量为非连续变化时

5、：xqmpx4.1.3 边际收益递减规律边际收益递减规律 边际收益递减规律即变动比例规律，指在其边际收益递减规律即变动比例规律，指在其他要素数量不变的前提下，逐步增加某一投入要他要素数量不变的前提下，逐步增加某一投入要素，其边际产量最终会减少。素，其边际产量最终会减少。 农业中关于施肥量与产量之间关系的实验证农业中关于施肥量与产量之间关系的实验证明了这一规律。在一块一定面积的水稻田上连续明了这一规律。在一块一定面积的水稻田上连续施用某种化肥对产量的影响见下页附表。施用某种化肥对产量的影响见下页附表。 边际收益递减规律起作用的前提是：只存在边际收益递减规律起作用的前提是：只存在一种变动生产要素，

6、且技术水平不变。一种变动生产要素，且技术水平不变。增施氮肥对水稻产量的影响增施氮肥对水稻产量的影响每亩用纯氮每亩用纯氮（公斤）（公斤）每亩水稻产量（公每亩水稻产量（公斤）斤）每增施每增施10公斤氮肥增收稻公斤氮肥增收稻谷（公斤）谷（公斤）5300253603045400206542010754255954302.54.1.4 生产的三个阶段生产的三个阶段 对一个连续的总产量函数来说，边际产量就对一个连续的总产量函数来说，边际产量就是总产量曲线的斜率，平均产量则是原点与总产是总产量曲线的斜率，平均产量则是原点与总产量曲线各点连线的斜率（见下图）。由下图可看量曲线各点连线的斜率（见下图）。由下图可

7、看出边际收益递减规律在起作用。出边际收益递减规律在起作用。xqtpc: mp=0b:mp=apa:mpap 由于边际收益递减规律作用，可根据可变要由于边际收益递减规律作用，可根据可变要素投入量的多少，把生产划分为三个阶段（见下素投入量的多少，把生产划分为三个阶段（见下图）。图）。mpxxtpbaqcapxx1x2x30第一阶段是第一阶段是0 x2第二阶段是第二阶段是x2x3第三阶段是第三阶段是x3 x4.1.5 单一可变投入要素最优投入量的确定单一可变投入要素最优投入量的确定 1. 确定最大利润的方法确定最大利润的方法 设：设：tr为企业某一产品的总收入，为企业某一产品的总收入，tc为总成为总

8、成本，本，t为总利润。则：为总利润。则：称称为为边边际际利利润润,dq)t(dm称称为为边边际际收收入入,dq)tr(dmr 称称为为边边际际成成本本,dq)tc(dmc 显然，由显然，由t=tr-tc可得可得m=mr-mc。当。当t取最大值时，取最大值时，m=0,即即mr=mc。所以当利润。所以当利润最大时，边际收入等于边际成本。最大时，边际收入等于边际成本。2. 边际产量收入边际产量收入 投入要素的边际产量和产品销售的边际收入投入要素的边际产量和产品销售的边际收入的乘积叫做投入要素的边际产量收入，它是指生的乘积叫做投入要素的边际产量收入，它是指生产某种产品所用的某种投入要素产出的一个边际产

9、某种产品所用的某种投入要素产出的一个边际产量的经济价值，用产量的经济价值，用mrp表示为：表示为： mrp=mpmr 3. 在变动要素的价格在变动要素的价格px不变的条件下，不变的条件下，单一可变投入要素最优投入量的确定：单一可变投入要素最优投入量的确定： mrp= px 即边际产量收入东与变动要素价格即边际产量收入东与变动要素价格4.2 4.2 多种投入要素的最优组合多种投入要素的最优组合 生产一种产品，往往需要多种投入要素。在生产一种产品，往往需要多种投入要素。在实际生产中，尤其在长远规划中，多种投入要素实际生产中，尤其在长远规划中，多种投入要素之间往往是可以相互替代的。这样就存在一个生之

10、间往往是可以相互替代的。这样就存在一个生产要素最优组合的问题。所谓最优就是指利润最产要素最优组合的问题。所谓最优就是指利润最大。大。 成本一定、产量最大或者产量已定、成本最成本一定、产量最大或者产量已定、成本最小所对应的生产要素组合就是最优组合。小所对应的生产要素组合就是最优组合。4.2.1 等产量线与投入要素的替代性等产量线与投入要素的替代性 等产量线是某一特定产量的两种可替代的投等产量线是某一特定产量的两种可替代的投入要素的所有不同组合。等产量线有两个特点：入要素的所有不同组合。等产量线有两个特点：（见下图）（见下图）q2q1kl1.离原点越远，所离原点越远，所代表的产量越大。代表的产量越

11、大。2.两条等产量线不两条等产量线不能相交能相交q3q2q1kl 在生产过程中，不同生产要素有着不同性质在生产过程中，不同生产要素有着不同性质的互替性，等产量线可划分为三种类型：的互替性，等产量线可划分为三种类型： 1. 生产要素之间完生产要素之间完全可替代。如运输货物就全可替代。如运输货物就是一例。是一例。船舶数量汽车数量q1q2q3q为运输量 2.生产要素之间完全生产要素之间完全不可替代。如自行车的车不可替代。如自行车的车架和车轮。架和车轮。q1q2q3q为自行车产量车轮数车架数 3. 生产要素之生产要素之间部分可替代。如间部分可替代。如劳力与资本之间的劳力与资本之间的替代关系。替代关系。

12、klaabb 一般情况下，等产量曲线的正向倾斜部分一般情况下，等产量曲线的正向倾斜部分（如（如aa和和bb 点）是不合理的。点）是不合理的。 在等产量曲线图中，一种要素变化量与另一在等产量曲线图中，一种要素变化量与另一种要素变化量之比，即等产量曲线斜率称为投入种要素变化量之比，即等产量曲线斜率称为投入要素的边际技术替代率要素的边际技术替代率,用用mrts表示。表示。dxdymrtsxymrts或, 要素的替代性说明在生产经营中一种投入要要素的替代性说明在生产经营中一种投入要素代替另一种投入要素而保持产量不变的能力，素代替另一种投入要素而保持产量不变的能力，它实际反映了企业在选择可供使用的生产技

13、术时它实际反映了企业在选择可供使用的生产技术时所具有的技术能力。所具有的技术能力。 下面我们来讨论下面的表中投入要素的边下面我们来讨论下面的表中投入要素的边际技术替代率际技术替代率组合方式组合方式劳劳 力力(l)资资 本本(k)产产 量量(q)a152000b232000c322000d512000 可以看到，随着劳力投入量的增加，劳力投入可以看到，随着劳力投入量的增加，劳力投入量的增量也在增加。量的增量也在增加。 在边际技术替代率为负值的在边际技术替代率为负值的范围内，两种要素此增彼减，一种要素替代另一种范围内，两种要素此增彼减，一种要素替代另一种要素的能力呈现递减性，这就是边际替代率递减规

14、要素的能力呈现递减性，这就是边际替代率递减规律。等产量曲线凸向原点体现了这一规律。律。等产量曲线凸向原点体现了这一规律。 边际替代率递减规律直接导源于边际收益递边际替代率递减规律直接导源于边际收益递减规律。可以证明，边际技术替代率就等于两要减规律。可以证明，边际技术替代率就等于两要素的边际产量之比：素的边际产量之比：0lmpkmplkklmpmplkmrts则则 由于沿等产量线从一点到另一点产量不变，由于沿等产量线从一点到另一点产量不变，资本得边际产量和资本变化量的乘积和劳力的边资本得边际产量和资本变化量的乘积和劳力的边际产量和劳力变化量的乘积相等，符号相反。即际产量和劳力变化量的乘积相等，符

15、号相反。即 等产量曲线由负向倾斜转向正向倾斜的点指等产量曲线由负向倾斜转向正向倾斜的点指明了投入要素替代的限度。我们把所有转折点的明了投入要素替代的限度。我们把所有转折点的连线称为分水岭，见下图。在上分水岭以上区域，连线称为分水岭，见下图。在上分水岭以上区域，资本投入过多，减少资本投入量反而可以增加产资本投入过多，减少资本投入量反而可以增加产量；下分水岭以下区域则反之。量；下分水岭以下区域则反之。q3q2q1kl上分水岭下分水岭 图中区域图中区域和和区域区域 对应于生产的第一和对应于生产的第一和第三阶段，区域第三阶段，区域对应对应生产的第二阶段。应当生产的第二阶段。应当在中间区域寻找最佳投在中

16、间区域寻找最佳投入要素的结合点。入要素的结合点。4.2.2 等成本曲线及其性质等成本曲线及其性质 等成本曲线指企业花费一定金额所能购买的等成本曲线指企业花费一定金额所能购买的两种生产要素的各种组合点的集合。两种生产要素的各种组合点的集合。 设生产要素设生产要素x和和y价格不变，固定经费价格不变，固定经费c的等成的等成本曲线函数表示和图形表示如下：本曲线函数表示和图形表示如下：cypxpyxxpppcyyxy，yxppe称为等成本曲线斜率。称为等成本曲线斜率。xc1c2c1 c2y4.2.3 最优投入要素组合的确定最优投入要素组合的确定 在生产成本一定的条件下，寻优就是要在等在生产成本一定的条件

17、下，寻优就是要在等成本曲线上找到最大产量点。成本曲线上找到最大产量点。 将等产量曲线和等成本曲线放在同一坐标图将等产量曲线和等成本曲线放在同一坐标图上，最佳投入比例就出现在等产量曲线和等成本上，最佳投入比例就出现在等产量曲线和等成本曲线相切之点上。该点上等产量曲线和等成本曲曲线相切之点上。该点上等产量曲线和等成本曲线斜率相等，此即最优要素组合的条件：线斜率相等，此即最优要素组合的条件：yyxxyxyxpmppmpmpmppp即,q3q2q1yxy*x*b 当一种要素每增加一元所增当一种要素每增加一元所增加的产值和其他任何要素每增加的产值和其他任何要素每增加一元所增加的产值相等时，加一元所增加的

18、产值相等时，它们就达到最佳组合比例。它们就达到最佳组合比例。4.2.4 投入要素最小成本组合的数学分析投入要素最小成本组合的数学分析 设企业的生产使用设企业的生产使用n种生产要素种生产要素x1，x2 xn ，要素的价格要素的价格p1,p2, pn不变不变,企业的目标函数为成企业的目标函数为成本函数：本函数：tc = p1x1+p2x2+ pnxn 企业的约束条件为：企业的约束条件为：q* = f(x1, x2, , xn ) 其中其中q*为特定产量。为特定产量。 在满足约束条件的情况下，确定生产要素的在满足约束条件的情况下，确定生产要素的组合使得组合使得tc最小：最小：)3,2, 1(0min

19、1*minixqqxptciniii 利用条件极值法确定最小成本的条件，取拉利用条件极值法确定最小成本的条件，取拉格朗日函数得：格朗日函数得：),(),(21*121nniiinxxxfqxpxxxl 达到最优投入要素组合的必要条件是：达到最优投入要素组合的必要条件是：nixfpxlxxxfqliiin,2, 1,00),(21*nnnpxfpxfpxfxxxf221121*),(qnnnpmppmppmpxxxfq221121*),( 这就是这就是n种投入要素在产量一定的前提种投入要素在产量一定的前提下达到成本最低利润最大的结合条件。这和下达到成本最低利润最大的结合条件。这和几何分析的结论是

20、一样的。几何分析的结论是一样的。iixfmpixf就是就是x的边际产量，即的边际产量，即4.2.5 生产扩大路线生产扩大路线 生产扩大路线又称之为扩张通道，它是投入生产扩大路线又称之为扩张通道，它是投入要素最优组合点的集合，分为长期生产扩大路线要素最优组合点的集合，分为长期生产扩大路线和短期生产扩大路线。和短期生产扩大路线。 因为企业生产因为企业生产“长期长期”、“短期短期”的区别在的区别在于是否存在固定要素，我们把不同等产量曲线和于是否存在固定要素，我们把不同等产量曲线和不同等成本曲线之间的切点连接起来，形成的轨不同等成本曲线之间的切点连接起来，形成的轨迹称作长期生产扩大路线，该路线上各种要

21、素的迹称作长期生产扩大路线，该路线上各种要素的投入量均是可变的。投入量均是可变的。 如果只有一种要素的投入量是可变的，那么如果只有一种要素的投入量是可变的，那么各投入要素组合点的集合称作短期生产扩大路线。各投入要素组合点的集合称作短期生产扩大路线。klabp长期生产扩大路线长期生产扩大路线短期生产扩大路线短期生产扩大路线 长期生产扩大路线长期生产扩大路线与企业生产资源的最优与企业生产资源的最优配置相联系，而短期生配置相联系，而短期生产扩大路线则不然。图产扩大路线则不然。图中除中除a点外，同样的产点外，同样的产量，短期生产扩大路线量，短期生产扩大路线所对应的成本比长期生所对应的成本比长期生产扩大

22、路线对应成本都产扩大路线对应成本都要高。要高。 图中的短期生产扩大路线上，随着图中的短期生产扩大路线上，随着l的增加，的增加，产量跟着增加，直到分水岭以后产量下降。产量跟着增加，直到分水岭以后产量下降。klabp长期生产扩大路线短期生产扩大路线mpxxtpbaqcapxx1x2x30q3q2q1kl上分水岭下分水岭 同学们请比较右边三幅图并思考问题： 如果k=k* ，产品价格不变，a点是否满足mrp=pl？如果不满足，为什么？4.2.7 价格变动对投入要素最优组合的影响价格变动对投入要素最优组合的影响 投入要素的价格发生变化时，最优投入要素投入要素的价格发生变化时，最优投入要素的组合将相应地发

23、生变更。的组合将相应地发生变更。 1、劳力的价格不变，、劳力的价格不变，资本的价格资本的价格pk下降。下降。q2q1klklppecccl1k1k2 若总成本若总成本c不变，不变， 因因pk的下降，等成本曲线的的下降，等成本曲线的斜率随之改变，在新的要斜率随之改变，在新的要素组合水平下等成本曲线素组合水平下等成本曲线与更高的等产量线相切。与更高的等产量线相切。若维持原来的产量不变，若维持原来的产量不变，则成本曲线变为则成本曲线变为c 。 2、资本的价格不变，、资本的价格不变，劳力的价格提高劳力的价格提高q2q1klklppecccl1k1l2 若总成本若总成本c不变，因不变，因pl的提高，等成

24、本曲线的的提高，等成本曲线的斜率随之改变，在新的要斜率随之改变，在新的要素组合水平下等成本曲线素组合水平下等成本曲线与更低的等产量线与更低的等产量线q2相切。相切。若维持原来的产量不变，若维持原来的产量不变，则成本曲线变为则成本曲线变为c 。 存在一条生产要素替存在一条生产要素替代规则，即根据最小成本代规则，即根据最小成本原则，如果有一种生产要原则，如果有一种生产要素的价格上升，而其他的素的价格上升，而其他的不变，企业可用其他要素不变，企业可用其他要素来替代价格上升的要素来替代价格上升的要素（如右图所示）。（如右图所示）。q2q1klcccl1k1l2ab 替代规律可由最小成本组合条件方程替代

25、规律可由最小成本组合条件方程 导出：导出：kkllpmppmp。下下降降，使使方方程程最最终终平平衡衡p p上上升升，多多使使用用k k使使得得m m。减减少少使使用用l l使使得得m mp pp pm mp pp pm mp p上上升升，则则若若p pk kl lk kk kl ll ll l4.2.8 生产资源有限条件下的最优投入结合生产资源有限条件下的最优投入结合1、投入要素存在固定比例的等产量线、投入要素存在固定比例的等产量线 在实际生产过程中，资本和劳力同时存在一些在实际生产过程中，资本和劳力同时存在一些不同的固定比例，如右图所示。不同的固定比例，如右图所示。eabcdkl0q=10

26、00单位 等产量线等产量线abcde是一是一条折线，产量水平为条折线，产量水平为1000单位。在单位。在ab（或（或bc）之）之间的点上没有直接的投入。间的点上没有直接的投入。当这些不同的固定比例无当这些不同的固定比例无限多时，其极限情况即为限多时，其极限情况即为任意变动比例生产函数的任意变动比例生产函数的等产量线。等产量线。 如右图，在等产量如右图，在等产量线线bc 段上任取一点段上任取一点r，可以得到过程可以得到过程 t2 和和 t3 上的两点上的两点b 和和c ,它们它们的产量组合恰好为的产量组合恰好为1000单位。证明如下：单位。证明如下： 假如要素投入单位可以细分，就可以适当组合假如

27、要素投入单位可以细分，就可以适当组合密切相关的两个生产过程进行生产，如按密切相关的两个生产过程进行生产，如按b点的比点的比例生产例生产750单位产量，按单位产量，按c点的比例生产点的比例生产250单位产单位产量，同样可得量，同样可得1000单位产量。单位产量。kk1 k3 k2 ll1l2l3bccbr012t2t3q=1000单位 过过r点分别作点分别作ot2和和ot3的平行线的平行线rc 和和rb 。oc rb 是平行是平行四边形。四边形。kk1 k3 k2 ll1l2l3bcc b r0t2t3q=1000单位单位qqbcrbqbcrcqqqqbcbrqqbcrcqobobqbcrcob

28、rcobobobobqqctbtrctbtbt32322同理32132112321olololokokok,kkokrboc,同理，同理，2、生产资源有限条件下投入要素的最优组合、生产资源有限条件下投入要素的最优组合 在生产期间，企业的投入资源往往是有限的，在生产期间，企业的投入资源往往是有限的，企业只能在资源约束条件下求最优投入结合比例。企业只能在资源约束条件下求最优投入结合比例。下面举例说明。下面举例说明。设设（1）企业只存在五种固定投入比例；）企业只存在五种固定投入比例； 企业希望在企业希望在l和和k使用有限的条件下使产量达使用有限的条件下使产量达到最大。下面将图解法和代数分析法结合起来

29、解到最大。下面将图解法和代数分析法结合起来解决问题。决问题。（2）当前生产期只有）当前生产期只有20单位劳力和单位劳力和11单位资本；单位资本； （3）企业力争产量）企业力争产量q最大。最大。 t1t2t3t4t5abcderl 如图，阴影区域为可如图，阴影区域为可行区域。其中角点行区域。其中角点r离原离原点最远，对应产量也最大。点最远，对应产量也最大。由于由于r处在生产过程处在生产过程t2和和t3之间，产量最大的组合之间，产量最大的组合只能利用这两种生产过程。只能利用这两种生产过程。 设设t2生产一单位产品需要生产一单位产品需要5单位单位l和和5单位单位k，t3生产一单位产品需要生产一单位产

30、品需要12单位单位l和和5单位单位k。则有。则有ktlttktlttpqpqtcpqpqtc33322251255由生产资源约束条件得：由生产资源约束条件得：)(1155)(201253232约束约束kqqlqqtttt解方程组得解方程组得单位单位单位2 .235777935323232ttttqqqq4.3 4.3 规模收益率规模收益率 按某一固定比例增加要素的投入量将如何影按某一固定比例增加要素的投入量将如何影响总产量呢？这就是规模收益率问题。响总产量呢？这就是规模收益率问题。4.3.1 规模收益率的递增、不变与递减规模收益率的递增、不变与递减 规模收益率递减规律：随着企业规模的扩大，规模

31、收益率递减规律：随着企业规模的扩大，产量增长的倍数开始时大于投入增加的倍数，然产量增长的倍数开始时大于投入增加的倍数，然后等于投入增加的倍数，最后小于投入增加的倍后等于投入增加的倍数，最后小于投入增加的倍数。数。定义：定义：递减递减111114.33008:168递减递减113116.72707:147不变不变1201202406:126递增递增1671252005:105递增递增171133.31204:84递增递增350150703:63递增递增400200202:42-51:21规模收规模收益率益率产量增产量增长百分长百分数数(%)规模增规模增大百分大百分数数(%)产量产量资本资本/劳力劳力序序数数生产规模与收益的关系生产规模与收益的关系 运用等产