第二章 控制系统的数学模型5ppt课件

1、中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟 拉普拉斯Laplace法国法国 数学家数学家17491827中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2第二章第二章 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型 研究与分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及特性，而且更要定量

2、地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与其动态性能之间的关系。这就要求建立控制系统的数学模型。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型3学习要点学习要点 数学模型(微分方程)的建立及线性化 拉氏变换及拉氏反变换 传递函数定义及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其化简 系统的闭环传递函数 绘制实际物理系统的函数方块图中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第

3、二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型4 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。 微分方程 （时间域） 代数方程复数域）传递函数传递函数方块图方块图信号流图信号流图拉氏变换拉氏变换中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型5动 力滑 台yo(t)工件Fi(t)(tfi 2-1 数学模型的建立例1 质量-弹簧-阻尼系统Fi(t)yo(t)Mkf( )if tD tftkytyDtyMtyMtyDtkytfMaFio

4、oooooi 即：牛顿第二定律： 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型6例例2 无源电路网络无源电路网络 ti ti1 ti2uiuo1RC2R 4 3 2 1 tiRtutiRdttic1tiRtututititi2o21121oi21 姆姆定定律律，有有根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律和和欧欧 tudttduCRtuRRRdttduCRiioo122111432，并整理得到：分别代入、将中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China u

5、niversity of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型7练习练习1 下图为电感下图为电感L、电阻、电阻R与电容与电容C的串并联电路，的串并联电路，ui为输入电压，为输入电压，u0为输出电压。为输出电压。iL(t)iR(t)ic(t)0LidiuLudt01RcuRii dtCLCRiii000iLLCuuuuR中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型8例例3 有源电路网络有源电路网络 _ K0

6、 + ui(t) i1(t) i2(t) uo(t) C R A B )()()()(00tuKtutuKtuAABo点为虚地点。一般很大又因为AKtutuKoA0)()(0012( )( )( )( )( )( )iAooi ti tu td utu tdu tCCRdtdt 因因为为运运放放的的输输入入阻阻抗抗很很高高，所所以以。因因此此有有( ) ( )oidu tRCu tdt 整整理理得得数数学学模模型型 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型

7、9Raei(t)LaiaemTJfif=常数)(to 图2-5 电枢控制式直流电动机 tdttditteLiRemaaaai 根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律，有有 电电机机力力矩矩常常数数其其中中，作作用用定定律律，有有根根据据磁磁场场对对载载流流线线圈圈的的KiKTaTttT 反反电电势势常常数数其其中中，根根据据电电磁磁感感应应定定律律，有有KKeeoemdttdt 2o2odttdJdttdftT ，有，有根据牛顿第二定律定律根据牛顿第二定律定律例例4 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机电机电枢电机电枢输入电压输入电压电机输出电机输出转角转角电枢绕组电枢绕组电阻电阻电枢绕组电枢绕

8、组电感电感流过电枢绕组流过电枢绕组的电流的电流电机感应电机感应反电动势反电动势电机电机转矩转矩电机及负载折电机及负载折合到电机轴上合到电机轴上的转动惯量的转动惯量电机及负载折合电机及负载折合到电机轴上的粘到电机轴上的粘性摩擦系数性摩擦系数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型10将上面四个方程联立，可得将上面四个方程联立，可得 tdttdadttJfdttJeKKKfRdRLdLiToeT2o2aa3o3a tdttdadttJeKKKfRdRiToeT

9、2o2a 化化为为：若若忽忽略略电电枢枢电电感感，可可简简 tdttdeKioe 为为：都都忽忽略略，可可进进一一步步简简化化若若电电枢枢电电感感、电电枢枢电电阻阻中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型11列写微分方程的一般步骤：列写微分方程的一般步骤：1. 将系统划分环节，确定各环节的输入及输出将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号；信号；2. 根据物理定律或通过实验等方法得出的物理根据物理定律或通过实验等方法得出的物理规律列写上述各环节的原始方程

10、式，并适当规律列写上述各环节的原始方程式，并适当简化，或线性化；简化，或线性化；3. 将各环节方程式联立，消去中间变量，最后将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得到只含有输入、输出变量以及参量的系统得到只含有输入、输出变量以及参量的系统微分方程式数学模型）。微分方程式数学模型）。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型12 2-2 数学模型的线性化数学模型的线性化实际系统一般都有非线性现象实际系统一般都有非线性现象几乎所有实际物理系统都是非线性的。 电机

11、死区电机死区 放大器饱和放大器饱和齿轮间隙齿轮间隙xixixix0 x0 x0中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型13线性化条件线性化条件1. 非线性因素对系统影响很小。非线性因素对系统影响很小。2. 系统变量只发生微小偏移，可通过切线法系统变量只发生微小偏移，可通过切线法 进行线性化，求其增量方程。进行线性化，求其增量方程。 不是各个变量的绝对数量，不是各个变量的绝对数量，而是它们偏离平衡点的量而是它们偏离平衡点的量中国石油大学机电工程学院中国石油大

12、学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型14 设具有连续变化的非线性函数为设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某，若取某一平衡状态为工作点，如一平衡状态为工作点，如 。A点附近有点点附近有点为为 ， 当当 很小时，很小时，AB段段可看做近似线性的。可看做近似线性的。)(0, 0yxA),(yyxxBxByx00 xxx00y00yy)(xfy .)(|)(! 21)(|)()(20220000 xxdxxdfxxdxxdfxfyxxxx)(0,0yxA设设f(x)在在 点连续可

13、微，将函数点连续可微，将函数在该点展开为台劳级数，得：在该点展开为台劳级数，得：假设假设 很小，那么很小，那么 ，即，即 式中，式中，K是与工作点有关的常数，上式是线性方程，是非线性是与工作点有关的常数，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。方程的线性表示。x)(|000 xxdxdyyyxxxKxdxdyyxx0|中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1522002( )( )sin( )()idtT tmgt lmldt根根据据转转动动定定理理，有

14、有：: sin ! 5! 3sin 0sin 53可近似为线性方程量，则很小时，可忽略高阶小当台劳级数展开，得：附近用在将程，这是一个非线性微分方ooooooooo ttmgldtt2Tdmlio2o2 )(to mTi(t)P15 图2-5 单摆l 单 摆中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型16线性化步骤线性化步骤l找出静态工作点工作点不同，所得线性化方程的系数也不同）；l在工作点附近展成台劳级数；l 变量的偏移愈小，线性化精度越高；l略去高阶项，仅

15、考虑台劳级数的一次项，得到关于增量的线性化微分方程。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型17 2-3 拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换 一种解线性微分方程的一种解线性微分方程的简便方法简便方法分析工程控制系统的基本数学方法时域微分方程复变函数代数方程 拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学

16、模型18复变量和复变函数复变量和复变函数复数有实部和虚部，两部分都是常数。复数有实部和虚部，两部分都是常数。 如：如：复变量指复数的实部或虚部中含有变量。复变量指复数的实部或虚部中含有变量。 如：如：复变函数复变函数 是是 s 的函数，有实部和虚部。的函数，有实部和虚部。如：如： 25tanarg525222 jsj sF sFsFjsFFFyx 22arctanxyyxF sF sFFFF中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型19复数相加减）：两个复数

17、的实部和虚部分别相加得复数相加减）：两个复数的实部和虚部分别相加得和差的实部和虚部。和差的实部和虚部。 如：如：复数相乘除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积复数相乘除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积商），相角等于两个复数相角的和差）。如：商），相角等于两个复数相角的和差）。如：复数分母有理化复数分母有理化 分子和分母同时乘上分母的共轭复数。分子和分母同时乘上分母的共轭复数。如：如： (25)(47)(24)(57)612jjjj)(/,212121222111rrFFFrFrF138143264128) 32)(32() 32)(24(32242222jjjjjjjjjjj中国石油大学机电工

18、程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型20例如：例如： 2 : 222 rsrjsssG其其中中GxGyj G(s)平面平面40S平面平面20jw中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型21一、拉氏变换定义一、拉氏变换定义对于函数 ，若满足下列条件： x t 正正实实数数，其其中中、 dttxet02 续续。在在每每个个有有限限区区间

19、间分分段段连连时时，当当时时，、当当txttxt0 ; 001 0 stx tX sX sL x tx tdte则则可可定定义义的的拉拉氏氏变变换换为为象函数象函数原函数原函数复变量量纲复变量量纲 1t中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型22 拉氏变换的积分下限 若x(t)在t=0处有一个脉冲函数，则必须明确拉氏积分的下限是0+还是0。0 ( )( )stL x tx t edt0000 ( )( )( )( )stststL x tx t edtx

20、t edtx t edt ( ) ( )L x tL x t中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型23二、简单函数的拉氏变换二、简单函数的拉氏变换1. 单位阶跃函数单位阶跃函数 t1 00110ttt ssdtttLeestst101110 0t1 t1中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型242. 指数函数指数函

21、数 tet1 ssdtdtttLeeeeetstssttt10111000t1 tet1 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型25 sincos sincos jjeejj 根据欧拉公式：根据欧拉公式： 1tLte可可利利用用 的的结结果果。 tttt1cos1sin3 和和余余弦弦函函数数、正正弦弦函函数数 2cos2sineeeejjjjj 则则中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleu

22、m控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型26 2222222 ()j tj t111sin112211222LttLtjj sjsjsjsjjjj sjssjee 221121 121cos ssjsjstLttLeetjtj同理：同理：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型274. 幂函数幂函数 n1tt 1 0( )xxe dx设0t ttn1 1 1 0 0 0 0 0 1 0(1)()()() ()0( )nx

23、nxnxnxxnnxnxe dxx e dxx dexeed xn xe dxnnn ！则11 0 1 0 !) 1(1)( 1L1,nnunnstnnsnsndueusdtetttdusdtsutstu根据定义有则令中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型28应记住的一些简单函数的拉氏变换 12222 1 1cos 1sin-s1 1s1 1 nntsn!tssttsttttte 象象函函数数原原函函数数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院C

24、hina university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型29三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质1. 叠加性质叠加性质1122 ( )( )( )( )L x tX sL x tXs若若 1212 0 12 0 0 12 0 012 stststststatbtatbtedtat edtbt edtat edt bt edtasbsLxxxxxxxxXX1212( )( )( )( )L ax tbx taXsbXs则则中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petrole

25、um控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型302. 微分定理微分定理dttdxLssxdtedttdxssxtdxsesetxesdtxdtetxtxLststststst)(1)0()(1)0()()()1()()()(00 0 00 0dLx ts X sxdt中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型31 0dLx ts X sxdt 00001221nnnnnnnxsxxsxssXsdttxdL 2100000 n

26、nnnnxxxxd x tLs X sdt：若若两个重要推论：两个重要推论：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型32 ssXsxdttxsesxdttxdsesedttxseddttxdtedttxdttxLststststst)()0( )0( 1 0 1 0 0 0 0 3. 积分定理积分定理 11 xtx t dt0其中xX sLx t dtss中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petrole

27、um控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型33 01210 000tnnnnnnnnndttxxsxsxsxssXdttxL式中，符号 nnnnssXdttxLxxx 0000 21若两个推论：两个推论：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型344. 衰减定理衰减定理 sXtxLet 2222cos cos : cos sstLsstLtLeett已已知知解解求求例例：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院C

28、hina university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型355. 延时定理延时定理 sXttxLes100 ttx1 ttx1 tt中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型366. 初值定理初值定理 ssFtfstlimlim0 0sin 220limlim sstst求求例：例：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleu

29、m控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型377. 终值定理终值定理 ssXtxstlimlim0 s x tx tX s的的终终值值存存在在即即有有稳稳态态解解即即的的极极点点全全在在左左半半条条平平面面，。：使使用用件件22 sin sin ssin limttLtsjst 例例：求求的的极极点点在在虚虚轴轴上上，而而不不在在左左半半 平平面面。无无终终值值。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型388. 时间比例尺

30、改变的象函数时间比例尺改变的象函数asaXatxL2222221)2(21 2sin)( sin 2sin ssFtLsFstLtL求例：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型39 9. tx(t)的象函数的象函数dssdXttxL)()(10. 的象函数的象函数ttx )(sdssXttxL)()(中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数

31、学模型控制系统的数学模型4011. 周期函数的象函数周期函数的象函数 txTtx 设设： dtetxetxLstTsT 011则则：12. 卷积分的象函数卷积分的象函数 sYsXtytxL dytxtytxt0中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型41例例2-1 求单位脉冲函数的象函数求单位脉冲函数的象函数 00000 , 0 0 ,1lim0tttttttt或或 0t0t01 t 0000000111lim11lim00tttttttttttt 解解：

32、 1! 21111lim 111lim22000000000 stststessttLtstt 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型42例例2 求求f(t)的象函数的象函数 )( 16132cos4)(5tetttft 1)( 1 22cos22stLsstL)( 161)6(2cos4)( 16132cos4)(55tetttetttftt 51 24)(226ssestfLs中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China univers

33、ity of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型43四、拉氏反变换四、拉氏反变换 :1 2( )jstjx tX sdsjX se 公式大于所有奇异部的常。点实实数 sXLtx1 简记为：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型44拉氏反变换方法拉氏反变换方法l利用拉氏变换表附录A）l利用部分分式展开法，再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质MATLAB：r,p,k=residue (num, d

34、en)中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型45控制系统象函数的一般形式：控制系统象函数的一般形式： mnsssXaasasbbsbsbnnnnmmmm 1111110使分子为零的使分子为零的s s值称为值称为象函数的零点象函数的零点使分母为零的使分母为零的s s值称为象值称为象函数的极点函数的极点将分母因式分解后，上式包括三种不同的极点情况，将分母因式分解后，上式包括三种不同的极点情况，采用部分分式展开法进行拉氏反变换。采用部分分式展开法进行拉氏反变换

35、。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型461、只含不同单极点情况、只含不同单极点情况 1011111101112 mmmmnnnnmmmmnsX snmsssssb sb sbbsa saab sb sbbppp对分母分解因式对分母分解因式 ppssXcpsckskkkk 上的留数，为极点 12112np tp tp tneee1x tLX sccct112121 nnnnccccspspspsp中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院Chin

36、a university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型47 2+32-4 = +3 +2sX sss例求的拉氏反变换 21213 233212 scscsssssssX 12213212132211 sssssscssssc 2112 sssX teetxtt122 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型482、含有共轭复极点情况、含有共轭复极点情况 ssssL2311 52例例 sa

37、ssasassssssss32212231111 1 1 01 332313323221 aaaaasasasasasa有有：通通分分、比比较较系系数数1 012 aa1-10中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型49sssssssssss12321233323212112321332321112222222 )(1123sin3323cos)(2121ttttxeett中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university o

38、f petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型503、含有多重极点情况、含有多重极点情况 101111110111211211211 mmmmnnnnmmmmlllb sbsbsbX snmsa sasab sbsbsbspspspspspspspsp 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型51其中 的求法 111111111111!11!1pspsjjjpspspssXdsdpssXdsdjpssXds

39、dpssXj中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型52 21132327 :1ssLX sLs例例求求 2321332231111ssXsssss 12s2dsd213s2sdsd!2102s23s2sdsd21s1s3s2s1s1s22211s1s221s3323 其其中中： 23 1ttttt ee2111即即：X sxss中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基

40、础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型53五、用拉氏变换解常系数线性微分方程五、用拉氏变换解常系数线性微分方程利用拉氏变换解微分方程的步骤：利用拉氏变换解微分方程的步骤：1. 对微分方程进行拉氏变换；对微分方程进行拉氏变换；2. 作因变量的拉氏反变换，求出微分方程的作因变量的拉氏反变换，求出微分方程的 时域解。时域解。 利用微分定理的推论利用微分定理的推论1）。）。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型54 s6sY60yssY50y0sy

41、sYs2 解解： 20, 20y 665 82 yyyy 其其中中：解解方方程程例例 3s42s5s13s2ss6s12s2sY20y,22 代入，并整理，得代入，并整理，得将将0y t3t2e4e51ty 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型55习题：求如图所示函数的习题：求如图所示函数的LaplaceLaplace变换变换2T1T0Af (t)3Tt2A3A4A解：根据图示的阶梯曲线可得阶梯解：根据图示的阶梯曲线可得阶梯函数的表达式为函数的表达式为

42、 f(t) = A1(t) +1(t-T) +1(t-2T) +1(t-3T) + 对阶梯函数对阶梯函数f(t)进行进行Laplace变换得变换得)1 ()1111()(3232sTsTsTsTsTsTeeesAesesessAtfL中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型56当当Re(s)0时，有时，有 1sTe)2coth1 (2111111)(22sTsAeesAesAtfLsTsTsT中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China un

43、iversity of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型57一、传递函数定义 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 与输入象函数 之比。 oX s iX s 2-4 传递函数及 典型环节的传递函数 sXsXsGio G s iX s oX s中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型58零初始条件零初始条件 输入及其各阶导数在输入及其各阶导数在t =0时刻均为时刻均为0； 输出及其各阶导数在输出及

44、其各阶导数在t =0时刻均为时刻均为0。传递函数三要素传递函数三要素 线性定常系统线性定常系统; 零初始条件零初始条件; 输出与输入的拉氏变换之比。输出与输入的拉氏变换之比。 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型59 txbtxbtxbtxbtxatxatxatxaimimmimiononnono 11101110设线性定常系统的微分方程为设线性定常系统的微分方程为 sXbsbsbsbsXasasasaimmmmonnnn 11101110 ，得得拉拉

45、氏氏变变换换且且零零初初始始条条件件 nnnnmmmmioasasasabsbsbsbsXsXsG 11101110 则则系系统统传传递递函函数数为为：中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型60二、传递函数的性质二、传递函数的性质1. 传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本身参数描述的线性定常系统输入量和输出身参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式，是量的关系式，是 s 的有理真分式，表达了的有理真分式，表达了系统

46、内在的固有特性，与输入量无关；系统内在的固有特性，与输入量无关；2. 传递函数有无量纲，应根据输入、输出量传递函数有无量纲，应根据输入、输出量的量纲而定；的量纲而定；3. 传递函数通常不表明系统物理特性和物理传递函数通常不表明系统物理特性和物理结构；结构；4. 传递函数是单位脉冲响应的拉氏变换。传递函数是单位脉冲响应的拉氏变换。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型61三、传递函数的优点三、传递函数的优点 sXsGsXio 2数数有有一一定定关关系系：其

47、其输输出出与与传传递递函函、当当输输入入典典型型信信号号时时，域域分分析析；，可可进进行行频频率率、令令传传递递函函数数中中 3 js 动动态态过过程程。分分布布，决决定定系系统统、传传递递函函数数的的零零、极极点点 4数数运运算算；、比比微微分分方方程程简简单单，代代1中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型62四、传递函数的零点、极点四、传递函数的零点、极点 系统的传递函数G(s)是以复变数s作为自变量的函数。经因式分解后，G(s)可以写成如下形式：1

48、212()()()( )()()()mnK szszszG sKspspsp（ 是常）数 上式称为传递函数的零极点增益模型，z1、z2,zm称为G(s)的零点；p1、p2,pn称为极点，也是系统微分方程的特征根。K是系统的放大系数。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型63五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数1. 比例环节比例环节 oixtK x t时间域方程 oioiXsK XsXsG sKXs中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院C

49、hina university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型64例例2-9 运算放大器运算放大器 _ + ui(t) uo(t) R1 R2 1212121221 )(00RRKRRsUsUsGsURRsUtuRRtuRtuRtuioioiooi拉氏变换后有中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型652. 一阶惯性环节一阶惯性环节 1111 TssXsXsGsXsXsTsXtxtxtxT

50、TssGioiooioo时间域方程时间域方程时间常数时间常数中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型66例例2-11 无源滤波电路无源滤波电路 ui(t) uo(t) R C i(t) 11( )( )( )( )11( )( ) 1)1( ) ()1iiooiooiu ti t Ri t dtUsI s RI sCCsuti t dtUsI sCCsUsRCsUsUsG sRCTUsRCs消消去去中中间间变变量量得得（则中国石油大学机电工程学院中国石油大

51、学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型67 11sKDKDsKsXsXsGio例例2-12 弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统 oioioodxtK x txtDdtKXsKXsDsXs中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型683. 微分环节微分环节理想微分环节理想微分环节 oioioixtKx tXsKsXsXsG sKsXs oioioiutKtUsK

52、ssUsG sKss永磁式直流测速机永磁式直流测速机中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型69l 近似微分环节近似微分环节 1TsKTssG 11 RCsRCsCsRRsssGUUio1 KRCT其中：其中：uiuoRC无源微分网络无源微分网络中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型704. 积分环节积分环节 sks

53、XsXssXksXdttxktxsksGioioio RCssUsUsGsCsURsUdttduCRtuiooioi1 )()( RCk1 其其中中： _ K0 + ui(t) i1(t) i2(t) uo(t) C R A B 中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型715. 二阶振荡环节二阶振荡环节 10 12122 其中其中TssTsG 22222 2 21 21oooioooioiT xtTxtxtx tT s Xss TXsXsXsXsG sXs

54、T sTs对应时域方程：拉氏变换： 1RCsLCs1Cs1RLsCs1sUsU2io uiuoRCLLCRLCRCTRCRCTLCTLCT222 2 2 其中：其中：=中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型72 传递函数列写大致步骤传递函数列写大致步骤 方法一：方法一： 列写整个系统的微分方程列写整个系统的微分方程 消去中间变量消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比。求输出与输入拉氏变换之比。 方法二：方

55、法二： 列写系统中各元件的微分方程列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求各元件的拉在零初始条件下求各元件的拉氏变换氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量去中间变量 得出传递函数的形式。得出传递函数的形式。中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型73六、传递函数在六、传递函数在MATLAB中的描中的描述述 10111011 mmommnninnXsb sbsbsbG sXsa sa sasa有两种表示方法：有两种表示方法

56、：1. 2.(num,den)systf()sszpk sys其中：其中： num=b0,b1,bm-1,bm, den=a0,a1,an-1,an , , 2(num,den)z p ktfzp中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型74中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型75 2.5 方块图及其变方块图及其变换

57、换 sXo sXo方块图方块图系统中各元件的功能和信号流向的系统中各元件的功能和信号流向的图解表示。图解表示。2. 比较点相加点）比较点相加点）3. 引出点分支点）引出点分支点） sXi sXo- sXsXsEoi+1. 方块图单元方块图单元 sG sXi sXo中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型764. 串联串联 1212312ooiiXsXs Xs XsG sGs Gs GsXsXsXsXs sXo sX2 sX1 sXi sG3 sG2 sG1

58、 sG sXi sXo中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型775. 并联并联 sGsGsXsXsXsXsXsGiio2121 sXi sXo sG sG1 sG2 sXi sX2 sXo sX1中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型78 sXi sXo sG sH sB sE6. 反馈联接反馈联接 sXi sXo

59、 s sBsHsXsXsGsEsEsBsXooi+ sHsGsGsXsXsio1_联立并消去中间变量联立并消去中间变量+中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型79 sXi sXo sG sH sB sE+ 具有负反馈结构的传递函数等于前向通道的传递函数除以1加若正反馈为减前向通道与反馈回路传递函数的乘积。 sHsGsGsXsXsio1_中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控

60、制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型80l l 前向通道传递函数前向通道传递函数G(s)：从输入端到输出端沿：从输入端到输出端沿信号传递方向通道上的传递函数之积。即输出信信号传递方向通道上的传递函数之积。即输出信号号X0(s)与偏差信号与偏差信号E(s)之比。之比。 sXi sXo sG sH sB sE+0( )( )( )XsG sE s中国石油大学机电工程学院中国石油大学机电工程学院China university of petroleum控制工程基础控制工程基础第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型81l l 反馈回路传递函数反馈回路传递函数H(s)