第三节微积分基本公式1ppt课件

1、上一页下一页返回第三节 微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿莱布尼兹公式四、小结回到网页上一页下一页返回变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出).()()(1221TsTsdtt

2、vTT ).()(tvts 其其中中上一页下一页返回 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数上一页下一页返回abxyo定理定理 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dtt

3、fxxa )()(在在,ba上具有导数， 且它的导数上具有导数， 且它的导数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x上一页下一页返回 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x上一页下一页返回 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttf

4、xFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF上一页下一页返回例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必

5、达法则型不定式，应用洛必达法则.上一页下一页返回例例 2 2 设设)(xf在在),(内连续，且内连续，且0)( xf.证证明函数明函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0(内为单调增加内为单调增加函数函数. 证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF上一页下一页返回 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(

6、xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.上一页下一页返回例例 3 3 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，且且1)( xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一个个解解. 证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一个个解解.令令上一页下一页返回定理定理2 2原函数存在定理）原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba

7、上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. . 定理的重要意义：定理的重要意义：（1肯定了连续函数的原函数是存在的肯定了连续函数的原函数是存在的.（2初步揭示了积分学中的定积分与原函数之初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.上一页下一页返回定理定理 3 3微积分基本公式）微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已

8、已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿莱布尼茨公式上一页下一页返回令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式上一页下一页返回)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba

9、时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.上一页下一页返回例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12上一页下一页返回例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 上一页下一页返回例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 计算曲线计算曲线xysin 在在, 0 上与上与x轴所围轴所围 成的平面图形的面积成的平面图形的面积. 解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cosx