设A为N维非零实行向量ppt课件

1、设设A A为为n n维非零实行向量维非零实行向量, ,方阵方阵TA AT.AATn EA A的非零特征值是的非零特征值是 .TA A1T1n EAA1T()0nAA的非零特征值是的非零特征值是TAAT0AA设设, , 是两个正交的非零列向量是两个正交的非零列向量, ,2,TAE2(2)(2)TTAEE则对则对 正整数正整数m m 2,2,mA44()()TTTE44 ()TTT E4TE3(4)(2)TT AEE6TE2Tmm AE, k且且存存在在自自然然 (), 0kA A使使. 0AA A12,n 112n A APP03级考题级考题112()0kkkkn A APP11200kkkn

2、PP120,n 0A A1212(,)nnA A 12(,)n A=00,niiiR 0,1,2,iin 0A1122*nn 1.D = CA BnA BC D.0nA 04级考题七级考题七10EA BC DCAE10ABD CA B0 0A B( )0 0nRRRnA BA BAC D1A10A.0n ARnA BC D220,A +AA的秩是的秩是2.220A +A11234, ATT220,02 +或者或者i 04级考题八级考题八由由A的秩是的秩是2,知的特征值是知的特征值是0, 0,-2,-2.A+kE合同于单位阵的充要条件是合同于单位阵的充要条件是特征值全特征值全0.1A 1n110

3、b A0, .bAAPQAA PQ1Q05级考题七级考题七21.0 1. APA AA bAQ 1. PQP Q11.1 00 bAAAA 12. ()10 0nnb EAQ E11100nbEAAA 111100nEAAA 11111,1100nEAAAAA 111111.1AAAAQA 1231212312311223312311,1,2,3, iikkkkkkk1 12 21 12 21 11 11 12 21 11 1已已知知列列向向量量组组线线性性无无关关， 且且可可由由列列向向量量组组 线线性性表表示示，试试证证: :存存在在 使使得得向向 . .0 0，量量组组 与与向向量量组组

4、等等价价. .解解: : 因因可可由由线线性性表表示示，可可设设 由由线线性性无无关关知知故故不不全全为为0 0，不不妨妨设设. .于于是是可可由由，0 02312323123231122332322232323123,llllll1 12 21 12 21 12 21 11 11 1线线性性表表示示，从从而而与与等等价价. . 因因可可由由线线性性表表示示，从从而而可可由由线线性性表表示示. .记记 不不全全为为 线线性性无无关关知知不不妨妨设设则则可可由由线线性性表表示示，从从而而与与. .由由，0 0，0 0，等等价价，故故与与23,1 1等等价价. . 05级考题八级考题八123， ，

5、123,XXX不同的特征值，不同的特征值， 是对应的是对应的特征向量特征向量, 则向量组则向量组2112123,(),()X A XXAX + X + X121323123( )0.( )0.( )0.()0.ABCD 123,XXX不同特征值对应的特征向量不同特征值对应的特征向量2112123(,(),()XA XXAX + X + X222112123(,)XAXAXA X + A X + A X22211122112233(,)XXXX +X +X211212322231(,) 00 0XXX2112123,(),()XA XXAX + X + X那那么么211222231000 022

6、30 230 故应选择故应选择(C).设设, , 是非零列向量是非零列向量,A,A为为n n阶可逆阶可逆阵阵. .证明矩阵证明矩阵1()TTAA不可逆不可逆. .11()TTAAA 111()TTAAAA11()TTnAEA 11111()()TTTnAAEA 1111()0TTTnAAA11()0TTAAA1()0,TTAA 即即不可逆不可逆. .1()TT0AAX1()TT AA为为n n阶方阵阶方阵, ,1()TT AA不可逆的不可逆的有非零解有非零解. .10,0 AA可可逆逆，11()TT AAA111()TT AA AA11()()TT AA11()()TT0 AA1 A为非零解为

7、非零解, ,结论成立结论成立. .设设, , 是两个正交的是两个正交的n n维非零列向维非零列向量量, ,TnE 的几何重数的几何重数= .= .00. 是方阵是方阵 的一个特征值的一个特征值, ,那么那么 的的T0 0 的特征值全为的特征值全为0,0,故故(0)( )1,=rrEAA0 的几何重数为的几何重数为0,T 其中其中0= 为为n n重数特征值重数特征值. .设设 是是 的任意一个特征值的任意一个特征值, , TT11T=nE 0=n T0,A2()()()TTTT A()0TTT0 2A为为n n阶零矩阵阶零矩阵. .0TT 设设 是是A A的任意一个特征值的任意一个特征值,AX=

8、 ,AX= X X220, A XX00,= X00, A的特征值全为的特征值全为0,故故(0)( )1,=rrEAA0 的几何重数为的几何重数为在在n n维实向量空间中维实向量空间中, ,知知121,n 12, 线性无关线性无关, ,且与且与 都正交都正交, ,证明证明线性相关线性相关. .12, 11(,)0(1,2,1)Tiiin 121(1)11TTT0nnn A即即(1)()1nnRn A又已知又已知121,n 线性无关线性无关, ,(1)0nn AX故故 基础解系只有一个线性基础解系只有一个线性无关的解向量无关的解向量, ,所以所以 线性相关线性相关. .12, 1 (1)0nn AX即即 是方程组是方程组 的解的解. . 2 (1)0nn AX同理同理 也是方程组也是方程组 的解的解. . 21122111nnkkkl21112211nnlkkk 2121(,)ll 210,l21112211(,)nnlkkk0即即线性相关线性相关. .12, 10 当当 时时, ,