多元函数微分学--多元隐函数求导ppt课件

1、第四节第四节 隐函数微分法隐函数微分法第四节第四节 隐函数及其微分法隐函数及其微分法一一.一个方程的情形一个方程的情形0),().1 (yxF所确定的隐函数:上册已经介绍过求导方法定理1(一元隐函数存在定理)设F(x,y) 在点 的某邻域内具有连续偏导数,且),(000yxP, 0),(, 0),(0000yxFyxFy则方程F(x,y)=0在该邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),满足),(00 xfy 并有:yxFFdxdy因为0)(,xfxF两边对x求导:0dxdyFFyxyxFFdxdy注:1.若存在二阶连续偏导数,那么)(22yxFFdxddxyd2)()(

2、yxyyyxyxyxxFFdxdyFFFdxdyFF3222yxyyyxxyyxxFFFFFFFF2.可推广到二元隐函数.此公式不实用证:定理2 (二元隐函数存在定理)设F(x,y,z) 在点 的某邻域内具有连续偏导数,且),(0000zyxP, 0),(, 0),(000000zyxFzyxFy则方程F(x,y,z)=0在该邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(000yxfz z=f(x,y),满足 并有:zyzxFFyzFFxz,0),().2(zyxF所确定的隐函数:因为0),(,yxfyxF两边分别对 x,y 求偏导:0 xzFFzx0yzFFzyzyzxFFyzF

3、Fxz,证:例1.133 xyzz求yzxz,),(zyxF133 xyzzxyzFxzFyzFzyx33,3,32xyzxzFFyzzy2xyzyzFFxzzx2注意注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导.解法一:解法二:将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导(过程略)例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 所确定的函数,且 可微.求dxdy0),(tx0),(txdxdttfxfdxdy xy t x隐函数求导隐函数求导0),(tx方程 两边对 x 求偏导:, 0dxdttx,txdxdttxtftxf

4、dxdy例3.zzyx4222求22xz42,2zFxFzxzxFFxzzx2),(zyxFzzyx422222xz)2(zxx2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz322)2()2(zxz注注:上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形.二二.方程组情形方程组情形例如0),(0),(vuyxGvuyxF有可能确定两个二元函数.存在定理略去,只讨论其微分法.例4.求.,dxdzdxdy01222zyxzyx各方程两边对x求偏导:010dxdzdxdydxdzzdxdyyx解方程组得:,zyxzdxdy)0( zy.zyyxdxdz例

5、5.求.,yvxvyuxu0022yvuxvu各方程两边对x求偏导:02012xvvxuxvxuu解方程组得:141uvxv,142uvvxu)014(uv同理,各方程两边对y求偏导,可得:,141uvyu.142uvuyv)014(uv思考练习.)( 23)( dd.)( 23dd:)ln(23223223yxxyxzfxyfxfxuyxxyxxzxyxz故求导并整理得两边关于对方程xufyxzxyzyxfudd,. )ln(),(),(. 123均为可微函数，求其中而设. 2) 1(31) 1 , 1 , 1 ( ,3. 1|:1, 1, 1. 05522:052232)1 , 1 , 1(222xxfxzzxyzyfxzzyxxzxyyzxzzxxxyzz