第十章非欧几何诞生

1、数数 学学 史史主主 讲讲 人人张跃辉张跃辉10、痛苦的分娩、痛苦的分娩几何学的革命几何学的革命l 关于第五公设的思考关于第五公设的思考l 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作l 非欧几何学非欧几何学l 黎曼对非欧几何的贡献黎曼对非欧几何的贡献 1818世纪由于微分方程、变分法一些世纪由于微分方程、变分法一些新数学分支的出现，形成分析、几何、新数学分支的出现，形成分析、几何、代数这三大数学学科，而在这一世纪代数这三大数学学科，而在这一世纪中分析领域远远超过了几何、代数。中分析领域远远超过了几何、代数。虽然分析的光芒使虽然分析的光芒使1818世纪综合几何黯世纪综合几何

2、黯然失色，但分析的方法应用却开拓出然失色，但分析的方法应用却开拓出了一个崭新的分支了一个崭新的分支微分几何。微分几何。v平面曲线理论平面曲线理论1717世纪基本完成世纪基本完成微分几何微分几何惠更斯惠更斯( (荷荷, , 1629-1695)1629-1695)n 1673 1673年年惠更斯惠更斯( (荷荷, 1629-1695), 1629-1695)：渐伸线、渐屈线：渐伸线、渐屈线洛比塔洛比塔( (法法, , 1661-1704)1661-1704) n 1671 1671年和年和16861686年年牛顿牛顿和和莱布尼茨莱布尼茨：曲率、曲率半径：曲率、曲率半径n 16911691年和年和

3、16921692年年约翰约翰 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748) , 1667-1748) ：曲线的包络：曲线的包络n 16961696年年洛比塔洛比塔( (法法, 1661-1704), 1661-1704)的的无穷小分析无穷小分析完成并传播了完成并传播了平面曲线理论平面曲线理论v1818世纪的空间曲线、曲面理论世纪的空间曲线、曲面理论微分几何微分几何克莱罗克莱罗( (法法, 1713-1765), 1713-1765)n 1697 1697年年约翰约翰 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748), 1667-1748)提出的测地线问题提出的测地线问题n 17311731年年

4、克莱罗克莱罗( (法法, 1713-1765), 1713-1765)关于双重曲率曲线的研究关于双重曲率曲线的研究：弧长、曲率弧长、曲率微分几何微分几何n 1760 1760年年欧拉欧拉( (瑞瑞, 1707-1783) , 1707-1783) 关于曲面上曲线的研究关于曲面上曲线的研究：曲率、：曲率、绕率，建立了曲面理论绕率，建立了曲面理论 蒙日蒙日( (法法, 1746-1818), 1746-1818) n17711771年年欧拉欧拉关于可展曲面，关于可展曲面，17711771和和17751775年蒙日年蒙日( (法法, 1746-1818), 1746-1818)关关于可展曲面与直纹面

5、于可展曲面与直纹面n 17951795年年蒙日蒙日( (法法, 1746-1818) , 1746-1818) 关于分析的几何应用的活页论文关于分析的几何应用的活页论文借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究l 蒙日蒙日: 1792: 1792年任法兰西共和国海军部部长年任法兰西共和国海军部部长, , 签署了签署了处决路易十六的报告书处决路易十六的报告书, 1800, 1800年任元老院议长年任元老院议长, 1808, 1808年封爵年封爵, , 波旁王朝复辟后被革职波旁王朝复辟后被革职l 17941794年组建巴黎综合工科学校年组建巴黎

6、综合工科学校 , 1795, 1795年设立巴黎年设立巴黎高等师范学校高等师范学校l 培养一批优秀学生培养一批优秀学生: : 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西泊松、刘维尔、傅里叶、柯西欧几里得几何欧几里得几何欧氏几何及其平行公设欧氏几何及其平行公设公设一：过不同两点可连一直线公设一：过不同两点可连一直线公设二：直线可无限地延长公设二：直线可无限地延长公设三：以任意一点为中心和任一线段公设三：以任意一点为中心和任一线段之长为半径可作一圆之长为半径可作一圆公设四：所有直角均相等公设四：所有直角均相等公设五：一平面上两条直线被另一直线公设五：一平面上两条直线被另一直线所截，若截线一侧的两内角和小于两个所截

7、，若截线一侧的两内角和小于两个直角，则此二直线必在这一侧相交直角，则此二直线必在这一侧相交平行公理的研究平行公理的研究( (公元前公元前3 3世纪至世纪至18001800年年) )10.1 10.1 关于第五公设的思考关于第五公设的思考 欧几里得欧几里得几何原本几何原本共共48条命题，只有证明第条命题，只有证明第29条命题时唯条命题时唯一应用了第五公设一应用了第五公设从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平平行公设行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全就一直是数学家的一块心病，它完全不能满足人们的审美要求这条公设冗长，一不能满足人们的审美要求这条公设冗长，

8、一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了于是，许多数学家力图欧氏几何太不相称了于是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功有成功 第一个给出第五公设证明的是第一个给出第五公设证明的是2世纪的古希腊世纪的古希腊数学家数学家托勒密托勒密，他依赖如下假设：，他依赖如下假设：“过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已知直线平行知直线平行.”（普莱菲尔公设普莱菲尔公设， 1795年以后年以后的的几何原本几何原本版本版本）中世纪的阿拉伯数学家海雅姆和

9、纳西尔丁等也中世纪的阿拉伯数学家海雅姆和纳西尔丁等也曾尝试过对第五公设的证明曾尝试过对第五公设的证明10.1 10.1 关于第五公设的思考关于第五公设的思考普莱菲尔普莱菲尔J. PlayfairJ. Playfair，( (苏格兰苏格兰, 1748-1819), 1748-1819)A+B+C=2勒让德勒让德(法, 1752-1833)n 勒让德勒让德(法, 1752-1833) 几何学原理：关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。(1832) 直到直到1818世纪末，几何领域仍然是欧几里世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天

10、下。解析几何改变了几何研究的方得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。神圣的地位。 欧几里得平行公设欧几里得平行公设 ？“几何原理中的家丑几何原理中的家丑” 达朗贝尔达朗贝尔n 1733年萨凯里萨凯里(意, 1667-1733)欧几里得无懈可击v1919世纪以前依然进行了一些有价值的工

11、作，他们中有世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗普罗克洛斯克洛斯(Proclus(Proclus，约公元，约公元412485412485年，雅典柏拉图学园晚年，雅典柏拉图学园晚期的导师，在期的导师，在450450年左右给欧几里得原本卷年左右给欧几里得原本卷1 1作注作注) )、萨萨凯里凯里( (意，意， SaccheriSaccheri，16671733)16671733)、克吕格尔克吕格尔( (德德, , KlgelKlgel，1739-1812) 1739-1812) 、兰伯特兰伯特（德，（德，Lambert,1728Lambert,172817771777） 、普莱菲尔普莱菲

12、尔( (苏格兰，苏格兰，PlayfairPlayfair，17481819) 17481819) 、勒让德勒让德( (法法, 1752-1833) , 1752-1833) 、施魏卡特施魏卡特（普鲁士，（普鲁士，SchwcikartSchwcikart，1780-19591780-1959）和）和托里努斯托里努斯（普鲁士，（普鲁士，TaurinusTaurinus，1794-18741794-1874）等等）等等 v代表人物：代表人物：萨凯里、兰伯特萨凯里、兰伯特1733年，年，萨凯里萨凯里（意大利，（意大利，Saccheri，16671733）：欧几里）：欧几里得无懈可击得无懈可击萨凯里四边

13、形萨凯里四边形锐角？直角？钝角？锐角？直角？钝角？钝角时很快引出矛盾。但钝角时很快引出矛盾。但当锐角时，却得出了许多有当锐角时，却得出了许多有趣的推论：趣的推论：三角形内角之和小于两直角；过给定直线三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；在平面上存在两条直线，它们在一个方向无限地互相在平面上存在两条直线，它们在一个方向无限地互相接近，而在其相反的方向上无限地分开，这样，这两接近，而在其相反的方向上无限地分开，这样，这两条直线将在无限远点有共同的垂线；等等条直线将在无限远点有共同的垂线；等等 萨凯里的工作萨凯

14、里的工作v萨凯里萨凯里认为“结论不合情理”，从而得到矛盾。因此，他认为他已经证明了第五公设。v萨凯里萨凯里的错误在于把有限图形有限图形的性质扩大到无限图形无限图形，以为在有限远处有限远处不成立的东西在无限远处无限远处也不成立。v萨凯里萨凯里所发现的矛盾只是同常识、经验、情理矛盾，即同欧几里得几何中的相应命题矛盾，而不是反证法所需要的逻辑矛盾v萨凯里萨凯里由于过于崇尚第五公设的绝对正确，以至于走到伟大发现的门前而却步克吕格尔的工作克吕格尔的工作v17631763年年, , 克吕格尔克吕格尔 在其博士论文中指出：在其博士论文中指出：(1)(1)公理的实质在于经验，而并非不证自明，人公理的实质在于经

15、验，而并非不证自明，人们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人们对空间观念的经验；们对空间观念的经验；(2)(2)欧氏平行公设的欧氏平行公设的可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾，可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾，他只得到似乎异于经验的结果。他只得到似乎异于经验的结果。v克吕格尔克吕格尔( (德德, Klgel, Klgel，1739-1812) 1739-1812) 是是第一个对第一个对“平行公设能由其他公设推平行公设能由其他公设推出出”表示怀疑的数学家。表示怀疑的数学家。兰伯特的工作兰伯特的工作v兰伯特兰伯特（德，（德，Lambert,17281

16、777Lambert,17281777）v受受克吕格尔克吕格尔的见解启发对的见解启发对平行公设进行了更加深入平行公设进行了更加深入的探讨。的探讨。v认识到一组假设如果不引认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。种可能的几何。兰伯特兰伯特（德，（德，17281777）1766年，年，兰伯特兰伯特:平行线理论平行线理论兰伯特四边形兰伯特四边形锐角？直角？钝角？锐角？直角？钝角？钝角假设很快引出矛盾，发现结论恰好与球面上图形的相钝角假设很快引出矛盾，发现结论恰好与球面上图形的相应性质一样，由此猜想由锐角假设得出的定理可以于虚半应性质一样，由此猜想由锐角假设得出

17、的定理可以于虚半球面的图形球面的图形兰伯特兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何何兰伯特兰伯特实际上为非欧几何的诞生奠定了基础，但他缺乏理实际上为非欧几何的诞生奠定了基础，但他缺乏理论勇气，在即将打开非欧几何大门时退却了论勇气，在即将打开非欧几何大门时退却了v施魏卡特施魏卡特（普鲁士，（普鲁士，SchwcikartSchwcikart，1780-19591780-1959）1816年写了一份备忘录，认为应该承认存在年写了一份备忘录，认为应

18、该承认存在着两类几何：欧氏几何与假设三角形内角之着两类几何：欧氏几何与假设三角形内角之和不足两直角的几何（他称其为星空几何）和不足两直角的几何（他称其为星空几何）v在在施魏卡特施魏卡特的指导下，外甥的指导下，外甥托里努斯托里努斯（TaurinusTaurinus，1794-18741794-1874）继续研究星空几何，继续研究星空几何，得到只有欧氏几何对物质空间是正确的，而得到只有欧氏几何对物质空间是正确的，而星空几何只是逻辑上相容星空几何只是逻辑上相容v施魏卡特施魏卡特和和托里努斯托里努斯都踏进了非欧几何的大都踏进了非欧几何的大门，但由于他们不能对这种几何的广阔前景门，但由于他们不能对这种几

19、何的广阔前景和现实应用作出合理的联想，在无人支持的和现实应用作出合理的联想，在无人支持的困境中，放弃了对星空几何的研究，最终半困境中，放弃了对星空几何的研究，最终半途而废途而废10.2 10.2 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作v非欧几何的诞生，有待于富有高度科学非欧几何的诞生，有待于富有高度科学想象力的数学家为它迈出决定性的下一想象力的数学家为它迈出决定性的下一步步. v而决定性的一步，应归功于而决定性的一步，应归功于高斯高斯、波尔波尔约约和和罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基三人三人()n 1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几里得几何n 1832年J波尔

20、约(匈, 1802-1860)绝对空间的科学n 1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)简要论述平行线定理的一个严格证明10.2 10.2 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作v高斯高斯（C.F.Gauss,1777-1855），德国数学家、物理），德国数学家、物理学家和天文学家学家和天文学家 v出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。 在成长过程中，幼年的高斯主要依靠母在成长过程中，幼年的高斯主要依靠母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich） v罗捷雅希望儿子能干出一番伟大的事业，罗捷雅希望

21、儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊当时尚不能养家糊口的数学研究中口的数学研究中v7岁上学。1787年高斯高斯10岁数学，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是数学教师是布特纳布特纳（Buttner）v据对据对高斯高斯素有研究的著名数学史家素有研究的著名数学史家贝尔贝尔（T.Bell）考证，）考证，布特纳布特纳当时给孩子们出的是当时给孩子们出的是一道更难的加法题：一道更难的加法题： 81297+81495+81693+100899 v布特纳布特纳“你已经超过了我，我没有什么东西你已经超过了我，我没有

22、什么东西可以教你了。可以教你了。”高斯与布特纳的助手巴特尔巴特尔斯斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊，一起学习，互相帮助，由此开始了真正的数学研究 v1788年，年，11岁的岁的高斯高斯进入了文科学校，功课进入了文科学校，功课都极好，古典文学、数学尤为突出都极好，古典文学、数学尤为突出v经过经过巴特尔斯巴特尔斯等人的引荐，等人的引荐，布伦兹维克公爵布伦兹维克公爵召见了召见了14岁的岁的高斯高斯，提出作，提出作高斯高斯的资助人的资助人 v1792年，年，高斯高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习继续学习v1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入年，公爵又为他

23、支付各种费用，送他入德国著名的哥廷根大学德国著名的哥廷根大学v1799年完成了博士论文，获得讲师职位，但年完成了博士论文，获得讲师职位，但未能成功地吸引学生，不得不回到老家未能成功地吸引学生，不得不回到老家，又，又是公爵伸手救援他，送给他一幢公寓，负担是公爵伸手救援他，送给他一幢公寓，负担了了高斯高斯的所有生活费用的所有生活费用 。v高斯高斯十分感动，他在博士论文和十分感动，他在博士论文和算术研究算术研究中，写下了情真意切的献词：中，写下了情真意切的献词：“献给大公献给大公”，“你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究使我能从事这种独特的

24、研究”。v 1806年，年，布伦兹维克公爵布伦兹维克公爵在抵抗拿破仑统帅的法在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。长时间对法国人有一种深深的敌意。v这一切使得这一切使得高斯高斯有些心灰意冷，从不向他人透露自有些心灰意冷，从不向他人透露自己的窘况。己的窘况。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然插入了一段细微的铅笔字：对我来说，死去也比这样的生活更好受些。对我来说，死去也比这样的生活更好受些。 v由于由于高斯高斯在天文学、数学方面

25、的杰出工作，他的名在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从声从1802年起就已开始传遍欧洲。年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国v为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者学者洪堡洪堡（B.A.Von Humboldt）联合其他）联合其他学者和政界人物，为学者和政界人物，为高斯高斯争取到了享有特权争取到了享有特权的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位根天文台台长的职位v1807

26、年，年，高斯高斯赴哥廷根就职，全家迁居于此。赴哥廷根就职，全家迁居于此。除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥廷根。舒适的生活环境，直住在哥廷根。舒适的生活环境，高斯高斯本人本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件心创造了条件 v高斯高斯有有“数学王子数学王子”、“数学家之王数学家之王”的美称、被认为是人类有史以来的美称、被认为是人类有史以来“最伟最伟大的四位数学家之一大的四位数学家之一”（阿基米德、牛（阿基米德、牛顿、欧

27、拉和高斯）顿、欧拉和高斯）。人们还称赞高斯是人们还称赞高斯是“人类的骄傲，人类的骄傲，许多世界著名的科学泰许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己的老师斗都把高斯当作自己的老师 v把把18世纪的数学家想象为一系列的高山世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是峰就是高斯高斯；如果把；如果把19世纪的数学家想世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是象为一条条江河，那么其源头就是高斯高斯C. F. Gauss, 1777-1855高斯高斯（Gauss, 1777-1855）在）在15岁时已清楚存在一种欧氏平行公设岁时已清楚存在一种欧氏

28、平行公设不成立的逻辑几何不成立的逻辑几何. 1799年开始意识到平行公设不能从年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来其他的欧几里得公理推出来1813年起发展了这种平行公设在其年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。他起先称之为中不成立的新几何。他起先称之为“反欧几里得几何反欧几里得几何”，最后改称为，最后改称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”，所以，所以“非欧非欧几何几何”这个名称正是来自高斯。这个名称正是来自高斯。一向谨小慎微，不敢发表离经叛道一向谨小慎微，不敢发表离经叛道的、但被他认为是正确的学说的、但被他认为是正确的学说v1824年年高斯高斯回答回答托里努斯托里努斯的信中

29、说：的信中说：“三角形内角三角形内角和小于两直角，这个假设引导到特殊的与我们的几和小于两直角，这个假设引导到特殊的与我们的几何完全不同的几何，这个几何完全是一贯的，并且何完全不同的几何，这个几何完全是一贯的，并且我发现它本身完全令人满意我发现它本身完全令人满意.”v高斯高斯不仅深信新几何在逻辑上的相容性，而且还确不仅深信新几何在逻辑上的相容性，而且还确认它具有可应用性（实际测量三个山峰构成的三角认它具有可应用性（实际测量三个山峰构成的三角形，发现内角和多了形，发现内角和多了15）. 可惜他并没有发表这可惜他并没有发表这一开创性的见解，主要原因有二：一开创性的见解，主要原因有二：v其一，其一，“

30、怕黄蜂围绕耳朵乱飞怕黄蜂围绕耳朵乱飞”，怕惹麻烦，受人，怕惹麻烦，受人嘲笑；嘲笑；v其二，过于谨慎，其二，过于谨慎，“问题在思想上没有弄清之前决问题在思想上没有弄清之前决不动笔不动笔”，只有无懈可击时才肯发表，只有无懈可击时才肯发表v当知道儿子当知道儿子约翰约翰.波尔约波尔约对第五公设对第五公设问题着了迷，赶紧写信劝阻问题着了迷，赶紧写信劝阻：“希希望你放弃这个问题望你放弃这个问题.对这样一个问题对这样一个问题的害怕应该更多于感情上的迷恋，的害怕应该更多于感情上的迷恋，它会剥夺你生活中的一切：时间、它会剥夺你生活中的一切：时间、健康、休息和幸福健康、休息和幸福.”W. Bolyai，1775-

31、1856v高斯高斯的大学同学、匈牙利人的大学同学、匈牙利人W.波尔约波尔约（W. Bolyai，1775-1856 ），曾经从事第五公设），曾经从事第五公设的证明，对此没作出成就，自认浪费了时间的证明，对此没作出成就，自认浪费了时间n 18201820年年WW波尔约波尔约: : “我经过了这个长我经过了这个长夜的渺无希望的黑暗夜的渺无希望的黑暗, , 在这里埋没了我一在这里埋没了我一生的一切亮光和一切快乐生的一切亮光和一切快乐,或许这个或许这个无底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔无底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿般的牛顿, , 而使大地永无光明。而使大地永无光明。”v1823年年11月月

32、23日，日， W.波尔约波尔约接到儿子接到儿子约翰约翰的来信：的来信：“我已从乌有中创造了整个世界我已从乌有中创造了整个世界.”v1832年年W.波尔约波尔约把儿子的论文把儿子的论文关于一个与欧几里关于一个与欧几里得平行公设无关空间的绝对真实性的学说得平行公设无关空间的绝对真实性的学说，做为，做为自己几何著作的附录出版，并请自己几何著作的附录出版，并请高斯高斯评价评价v高斯高斯回信说：回信说：“.称赞他等于称赞我自己称赞他等于称赞我自己.你儿子你儿子所采用的方法和他所达到的结果几乎全部和我在所采用的方法和他所达到的结果几乎全部和我在30年前已开始的个人深思相符合。年前已开始的个人深思相符合。.

33、我自己的著作，我自己的著作，虽然写好的仅是一小部分，我本来永远不愿意发虽然写好的仅是一小部分，我本来永远不愿意发表，表，.现在有了老友的儿子能够把它写下来，免现在有了老友的儿子能够把它写下来，免得它与我一同湮没，那是我最高兴的了得它与我一同湮没，那是我最高兴的了.”J. Bolyai，匈牙利匈牙利1802-1860 高斯高斯的回信使的回信使约翰约翰.波尔约波尔约感到感到沮丧，他不相信有人在他之前沮丧，他不相信有人在他之前已做了同样的工作，并认为高已做了同样的工作，并认为高斯剽窃了自己的成果斯剽窃了自己的成果. 当他第当他第一次看到罗巴切夫斯基一次看到罗巴切夫斯基1835年年的著作时，也以为那是

34、抄自他的著作时，也以为那是抄自他1832年出版的附录年出版的附录这一切都使年轻气盛的数学天这一切都使年轻气盛的数学天才才约翰约翰.波尔约波尔约对整个数学界非对整个数学界非常失望，因此而抛弃了自己心常失望，因此而抛弃了自己心爱的数学研究，转而研究神学爱的数学研究，转而研究神学去了去了波尔约波尔约(罗马尼亚, 1960)波尔约父子之墓波尔约父子之墓罗巴切夫斯基的贡献罗巴切夫斯基的贡献l罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基( (俄俄, 1792-1856), 1792-1856)，喀山，喀山大学教授、校长大学教授、校长l18151815年着手研究平行线理论，试图年着手研究平行线理论，试图给出平行公设的证明给出平

35、行公设的证明l18231823年冷静地把年冷静地把“怪胎怪胎”看成世人看成世人罕见的罕见的“奇异果实奇异果实”l18551855年以口述方式（双目失明）写年以口述方式（双目失明）写下遗著下遗著泛几何学泛几何学，给了全新说明，给了全新说明l直至罗巴切夫斯基去世的直至罗巴切夫斯基去世的3030年内，没年内，没能赢得社会的承认和赞美能赢得社会的承认和赞美罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基（俄国）Nikolai Lobachevski （1792-1856） 1829年发表了题为年发表了题为几何学原几何学原理理的论文，这是历史上第一的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，篇公开发表的非欧几何文献，但由于

36、是用俄文刊登在但由于是用俄文刊登在喀山喀山通报通报杂志上而未引起数学界杂志上而未引起数学界的注意。的注意。 1826年年2月月12日在喀山大学发日在喀山大学发表了表了关于几何原本的扼要叙关于几何原本的扼要叙述及平行线定理的一个严格证述及平行线定理的一个严格证明明的演讲，报告了自己关于的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现非欧几何的发现罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基(苏联, 1951)v罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与非欧几何的基本思想与高斯、波尔约高斯、波尔约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：v 通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两

37、条通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与已知直线不相交。直线与已知直线不相交。v作为替代第五公设，由此出发进行逻辑推导而得出作为替代第五公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理一连串新几何学的定理v罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学的理论，这个理论就是一种新的几何学-非欧几非欧几里得几何学。欧氏几何在这里仅成了里得几何学。欧氏几何在这里仅成了罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基几何几何的一个特例的一个特例v没有

38、找到这种几何的实际应用，所以取名为没有找到这种几何的实际应用，所以取名为“虚几虚几何学何学”或或“想象几何学想象几何学”，后又改为，后又改为“泛几何泛几何”在冷漠中宣告新几何诞生在冷漠中宣告新几何诞生 v1826年年2月月12日，日，罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基在喀山大学学术会在喀山大学学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文几何几何学原理及平行线定理严格证明的摘要学原理及平行线定理严格证明的摘要。这篇首创。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷一重大成果

39、刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对漠和反对v说的全是一些令人莫明其妙的话说的全是一些令人莫明其妙的话，诸如三角形的内诸如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等等等v离奇古怪、离经叛道、异端邪说离奇古怪、离经叛道、异端邪说v疑惑、惊呆疑惑、惊呆 、冷漠、冷漠 v1832年，根据年，根据罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基的请求，喀山大的请求，喀山大学学术委员会把这篇论文呈送彼得堡科学院学学术委员会把这篇论文呈送彼得堡科学院审评审评v“看来，作者旨

40、在写出一部使人不能理解的看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著作。他达到自己的目的。著作。他达到自己的目的。” ，“由此我得由此我得出结论，罗巴切夫斯基校长的这部著作谬误出结论，罗巴切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的注意。连篇，因而不值得科学院的注意。” v“荒唐的笑话荒唐的笑话”，是“对真正数学家的嘲讽对真正数学家的嘲讽”权威的讥讽权威的讥讽v这篇论文不仅引起了学术界权威的恼怒，而且还激起了社会上反动势力的敌对叫嚣，以匿名CC在祖国之子杂志上撰文，公开指名对公开指名对罗巴切夫斯罗巴切夫斯基基进行人身攻击。进行人身攻击。v匿名者在题为评罗巴切夫斯基的著作“几何学原理”一文中写道

41、：写道：“甚至难以理解，罗巴切夫斯甚至难以理解，罗巴切夫斯基先生是如何用数学中最简明的几何学，建立起晦基先生是如何用数学中最简明的几何学，建立起晦涩的、不可思议和神秘莫测的学说的。涩的、不可思议和神秘莫测的学说的。”文中嘲弄道：“为什么不能把黑的想象成白的，把圆的想象为什么不能把黑的想象成白的，把圆的想象成方的成方的？”v针对这篇污辱性的匿名文章，针对这篇污辱性的匿名文章，罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基撰写了撰写了反驳文章，但反驳文章，但祖国之子祖国之子杂志却以维护杂志声誉杂志却以维护杂志声誉为由，一直不予发表为由，一直不予发表匿名者的攻击匿名者的攻击v祖国之子祖国之子杂志刊登攻击科学家的匿名文杂志

42、刊登攻击科学家的匿名文章并非偶然，而是有一定的政治背景的。章并非偶然，而是有一定的政治背景的。原来这家杂志的把持者布尔加林和格列奇同沙皇秘密政治组织“第三厅”有着联系，他们靠“第三厅”的资助维持杂志，并且充当帮凶，专门监视和打击先进的思想家和具有革专门监视和打击先进的思想家和具有革命倾向的科学家。命倾向的科学家。v明显表现有无神论和唯物主义倾向的喀山大明显表现有无神论和唯物主义倾向的喀山大学校长罗巴切夫斯基，自然要被他们列为危学校长罗巴切夫斯基，自然要被他们列为危险对象加以监视险对象加以监视。借歪曲、诋毁科学新成果，来压制、打击具有进步思想的科学家，是一切保守势力的惯用伎俩。v罗巴切夫斯基罗巴

43、切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认v就在他去世的前两年，俄国著名数学家就在他去世的前两年，俄国著名数学家布尼雅可夫布尼雅可夫斯基斯基（18041889）还对罗巴切夫斯基发难，他试）还对罗巴切夫斯基发难，他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真实性定非欧几何的真实性v英国著名数学家英国著名数学家莫尔甘莫尔甘（Morgan，18061871）对非欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了，他甚对非欧几何的抗拒心里表现

44、得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：说：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何何本质上不同的另外一种几何。”v莫尔甘莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度度 在孤境中奋斗终生在孤境中奋斗终生v晚年的晚年的罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基心情更加沉重，他不仅在学术心情更加沉重，他不仅在学术上受到压制，而且在工作上还受到限制上受到压制，而且在工作上还受到限制v1846年人民教育部免去了他在喀山大学的所有职务。年人民教育部

45、免去了他在喀山大学的所有职务。被迫离开终生热爱的大学工作，使罗巴切夫斯基在被迫离开终生热爱的大学工作，使罗巴切夫斯基在精神上遭到严重打击精神上遭到严重打击v临去世的前一年，在身患重病，卧床不起，双目失临去世的前一年，在身患重病，卧床不起，双目失明的困境下，口授他的学生完成最后一部巨著明的困境下，口授他的学生完成最后一部巨著泛泛几何学几何学v1856年年2月月12日，伟大的学者日，伟大的学者罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基在苦闷在苦闷和抑郁中离开了人世。喀山大学师生为他举行了隆和抑郁中离开了人世。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上，他的许多同事和学生高重的追悼会。在追悼会上，他的许多同事和学

46、生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非欧几何研究工作，因为此时，人们还普遍认为非非欧几何研究工作，因为此时，人们还普遍认为非欧几何纯属欧几何纯属“无稽之谈无稽之谈”。v罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，从未动摇过，坚信终会有一天多年，从未动摇过，坚信终会有一天“可以像别的可以像别的物理规律一样用实验的方法来检验物理规律一样用实验的方法来检验”v在创立和发展非欧几何的艰难历程上，在创立和发展非欧

47、几何的艰难历程上，罗巴切夫斯罗巴切夫斯基基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者另一位发现者高斯高斯也不肯公开支持他也不肯公开支持他v高斯高斯凭借在数学界的声望和影响，完全有可能减少凭借在数学界的声望和影响，完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的承罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的承认。然而，在顽固的保守势力面前他却丧失了勇气认。然而，在顽固的保守势力面前他却丧失了勇气v高斯高斯的沉默和软弱表现，不仅严重限制了他在非欧的沉默和软弱表现，不仅严重限制了他在非欧几何研究上所能达到的高度，而且客观上助长了保几何研究上

48、所能达到的高度，而且客观上助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击守势力对罗巴切夫斯基的攻击 v高斯高斯看到看到罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作的德文非欧几何著作平行平行线理论的几何研究线理论的几何研究后，内心是矛盾的后，内心是矛盾的v高斯高斯私下在朋友面前高度称赞私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基是是“俄俄国最卓越的数学家之一国最卓越的数学家之一”，并下决心学习俄语，以，并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作v高斯高斯却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关研究，也从不以任何

49、形式对研究，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基的非欧几的非欧几何研究加以公开评论何研究加以公开评论v高斯高斯积极推选积极推选罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通为哥廷根皇家科学院通讯院士，可是，在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯讯院士，可是，在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，基的推选通知书中，对罗巴切夫斯基在数学上的最对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献卓越贡献创立非欧几何却避而不谈创立非欧几何却避而不谈 v历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点和见解作出正确的评价。和见解作出正确的评价。1868年，意大利数学家年，意大

50、利数学家倍倍尔特拉米尔特拉米（Beltrami，18351899）发表了一篇著）发表了一篇著名论文名论文非欧几何解释的尝试非欧几何解释的尝试，证明非欧几何可，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现v这就是说，这就是说，非欧几何命题可以非欧几何命题可以“翻译翻译”成相应的欧成相应的欧几里得几何命题几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里是欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几

51、何没有矛盾了了v直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基的独创的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被誉为他本人则被誉为“几何学中的哥白尼几何学中的哥白尼”v通常所说的非欧几何学，主要指双曲几何学通常所说的非欧几何学，主要指双曲几何学和椭圆几何学和椭圆几何学v双曲几何学是用双曲平行公理：双曲几何学是用双曲平行公理：“过直线过直线a外外一点一点A，至少有两条直线与，至少有两条直线与a不相交不相交.”代替欧代

52、替欧氏的第五公设，就可以得到双曲几何的一批氏的第五公设，就可以得到双曲几何的一批结论（双曲平行公理的等价命题）：结论（双曲平行公理的等价命题）：()10.3 非欧几何学非欧几何学v1、在平面内，对于一条直线，存在不相交的垂线、在平面内，对于一条直线，存在不相交的垂线和斜线和斜线v2、存在一个三角形，它没有外接圆、存在一个三角形，它没有外接圆v3、存在一个三角形，它的三条高不相交、存在一个三角形，它的三条高不相交v4、三角形的内角和小于两直角、三角形的内角和小于两直角v5、三角形的内角和不是常数、三角形的内角和不是常数v6、不存在矩形、不存在矩形v7、平面上不在书籍直线上且与此直线等距离的三、平

53、面上不在书籍直线上且与此直线等距离的三个点，不在同一直线上个点，不在同一直线上v8、在同一平面上的任何两条直线，一条直线上的、在同一平面上的任何两条直线，一条直线上的点到另一条直线上的距离是无界的点到另一条直线上的距离是无界的v9、如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三、如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等（所以不存在相似形）角形全等（所以不存在相似形）l模型与相容性模型与相容性l 1868年倍尔特拉米倍尔特拉米(意, Beltrami，1835-1899)曳物线曳物线拟球面拟球面拟球面拟球面由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得倍尔特拉米倍尔特拉米

54、的模型：的模型： “ “拟球面拟球面”罗巴切夫斯基平面片上的罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的所有几何关系与适当的“拟球面拟球面”片上的几何关片上的几何关系相符合。这使罗巴切夫系相符合。这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实斯基几何立刻就有了现实意义意义缺点：具有片面性。还没缺点：具有片面性。还没有解决全部罗巴切夫斯基有解决全部罗巴切夫斯基几何的无矛盾性问题几何的无矛盾性问题克莱因克莱因的几何模型：在普通欧几的几何模型：在普通欧几里得平面上取一个圆，并且只考里得平面上取一个圆，并且只考虑整个圆的内部。他约定把圆的虑整个圆的内部。他约定把圆的内部叫内部叫“平面平面”，圆的弦叫，圆的弦叫“直直

55、线线”（端点除外，生成的（端点除外，生成的射影平射影平面面）这种圆内部的普通几何事实就变这种圆内部的普通几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实。的普通几何事实。克莱因圆克莱因圆l 1870 1870年年克莱因克莱因( (德德, 1849-1925), 1849-1925)l在射影空间中实现了双曲几何的公理系统在射影空间中实现了双曲几何的公理系统v庞加莱庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧几里得模型。这就使出了一个欧几

56、里得模型。这就使非欧几何具有了至少与欧几里得非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。因为我们可几何同等的真实性。因为我们可以设想，如果罗巴切夫斯基几何以设想，如果罗巴切夫斯基几何中存在任何矛盾的话，那么这种中存在任何矛盾的话，那么这种矛盾也必然会在欧几里得几何中矛盾也必然会在欧几里得几何中表现出来，也就是说，只要欧几表现出来，也就是说，只要欧几里得几何没有矛盾，那么罗巴切里得几何没有矛盾，那么罗巴切夫斯基几何也不会有矛盾。夫斯基几何也不会有矛盾。v至此，解决了双曲几何的公理的至此，解决了双曲几何的公理的相容性。非欧几何作为一种几何相容性。非欧几何作为一种几何的合法地位才充分建立起来。的合

57、法地位才充分建立起来。l 1882 1882年年庞加莱庞加莱( (法法, 1854-1912), 1854-1912)l在欧氏空间是实现了双曲几何在欧氏空间是实现了双曲几何庞加莱庞加莱法法, Poincare，1854-1912 1854年，年，黎曼黎曼发表论文发表论文关于几何基础的假设关于几何基础的假设 B. Riemann, 1826-1866 发展了罗巴切夫斯基发展了罗巴切夫斯基等人的思想，并建立了一等人的思想，并建立了一种更广泛的几何。即现在种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。罗巴切所称的黎曼几何。罗巴切夫斯基几何以及欧几里得夫斯基几何以及欧几里得几何都只不过是这种几何几何都只不过是

58、这种几何的特例。的特例。黎曼黎曼的研究是以高斯关于的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基曲面的内蕴微分几何为基础的。础的。 10.3 黎曼对非欧几何的贡献黎曼对非欧几何的贡献 1846 1846年进入哥廷根大学专修语言和神学年进入哥廷根大学专修语言和神学 1847-18481847-1848年到柏林大学年到柏林大学, , 进入数学领域进入数学领域 1849-18511849-1851年在哥廷根大学年在哥廷根大学, , 取得博士学位取得博士学位, , 学位论文学位论文“单复变函数一般理论基础单复变函数一般理论基础” 18541854年讲师职位讲演年讲师职位讲演: : 关于几何基础的假设关于几何

59、基础的假设, 1857, 1857年年副教授副教授, 1859, 1859年教授年教授 18621862年得肺结核年得肺结核, 1866, 1866年在意大利逝世年在意大利逝世 18761876年出版年出版黎曼全集黎曼全集( (发表论文发表论文1818篇篇, , 遗稿遗稿1212篇篇) ) 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学学物理、物理学黎曼黎曼( (德德, 1826-1866), 1826-1866) “ “ 黎曼是一个富有想

60、象的天才黎曼是一个富有想象的天才, , 他的想法即使没有证明他的想法即使没有证明, , 也鼓舞了也鼓舞了整整一个世纪的数学家整整一个世纪的数学家.”.”在在黎曼几何黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒等于零。恒等于零。黎曼黎曼指出后两种情形分别对应于指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创得几何学，而第一种情形则是黎曼