高等数学教学 第一章 习题课ppt课件

1、 一、主一、主 要要 内内 容容二、典二、典 型型 例例 题题习习 题题 课课2/22一极限的概念一极限的概念二延续的概念二延续的概念一、主要内容一、主要内容3/22左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件断定极限断定极限存在的准那么存在的准那么无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质独一性独一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(li

2、mxf4/22无穷小无穷小:极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记记作作绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记记作作在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大5/22定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定

3、理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质6/22定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则

4、为为常常数数而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质7/224 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.延续函数代入法求极限延续函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.f.利用无穷小交换求极限；利用无穷小交换求极限；g.利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限;h.利用夹逼准那么求极限利用夹逼

5、准那么求极限.8/22左右延续左右延续在区间在区间a,ba,b上延续上延续延续函数延续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的延续性的延续性延续点定义延续点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 延续的延续的充要条件充要条件延续函数的延续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的延续性的延续性 振荡延续点振荡延续点 无穷延续点无穷延续点 腾跃延续点腾跃延续点 可去延续点可去延续点第一类第一类 第二类第二类9/22二、典型例题二、典型例题例例1 1.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214x

6、xx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即10/22的定义域为的定义域为则则的定义域为的定义域为若若)(),1,0()(xefxf例例2 2解解 )1,0( fD10 xe)0,( x故故)0,(11/22例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 那么那么xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nx

7、xn时时当当12/22例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法讨论解法讨论则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf )()(1limxgxf)().()(1)(1 limxgxfxfxf 存存在在若若,)().(lim(Axgxf )().(lim)(1)(1limxgxfxfxf .Ae 13/22310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim2

8、0 21.21e 原原式式31sin1sintansintansin10sin1sintan1limxxxxxxxxxxx ）（14/22例例5 5.)11(lim2nnnn 求求解解 nnnn)11(lim2122lim nnn1lim12222)11(lim nnnnnnnn1e .e nnnn122)11( 15/22例例6 6解解处处连连续续，在在已已知知0,020)1()(1 xxxaxxfx.的值的值求求a)(lim0 xfx xxax10)1(lim aaxxax 10)1(limae 2)0( f又又由右连续定义知由右连续定义知2 ae.2ln a16/22例例7 7).()2

9、1(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得证证明明必必有有一一点点且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 17/22则则若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零点定理知由零点定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上

10、综上,1 , 021, 0 必有一点必有一点.)()21(成成立立使使 ff 18/22例例8 8)0, 0, 0.()3(lim10 cbacbaxxxxx求求解解”型”型“ 1xcbacbaxxxxxxxxxxcba33330)331(lim 原原式式 xcbaxxxx33lim0 xcbaxxxx3111lim0 )1lim1lim1lim(31000 xcxbxaxxxxxx )lnln(ln31cba 3ln abc 3lnabce 原原式式3abc 19/22例例9 9.)(sinlimtan2xxx 求求解解”型”型“ 1.)1sin1(lim)1(sintan1sin12 xx

11、xxx）（原式原式 )1(sintanlim2 xxx )1(coscotlim0 ttt)2(sincoslim20tttt 0 0e 原式原式.1 tx 2 令令20/22.,432lim.23的的值值求求若若kxkxxx 分分 析析432lim23 xkxxx)3(32lim)2(lim2323 xxkxxkxxxx004 kkxxx 6 69 9)2(lim23又又0 k6 69 9故故.3 k21/22. .的的值值、求求若若推推广广：babxaxxx,3lim23 分 析bxaxxx 3lim23)3(3lim)(lim2323 xxaxxaxxxx00 baaxxx 39)(li

12、m23又又039 a故故.6 a3lim23 xaxxbx36lim23 xxxx3)2)(3(lim3 xxxx)2(lim3 xx5 22/22.,011lim.2的值的值、求求若若babaxxxx 分分 析析01)1()()1(lim11lim22 xbxbaxabaxxxxx当且仅当当且仅当,001 baa 11ba23/22.1的值、求若推广：babaxxxx,1lim2分 析bxxaxaaxxxxx 11)1()1(lim11lim22当且仅当当且仅当,101 baa 21ba24/22测测 验验 题题BD25/22BCC26/22DDB27/22二二、求求下下列列函函数数的的定定

13、义义域域：;arctan)12sin(1xxy 、2、12)9lg()(2 xxx DD28/22五五、 求求极极限限： 1 1、22)1(12limnnnn ； 2 2、321lim3 xxx ；3 3、xxx20)1(lim ； 4 4、)1(lim1 xxex ；29/225 5、当当0 x时时，nnxxx2cos.4cos2coslim ；6 6、121sinlim22 xxxx . .六六、 设设有有函函数数 1, 1)1(1,sin)(xxaxaxxf试试确确定定a的的值值使使)(xf在在1 x连连续续 . .七七、 讨讨论论函函数数xxxxf2sin11arctan)( 的的连连

14、续续性性，并并判判断断其其间间断断点点的的类类型型 . .30/22八八、 证证明明奇奇次次多多项项式式： 1221120)( nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一个个实实根根 . .31/22一、一、1 1、B B； 2 2、D D； 3 3、B B； 4 4、C C； 5 5、C C； 6 6、D D； 7 7、C C； 8 8、B B； 9 9、D D； 10 10、D D；二、二、1 1、);,( 2 2、4,5.4,5.三、三、352)1(, 0, 1, 22 xxxgcba. .四、四、 1, )1(0, 01, 1)(1xxxxxxf. .五、五、1 1、2 2

15、； 2 2、41； 3 3、2e； 4 4、1 1； 5 5、xxsin； 6 6、22. .检验题答案检验题答案32/22六六、 ka22 ), 2 , 1 , 0( k七七、0 x可可去去间间断断点点, , 1 x跳跳跃跃间间断断点点, , ), 2, 1(2 nnx无无穷穷间间断断点点, , x为为其其它它实实数数时时)(xf连连续续. .33/22. .的的值值求求若若例例kxkxxx,432lim.123 分 析432lim23 xkxxx)3(32lim)2(lim2323 xxkxxkxxxx004 kkxxx 6 69 9)2(lim23又又0 k6 69 9故故.3 k34/22. .的的值值、求求若若推推广广：babxaxxx,3lim23 分 析bxaxxx 3lim23)3(3lim)(lim2323 xxaxxaxxxx00 baaxxx 3 39 9)(lim23又又0 a3 39 9故故.6 a3lim2