北京市西城区2013届高三数学第二次模拟考试 理（西城二模）（含解析）北师大版

1、2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）（2013西城区二模）设全集U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，则U（AB）等于（）AB0，1C0，1，4D0，1，2，3，4考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：利用两个集合的交集的定义求出 AB，再利用补集的定义求出U（AB）解答：解：AB=0，1，2，32，3，4= 2，3 ，全集U=0，1，2，3，4，U（AB）=0，1，4，故选C点评：本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出A

2、B= 2，3 ，是解题的关键2（5分）（2013石景山区二模）在复平面内，复数z1的对应点是Z1（1，1），z2的对应点是Z2（1，1），则z1z2=（）A1B2CiDi考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1i，再利用复数的乘法运算法则即可得出解答：解：在复平面内，复数z1的对应点是Z1（1，1），z2的对应点是Z2（1，1），z1=1+i，z2=1i，z1z2=（1+i）（1i）=12i2=1+1=2故选B点评：熟练掌握复数的几何意义、复数的乘法运算法则是解题的关键3（5分）（2013石景山区二模）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是

3、（）A=2sinB=2sinC=2cosD=2cos考点：简单曲线的极坐标方程专题：计算题分析：先在直角坐标系下求出圆心在，且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可解答：解：在极坐标系中，圆心在，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+（y1）2=1，即x2+y22y=0，它的极坐标方程为：=2sin故选A点评：本题考查简单曲线的极坐标方程、点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画圆的位置4（5分）（2013石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）Ak1

4、0Bk16Ck22Dk34考点：程序框图专题：图表型分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次运行5次后，k值变为33，即可得答案解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k33，或者k22故

5、选C点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果5（5分）（2013石景山区二模）设，c=log32，则（）AbacBabcCcbaDcab考点：不等关系与不等式专题：计算题分析：通过a，b的6次方，判断a与b的大小，判断c的大小范围，即可判断大小关系解答：解：因为=1，因为a6=8，b6=9，所以ba，因为c=log32（0，1），所以bac故选D点评：本题考查数值大小的比较，基本知识的应用6（5分）（2013石景山区二模）对于直线m，n和平面，使m成立的一个充分条件是（）Amn，nBm，Cm，n，nDmn，n，考点：必要条件、充分

6、条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可解答：解：对于A，”mn，n”，如正方体中ABBC，BC平面ABCD，但AB与平面ABCD不垂直，故推不出m，故A不正确；对于B，“m，”，如正方体中AC面ABCD，面ABCD面BCCB，但AC与平面BCCB不垂直推不出m，故不正确；对于C，根据m，n，得mn，又n，根据线面垂直的判定，可得m，可知该命题正确；对于D，“mn，n，”，如正方体中ADAB，AB面BCCB，面ABCD面BCCB，但A

7、D与面BCCB不垂直，故推不出m，故不正确故选C点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题7（5分）（2013石景山区二模）已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（）ABCD考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图，设正六边形ABCDEF的顶点A、B、C、F在抛物线y2=2px上根据抛物线的对称性，设A（x1，1），F（x2，2），由抛物线方程和正六边形的性质建立关于x1、x2和p的方程组，解之可得2p=，由此即可得到抛物线焦点到准线的距

8、离解答：解：由题意，设正六边形ABCDEF的顶点A、B、C、F在抛物线y2=2px上，设A（x1，1），F（x2，2），可得，由、消去p得x2=4x1，代入可得x，所以x1=，代入得2p=，根据抛物线的性质，可得焦点到准线的距离是p=故选：B点评：本题给出边长为2正六边形ABCDEF，抛物线恰好经过六边形的四个顶点，求抛物线的焦准距着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和正六边形的性质等知识，属于中档题8（5分）（2013石景山区二模）已知函数f（x）=xx，其中x表示不超过实数x的最大整数若关于x的方程f（x）=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）ABCD考点：根的存在性及根

9、的个数判断专题：函数的性质及应用分析：由已知中函数f（x）=xx，可画出满足条件的图象，结合y=kx+k表示恒过A（1，0）点斜率为k的直线，数形结合可得方程f（x）=kx+k有3个相异的实根则函数f（x）=xx与函数f（x）=kx+k的图象有且仅有3个交点，进而得到实数k的取值范围解答：解：函数f（x）=xx的图象如下图所示：y=kx+k表示恒过A（1，0）点斜率为k的直线若方程f（x）=kx+k有3个相异的实根则函数f（x）=xx与函数f（x）=kx+k的图象有且仅有3个交点由图可得：当y=kx+k过（2，1）点时，k=，当y=kx+k过（3，1）点时，k=，当y=kx+k过（2，1）点时

10、，k=1，当y=kx+k过（3，1）点时，k=，则实数k满足 k或1k故选B点评：本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，其中将方程的根转化为函数的零点，然后利用图象法结合数形结合的思想，分析函数图象交点与k的关系是解答本题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）（2013石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则 （填入：“”，“=”，或“”）考点：茎叶图专题：图表型分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165

11、+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162163则 故答案为：点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据属于基础题10（5分）（2013石景山区二模）（2x1）5的展开式中x3项的系数是80（用数字作答）考点：二项式定理专题：计算题分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得（2x1）5的展开式中x3项的系数解答：解：在（2x1）5的展开式中，通项公式为 Tr+1=（2x）5r（1）r，令5r=3，求得r=2，故（2x1）5的展开式

12、中x3项的系数是=80，故答案为80点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11（5分）（2013石景山区二模）在ABC中，BC=2，则AB=3；ABC的面积是考点：正弦定理；三角形的面积公式专题：计算题；解三角形分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC22ABBCcosB，建立关于边AB的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出ABC的面积解答：解：在ABC中，BC=2，由余弦定理，得AC2=AB2+BC22ABBCcos，即7=AB2+222×2×ABcos，化简整理得AB22AB3=

13、0，可得AB=3（舍去1）根据正弦定理，得ABC的面积为S=BCABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题12（5分）（2013石景山区二模）如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD若PC=4，PB=2，则CD=考点：与圆有关的比例线段专题：选作题；直线与圆分析：由PD与半圆O相切于点C及切割线定理得PC2=PBPA，OCPD再利用ADPD得到OCAD利用平行线分线段成比例即可得出

14、解答：解：设圆的半径为R连接OCPD与半圆O相切于点C，PC2=PBPA，OCPDPC=4，PB=2，42=2×（2+2R），解得R=3又ADPD，OCAD，解得CD=故答案为点评：熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键13（5分）（2013石景山区二模）在等差数列an中，a2=5，a1+a4=12，则an=2n+1；设，则数列bn的前n项和Sn=考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：由条件利用等差数列的通项公式求得首项和公比，即可得到等差数列an的通项公式把数列bn的通项公式求出来，再用裂项法进行数列求和解答：解：设等差数列an的公差为d

15、，则由a2=5，a1+a4=12 可得 ，解得 ，故an=3+（n1）2=2n+1=，数列bn的前n项和Sn=1+=，故答案为 2n+1，点评：本题主要考查等差数列的通项公式，用裂项法进行数列求和，属于中档题14（5分）（2013石景山区二模）已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab4由a+b+c=abc，变形为即可得出解答：解：正数a，b，c满足a+b=ab，化为，ab4，当且仅当a=b=2时取等号，ab4，+）a+b+c=abc，ab+c=abc，c=a

16、b4，c的取值范围是故答案为点评：恰当变形利用基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）（2013石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B记A（x1，y1），B（x2，y2）（）若，求x2；（）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D记AOC的面积为S1，BOD的面积为S2若S1=2S2，求角的值考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义专题：三角函数的图像与性质分析：（）由三角函数定

17、义，得 x1=cos=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果（）依题意得 y1=sin，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2=0，根据的范围，求得的值解答：（）解：由三角函数定义，得 x1=cos，因为 ，所以 所以 （）解：依题意得 y1=sin， 所以 ，依题意S1=2S2 得 ，即sin2=2sin2cos+cos2sin=sin2cos2，整理得 cos2=0因为 ，所以 ，所以 ，即 点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题16（13分）（2

18、013石景山区二模）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励（）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：应用题；概率与统计分析：（）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有种，基本事件的个数为，然后代入等可能事件的概率

19、公式可求（）随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望解答：（）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则 ，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为（）解：随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20.， 所以，随机变量X的分布列为：X05101520P点评：本题主要考查了随机变量的概率分布列及期望值的求解，解题的关键是每种情况下的概率求解17（14分）（2013石景山区二模）如图1，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示（）证明：BC平面PBD；（

20、）证明：AM平面PBC；（）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由考点：直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BCBD，利用线面垂直的性质定理可得BCPD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQCD，再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AMBQ，利用线面平行的判定定理即可证明（）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的

21、方向向量所成的角的夹角公式即可得出解答：（）证明：由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，BCBD又PD平面ABCD，BCPD，BDPD=D，BC平面PBD（）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ由左视图知 PM：PD=1：4，MQCD，在BCD中，易得CDB=60°，ADB=30°又 BD=2，AB=1，又ABCD，ABMQ，AB=MQ四边形ABQM为平行四边形，AMBQAM平面PBC，BQ平面PBC，直线AM平面PBC（）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为证明如下：PD平面ABCD，DADC，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 设

22、 ，其中N（0，t，0），要使AM与BN所成角的余弦值为，则有 ，解得 t=0或2，均适合N（0，t，0）故点N位于D点处，此时CN=4；或CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为点评：熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、异面直线所成的角、平行线分线段成比例的判定和性质、平行四边形的判定和性质定理是解题的关键18（13分）（2013石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称（）若点P的坐标为，求m的值；（）若椭圆C上存在点M，使得OPOM，求m的取值范围考点：直线与圆锥曲线的

23、关系；椭圆的简单性质专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（）设M（x0，y0）（1x01），则 ，由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OPOM得，联立 消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（）依题意，M是线段AP的中点，因为A（1，0），所以 点M的坐标为由于点M在椭圆C上，所以 ，解得 （）设M（x0，y0）（1x01），则 ，因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）因为 OPOM，所以，所以，即 由 ，消去y0，整理得 所以 ，当且仅当 时，上式等号成立所

24、以m的取值范围是点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用19（14分）（2013石景山区二模）已知函数，其中aR（）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在区间2，3上的最大值和最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（）求导数，把a=2代入可得，f'（1）=2，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可；（）由=8a，分a0，当a0两大类来判断，其中当a0时，又需分0a2，2a8，a8，三种情形来判断，综合可得答案解答：

25、（）解：f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x24x+2a，当a=2时，f'（1）=2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 ，即 6x+3y5=0（4分）（）解：方程f'（x）=0的判别式为=（4）24×2×（2a）=8a（）当a0时，f'（x）0，所以f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间2，3上的最小值是；最大值是f（3）=73a（）当a0时，令f'（x）=0，得 ，或f（x）和f'（x）的情况如下：x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f'（x）+00+f（x）故f（

26、x）的单调增区间为，；单调减区间为当0a2时，x22，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间2，3上的最小值是；最大值是f（3）=73a当2a8时，x12x23，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间2，3上的最小值是 因为 ，所以 当时，f（x）在区间2，3上的最大值是f（3）=73a；当时，f（x）在区间2，3上的最大值是当a8时，x123x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间2，3上的最小值是f（3）=73a；最大值是综上可得，当a2时，f（x）在区间2，3上的最小值是，最大值是73a；当时

27、，f（x）在区间2，3上的最小值是，最大值是73a；当时，f（x）在区间2，3上的最小值是，最大值是；当a8时，f（x）在区间2，3上的最小值是73a，最大值是点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，涉及切线方程问题，属中档题20（13分）（2013石景山区二模）已知集合Sn=（x1，x2，xn）|x1，x2，xn是正整数1，2，3，n的一个排列（n2），函数对于（a1，a2，an）Sn，定义：bi=g（aia1）+g（aia2）+g（aiai1），i2，3，n，b1=0，称bi为ai的满意指数排列b1，b2，bn为排列a1，a2，an的生成列；排列a1，a2，an为排列b1，b2，

28、bn的母列（）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，1，2，3，4，3的母列；（）证明：若a1，a2，an和a1，a2，an为Sn中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（）对于Sn中的排列a1，a2，an，定义变换：将排列a1，a2，an从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列证明：一定可以经过有限次变换将排列a1，a2，an变换为各项满意指数均为非负数的排列考点：等差数列与等比数列的综合专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）由bi=g（aia1）+g（aia2）+g（aiai1），g（x）=及“生成列”与“母列”的定义可求得当n=6时排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，1，2，3，4，3的母列；（）设a1，a2，an的生成列是b1，b2，bn；a1，a2，an的生成列是与b1，b2，bn，从右往左数，设排列a1，a2，an与a1，a2，an第一个不同的项为ak与ak，由满意指数的定义可知ai的满意指数，从而可证得且akak，于是可得排列a1，a2，an和a1，a2，an的生成列也不同（）设排列a1，a2，an的生成列为b1，b2，bn，且ak为a1，a2，an中从左至右第一个满意指数为负数的项，b10，b20，bk10，bk1，经过一次变换后，整个排列的各项满意指数