定积分及其应用

1、高等数学B2(下)总复习一. 定积分及其应用二. 多元函数的微积分三. 级数四常微分方程一.定积分的计算(1)变上限的积分函数;(2)利用基本积分方法及公式计算定积分;(3) 利用简化技巧计算积分；(4) 广义积分的计算及收敛性判别(5) 定积分的应用。 h -咻)山a ia偶倍奇零1变上限的积分函数；f(x)eCa,b,则变上限函数(/(/)=/ X).芈 f /df = f(p(x)(px)d.vn£；：/(/) d/=/9(x)0(x) - .f 0(x) f(x)2.利用基本积分方法及公式计算定积分牛顿 莱布尼兹公式设F(x)是连续函数/(A)在匕列上的一个原函数，则hf(x

2、)d.x = F(b)-F(a)J a亠 亠换元法”QD(p(a) = a.(p(/3) = b 则 £/(x)dv=£ f说明：第二类换元法换元必换限。分部积分法fbu(x)v (x)dx = u(x)v(x) Ja (3)利用简化技巧计算积分；设若/(-x) = /(x),则£/(x)dv = 2p(x)d.v (2)若/(-x) = -/(x),则f(x)dx = Oa(5>定积分的网用平面图形的面积设曲线y = /a)(>0)与直线x = a,x = b (a<b)及x轴所闱曲边梯形而积为则dA = f(x)dxA=hf(x)dx旋转体的

3、体积(4)广义积分的计算及收敛性判别若F(x)是/(X)的原函数，引入记号F(+oo)= lim F(x); F(-oo)= lim F(x)A->+«XTY则有类似牛-莱公式的计算表达式：r+oo.+ ocI f(x)dx= F(x) = F(+oo) - F(“)Jaa/ /(x)dx = F(x) b = F(b)-F(Yc)J_oc-ocf+x/(x)d.v = F(x) +00=F(+oo)-F(-oo)J-OC一 80HBEJQ-特别，当考虑连续曲线段y = /(x) (a<x<b)绕事F3设函数y = y(x)由方程 dv轴旋转一周朗成的立体体枳时，有

4、 V =Jl/(A-)2d.v当考虑连续曲线段x =(p(y) (c < y < J)“绕y轴族转一周伟I成的立体体枳时, 有V=龙 l0(y)Fdy/> 2uer dt+ sin/OJx所确定，求京解：两边对x求导：丄(：7) +丄( dx Jodv Jxd rr * . dyd?(L e 山)灵-sinx = O討(2y)学-sinx = O dLvri-KI dv sinx丿卉以 =dj 2yey6.计算 I2 cos5xsinxdx. °sinzdO = O解：|2 cos5 x sin A dv =-j2 cos5xdcos.v= - - cos'

5、°7°61求器sin心解：原式=sin h(x2y-sinx(A)r = 2xsin x2 -sin x.2求limx->()d/解：原式=-lim厂r(7inQ =丄ytO 2x2er-i 734.计算(二+二)dA儿 2 x 解：j ；(+ -i)d.v = (2ln|A-|-) J A X11a=2(ln 1 一 In 2) 一 3(- 一 ) = 一2 In 2 + 二.一 1 一 2 25计算解：产小仁7弓”解：令/=坂，则 x = t 且 dx = 3/2(k,当 x = o, f = 0; X = &/ = 2;严 =九"U 击=3(一

6、1 +右)山=3(i?-/ + ln(l + /)|i" =3 In 3.8.计算 a In Ad.v解：原式=fln-vd.v2=(x2 lnx - I21Ji= 1(91113丄 322按“反对慕指三”的前者为"后者为9计算( xex <Lv 解：原式=严3 =兀心。J0exdx=x e偶倍奇零12.计算两条抛物线所围图形的面积.解：由“2鳶严JC得交点(0,0),(1,1)Jor2 i 1 353 o3 2 = A ) = A 2在第一象限I券BK：10.计算.(忖 + sinx)"*解：1：(卜| + sin a)x2 山=J ： |a|v2 dx + J ：sin x x2 d.v =丄冲 d =2j：Xdx=2存 I； =|-rlxx177-解原式=f 1 <d(l + x2) =ln(l + x2)J, 1 + x*发散。BEraooM 114 t<!*< ».*.«<4)2v得交点解：由1 立体的体枳.解：利用直角坐标方程y = cr 一对(一"<x<a)21 3"a x-x3 JO13.计算抛物线/=2a-与直线v = a-4所删划彩；訂 的面枳9y-b = x_4(2,-2),(8,4)为简便计算，选取y作枳分变量,则有A = fj2(