第一节函数及其表示

1、知识能否忆起知识能否忆起 1函数的概念函数的概念 (1)函数的定义：函数的定义： 一般地，设一般地，设A，B是两个是两个 的数集，如果按照某种确的数集，如果按照某种确定的对应关系定的对应关系f，使对于集合，使对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，在集合，在集合B中都有中都有 确定的数确定的数f(x)和它对应；那么就称和它对应；那么就称f：AB为从为从集合集合A到集合到集合B的一个函数记作的一个函数记作 .非空非空yf(x)，xA唯一唯一 (2)函数的定义域、值域：函数的定义域、值域： 在函数在函数yf(x)，xA中，中，x叫做自变量，叫做自变量，x的取值范围的取值范围A叫做函数的叫做函数的

2、 ；与；与x的值相对应的的值相对应的y值叫做函数值，函数值叫做函数值，函数值的集合值的集合f(x)|xA叫做函数的叫做函数的 显然，值域是集合显然，值域是集合B的子集的子集 (3)函数的三要素：函数的三要素： 、 和和 (4)相等函数：如果两个函数的相等函数：如果两个函数的 和和 完全完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据定义域定义域定义域定义域值域值域对应关系对应关系定义域定义域对应关系对应关系值域值域 2函数的表示法函数的表示法 表示函数的常用方法有：表示函数的常用方法有： 、 、 3映射的概念映射的概念 设设A，B是两个非空的

3、集合，如果按照某一个确定的对应是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系关系f，使对于集合，使对于集合A中的任意一个元素中的任意一个元素x，在集合，在集合B中都有唯中都有唯一确定的元素一确定的元素y与之对应，那么称对应与之对应，那么称对应f：AB为集合为集合A到集到集合合B的一个映射的一个映射 4分段函数分段函数动漫演示更形象，见配套课件动漫演示更形象，见配套课件 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的有着不同的 ，这样的函数通常叫做分段函数分，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数段函数

4、虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数解析法解析法图象法图象法列表法列表法对应关系对应关系超链接超链接 小题能否全取小题能否全取1(教材习题改编教材习题改编)设设g(x)2x3，g(x2)f(x)，则，则f(x)等等于于 ()A2x1B2x1C2x3 D2x7解析：解析：f(x)g(x2)2(x2)32x7.答案：答案：D答案：答案：D 3已知集合已知集合A0,8，集合，集合B0,4，则下列对应关系中，则下列对应关系中，不能看作从不能看作从A到到B的映射的是的映射的是 ()解析：按照对应关系解析：按照对应关系f：xyx，对，对A中某些元素中某些元素(如如x8)，B中不存在元素与之对应中不存在元

5、素与之对应答案：答案：D5(教材习题改编教材习题改编)若若f(x)x2bxc，且，且f(1)0，f(3)0，则，则f(1)_.答案：答案：8 1.函数与映射的区别与联系函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合与集合B只只能是非空数集，即函数是非空数集能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集到非空数集B的映射的映射 (2)映射不一定是函数，从映射不一定是函数，从A到到B的一个映射，的一个映射，A、B若不若不是数集，则这个映射便不是函数是数集，则这个映射便不是函数 2定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数定义域与值域相同的函数，

6、不一定是相同函数 如函数如函数yx与与yx1，其定义域与值域完全相同，但不，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数是相同函数；再如函数ysin x与与ycos x，其定义域与值域，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数因此判断两个函数是否相同，完全相同，但不是相同函数因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同关键是看定义域和对应关系是否相同 3求分段函数应注意的问题求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断时，一定要首先判断x0属于定义属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域域的哪个子集，然后再代入相应的关

7、系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集例例1有以下判断：有以下判断：答案答案(2)(3) 两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用上用x表示，但也可用其他字母表示，如：表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数均表示同一

8、函数A4个个B5个个C6个个 D7个个答案：答案：B 函数解析式的求法函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将，可将F(x)改写成关改写成关于于g(x)的表达式，然后以的表达式，然后以x替代替代g(x)，便得，便得f(x)的解析式的解析式(如例如例 (1)； (2)待定系数法：若已知函数的类型待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次如一次函数、二次函数函数)，可用待定系数法，可用待定系数法(如例如例(3)； (3)换元法：已知复合函数换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围此时要注意

9、新元的取值范围(如例如例(2)；(2)设设f(x)ax2bxc(a0)，则则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又又方程方程f(x)0有两个相等实根，有两个相等实根，44c0，c1，故，故f(x)x22x1.自主解答自主解答当当x4，得，得2x4，即，即x4得得x24，所以，所以x2或或x2.综上可得综上可得x2.答案答案(，2)(2，)若本例条件不变，试求若本例条件不变，试求f(f(2)的值的值解：解：f(2)224.f(f(2)f(4)16. 求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用

10、求值若小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值给出函数值 (或函数值的范围或函数值的范围)求自变量值求自变量值(或自变量的取或自变量的取值范围值范围)，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值验所求自变量值(或范围或范围)是否符合相应段的自变量的取是否符合相应段的自变量的取值范围值范围3.(2012衡水模拟衡水模拟)已知已知f(x)的图象如的图象如 图，则图，则f(x)的解析式为的解析式为_题后悟道题后悟道解答本题利用了分类讨论思想，由于解答本题利用了分类讨论思想，由于f(x)为分段函数，要表示为分段函数，要表示f(1a)

11、和和f(1a)的值，首先应的值，首先应对自变量对自变量1a和和1a的范围进行讨论，这样才能选取不的范围进行讨论，这样才能选取不同的关系式，列出方程，求出同的关系式，列出方程，求出a的值得出结果后，应的值得出结果后，应注意检验所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不注意检验所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，化整为零，各个击破，

12、再积零为整各个击破，再积零为整”的解题策略的解题策略A3B3C1 D1答案：答案：D解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（四）测（四）”教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）答案：答案：22若函数的定义域为若函数的定义域为x|3x6，且，且x4，值域为，值域为y|2y4，且，且y0，试在下图中画出满足条件的一个，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象函数的图象解：解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示3已知定义域为已知定义域为R的函数的函数f(x)满足满足f(f(x)x2x)f(x)x2x.(1)若若f(2)3，求，

13、求f(1)；又若；又若f(0)a，求，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数设有且仅有一个实数x0，使得，使得f(x0)x0，求函数，求函数f(x)的解析式的解析式解：解：(1)因为对任意因为对任意xR有有f(f(x)x2x)f(x)x2x，所以，所以f(f(2)222)f(2)222，又，又f(2)3，从而从而f(1)1.若若f(0)a，则，则f(a020)a020，即，即f(a)a.(2)因为对任意因为对任意xR，有，有f(f(x)x2x)f(x)x2x，又有，又有且仅有一个实数且仅有一个实数x0，使得，使得f(x0)x0，故对任意，故对任意xR，有，有f(x)x2xx0.在上式中令在上式中