全国数学建模a题解析

1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛

2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编

3、号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。问题一 运用活力公式1来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出所求速度。采用轨道六根数2来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为,。问题二 “嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理3和哈密顿函

4、数4，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。问题三 对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角,给增加或减小一个角度,分别求出各个对应的近月点坐标。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量并求其平均值，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。关键字：活力公式 轨道六根数 Pontryagin极大值原理 燃料最省一、问题重述 嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的

5、主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处

6、的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 对于误差因数分析,通过计算着陆轨道与策略的理论值与实际值之间的变化量,并求其平均值,得出平均值与实际值的比值,其中比值越大说明其误差越大,越不可行。二、模型假设1. 月球可看做一质量均匀、形状标准的球体；2. 反向推力大小为常定值；3. 飞行器为一质点，不考虑飞行器的姿态对轨道的影响，也不考虑飞行器姿态

7、；4. 忽略重力而只考虑空气阻力的作用；忽略地球曲率的影响，在在入轨道是直线轨道；5. 不考虑地球等其他天体的影响；三、符号说明-万有引力常量；-月球的质量；-发动机的推力；-推力的方向角，即推力和切向速度的夹角；-嫦娥三号卫星的极半径；-极角；-径向速度；-切向速度；- 任意时刻嫦娥三号卫星的质量；-发动机单位时间消耗的燃料质量；-嫦娥三号在着陆轨道上的质量。四、模型的分析、建立与求解 4.1问题一的建立与求解4.1.1近月点，远月点的速度 近月点，远月点均在椭圆轨道上，建立以月心为原点，椭圆轨道长半轴为x轴，短半轴为y轴的平面直角坐标系。运用活力公式建立速度模型并求解数值。 活力公式，又叫

8、轨道能量.这个公式是二体问题的一个积分。是反映了天体的位置、速度和轨道半长径之间的相互关系。平面运动的面积定律: 二体问题中作用于“嫦娥三号”卫星上的力总是指向地心，结果是轨道是是始终保持在固定平面上。因为力总是与位置矢量相反，没有垂直于轨道平面上的加速度，所以卫星不可能脱离轨道平面。卫星加速度可由牛顿万有引力得出： (1) 作为这一事实的数学描述，式（1）两边叉乘位置矢量，则 （2）上面方程右边为，因为一个矢量本身叉乘为，方程左边可展开为 （3）因为对时间的导数等于，因此本身必须为常数，也就是： （4） 两个矢量叉乘所产生的矢量几何上垂直于这两个矢量。因此，位置矢量和速度矢量总是垂直于，换句

9、话说，运行轨道在一个平面。矢量为单位质量的角动量或者说是特殊角动量，它和角动量关联，有，其中是卫星质量。给（1）式两边叉乘矢量，可以发现轨道的其他特性: (5)关于开普勒运动的能量积分定律，它涉及卫星和地心距的关系。为此，将式(5)两边平方，得因为矢量和互相垂直，所以上式左边的值,其中表示卫星速度。代入半长轴的导数,利用圆锥截面方程，得任意开普勒轨道(椭圆曲线轨道),活力公式的表达式为 (7)在此，因为卫星的质量相对于月球的质量来说太小，我们计算时忽略卫星的质量，得到简化的活力公式表达式： (8)-表示两天体间的相对速度-表示两天体间的相对距离-表示半长轴(椭圆:;抛物线:或;双曲线:)-表示

10、万有引力常数,-表示两天体的质量在matlab环境下，编程求解速度分别为，速度方向为轨道切线方向。4.1.2 近月点，远月点的位置（1）轨道根数: 轨道根数1(或称轨道要素或轨道参数)是对选定的两个质点,在牛顿运动定律和平方反比定律的重力吸引下,确认特定轨道所必须要的参数。 1.轨道半长轴:既为平均轨道半径,但是不是长轴与短轴的算术平均数。 2.轨道偏心率:为椭圆扁平程度的一种量度,定义是椭圆两焦点间的距离与长轴长度的比值就是 。 3.轨道倾角:行星轨道面对黄道面的倾角或在升交点处从黄道面逆时针方向量到行星轨道的角度。4.升交点黄道经度:行星轨道升交点的黄道经度。 5.近月点幅角:从升交点沿行

11、星运功轨道逆时针量到近日点的角度。 6.指定历元的平近点角:行星对应时刻的平近点角在使用以上的轨道根数,可找出天体按开普勒轨道(即二体问题中的轨道)运行位置,但在实际问题中,若天体所受的其他作用力不可忽略,便需加这些摄动(因素)项来修正其位置（2）建立坐标系建立月心赤道坐标系，它与月球自转轴和赤道方向对齐。原点是月心，z轴是指向北极，赤道平面组成了xy参考平面。月球的自转和公转是一样的时间，所以就只能看见一面，所以x轴指向月球始终面对地球的那面中心点。如图所示：图一赤道坐标系中心点的位置可以通过三维直角坐标或者极坐标（）来表示。两种坐标转换如下： （9）图二在轨道根数这六个物理量里， 和 确定

12、了轨道形状，确定了沿轨道的位置， 这三个根数则是确定了轨道在空间的定向，即就是与赤道直角坐标的角度的联系。（3）建模轨道根数的计算模型：由（4）式可知角动量矢量： 和角动量的模。式中作为和的函数，和由（9）式得到。因此，倾角和交升点赤经可得到如下公式： (12) （13）由瞬时角动量可导出半通径与椭圆的基本特性半通径式相等： （14）有（14）式可以推出轨道偏心率 （15）由轨道极坐标方程根据椭圆基本特性可以得到椭圆上各点的极径与真近点角公式： （16）最后把近地点、远地点的极径值带入（16）式，求出真近点角。 （17） 是极径， 是节线的单位矢量，是近月点幅角值，是纬度角。 （18）（4）模

13、型求解由着陆点的经纬度: 通过几何方法求出该点在空间直角坐标系中的坐标分量： （17）把月球近似成球体，则，查表可知月球密度。 m连立解得 单位：米着陆点的速度由公式计算出，方向沿轴竖直向月心。把值带入（10）式中 (18)则 （19），所以 （20） （23） （24）以上计算出三个重要角度，再计算半通径、真近点角： （25） （26）接下来计算近月点的特殊角动量各分量： （27）根据式（20）求得 （28）联立（23）（24）（11）式求得： （29） （30）再根据（10）（24）（18）式可以求得近月点:联立以上三式，得根据（17）式，得出近月点经纬度坐标为同理可得远月点：得出远月点经

14、纬度坐标为 4.2问题二的建立与求解嫦娥三号软着陆下降过程中，要经历主减速、快速调整、接近段、悬停段、精避障、缓速下降、自由落体六个过程。如下图所示：图三4.2.1主减速段和快速调整段主减速段：距参考月面高度从近地点约15km到3.0km，进入主减速模式。该段主要任务是减速制动，减小嫦娥三号1.7km/s 的速度至57 m/s，高度下降至3 .0km。快速调整段：距实际月面高度从3 km 到2.4 km，进入快速调整模式。该段主要任务是快速衔接主减速和后续的接近段，快速姿态机动到接近段入口姿态，发动机推力同步减到低推力水平。（1）模型的建立主减速段和快速调整段两个过程是减速调整阶段，故可将这两

15、个过程合并在一起进行讨论分析。如下图所示以月心为原点，以月心指向近月点的方向为 极轴，建立极坐标系。其中轴垂直于轴，平面在椭圆轨道面内。图四如图所示可得径向的运动方程为： （31）切向的运动方程为： （32）考虑燃料质量的变化，所以有： （33）综上可以得到嫦娥三号软着陆减速调整阶段的状态方程： （34）其中： -万有引力常量； -月球的质量； -发动机的推力； -推力的方向角，即推力和切向速度的夹角； -嫦娥三号卫星的极半径； -极角； -径向速度； -切向速度； - 任意时刻嫦娥三号卫星的质量；-发动机单位时间消耗的燃料质量；-嫦娥三号在着陆轨道上的质量。题中要求满足每个阶段在关键点所处的

16、状态且尽量减少软着陆过程的燃料消耗。所以在卫星软着陆有限推力轨道优化的过程中我们要优化的指标是燃料消耗最少，假定其推力的大小是恒定，为其最大推力。因此，最优控制就是要确定推力方向角的变化规律，使得燃料消耗 为最小值。由上述卫星软着陆状态方程可知为常数，因此消耗燃料可整理为：所以性能指标可转换为求软着陆所用时间最小，即： （35）由时变系统最小值原理构造哈密顿函数。 （36）其中，、为待定的拉格朗日乘子。哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值 （37）最优控制满足的必要条件是哈密顿函数对控制力的一阶偏导为零，即：整理可得 （38）初始条件：就是近月点时刻的参数，此时距离月球表面的高度为15km且速度

17、只有切向速度，即： （39）末端约束条件：就是经过减速和调整后到达月球表面附近位置，此时距离月球表面的高度为2.4km，水平速度为零，竖直方向速度可近似看为和减速后的速度相等，即： （40）最优协态方程： （41）最优横截方程： （42）其中为待定的拉格朗日乘子。(2)模型的求解采用改进的临近极值法来选择初值。1）由于伴随方程是关于的拉格朗日方程组，因此可以任意选择一个共轭向量的初值；2）由于，所以给定一个初值，再给定的值，利用可求出另一个初值的值。3）把（）作为一个初值，将最优控制的表达式代入状态方程中，以作为轨道的计算结果；4）如果轨道方程满足初始和末端的速度约束，则该轨道就是最佳轨道。如

18、果不满足则需重新调整的值，直到轨道方程满足初始和末端的速度约束为止。仿真运算初始状态：终端约束：共轭方程初值：最优轨道参数4.2.2.粗避障段 距实际月面高度从2.4 km 到100 m, 进入接近模式。该段主要任务是粗避障。根据粗避障的要求，设计了满足特定姿态和下降轨迹要求的接近目标着陆区轨迹，通过光学成像敏感器检测大障碍, 确定安全着陆区并避障，最终到达着陆区上方约100 m 高度，此时相对月面速度为0 m/s。快速调整姿态且运动的距离很短，故可以近似的认为在这个阶段运动速度不变，所以距离为2400m时的速度为57m/s。.粗避障段可以简化为一个匀减速运动模型： （43）带入数据可得：所以

19、 分析卫星的粗避障：高程图是由卫星底部的摄像头拍摄的照片，因此认为照片的正中间就是卫星的位置，将附件3的高程图导入matlab中（附录 程序一）作出它的二值图，并筛选出以卫星位置为中心的可降落的平坦地区，如下图所示图五图中白颜色围着的是比较大的陨石坑，白色地区为过度地区，其他地区属于平坦地区，即为可使卫星降落的区域。4.2.3精避障段 距实际月面高度从约100 到约30 m,进入避障模式。 该段主要任务是精避障和下降。 根据选择的安全着陆点，着陆器下降到安全着陆点上方30 m，水平速度接近于0 m/s。应用模型（43），可以求得这个阶段卫星的运动方程和推力，即：所以 分析卫星的精避障：高程图是

20、由卫星底部的摄像头拍摄的照片，因此认为照片的正中间就是卫星的位置，将附件4的高程图导入matlab中（附录 程序二）作出它的二值图，并筛选出以卫星位置为中心的可以降落卫星的平坦地区，如下图所示 图六 图中白颜色围着的是比较大的陨石坑，白色地区为过度地区，其他地区属于平坦地区，即为可使卫星降落的区域。4.2.4. 缓速下降段 距实际月面高度从约30 m 到约4 m，进入缓速下降模式。该段主要任务是消除水平速度，保证着陆器姿态垂直月面，平稳缓速下降，着陆月面的速度和姿态满足要求。应用模型（43），我们可以求的这个阶段卫星的运动方程和推力，即：所以 4.2.5. 自由落体段 距实际月面高度从约4 m

21、 到接触月面，进入无控模式。在高度4 m 处收到关机敏感器信号后，关闭发动机和推力器，着陆器自由下降到月球表面。由自由落体建立模型：综上可得嫦娥三号的着陆轨道为： （44）控制策略为： （45）4.3：对于着陆轨道和控制策略的敏感性分析: 假设模型表示为（为模型的第个属性值），令每个属性在可能的取值范围内变动，研究和预测这些属性的变动对模型输出值的影响程度。将其影响程度的大小称为该属性的敏感性系数。敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。 对第二问中求出的嫦娥三号推力和运动切闲方向夹角的角度,给增加或减小一个角度,分别求出各个对应的近月点坐标。之后求各个坐标其与原始值之间的变化量并求其平均

22、值.得到, 为敏感性系数值。 误差分析 通过计算着陆轨道与策略的理论值与实际值之间的变化量,并求其平均值,得出平均值与实际值的比值,其中比值越大说明其误差越大,越不可行. 通过第二问的数据在虹湾着陆区假设多个着陆点,求出其与实际着陆点之间的距离并求得其平均值,用所得到的距离的平均值与第一问求出的近月点与实际着陆点之间位移做商即,为其误差系数。五、模型评价优点 本文建立了极坐标和直角坐标并确定出它们的转化因素。最后建立所需模型，求出结果。运用了pontryaing极大值原理,哈密顿函数等对模型求解。缺点模型过于复杂化，计算量大易出错。参考文献1 Oliver Montenbruck,Eberhard Gill，卫星轨道，北京；国防工业出版社，2012年4月。2 赵琳，卫星导航系统，哈尔滨，哈尔滨工程大学出版社，2011年7月3 杨乐平 朱颜伟 黄焕,航天器相对运动轨迹规划与控制, 北京; 国防工业出版社 , 2010年8月4 胡寿松 王执铨，胡维礼，最优控制理论与系统，北京，科学出版社，2010